Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 130
Текст из файла (страница 130)
Все только что изложенное верно при сделанном допущеееа г=г, или при эквивалентном ему допущении о малости отношения б(г,. При приближении к хвостовой части тела вращения, когда 6 увеличивается, а г, уменьшается, указанные рассуждения теряют свою силу. 562 Гл. хи. лАминАРныя пОГРАничныи слОЙ В несжимАемои жидкОсти Приведем пример простейшего однопараметрического расчета пограничного слоя на удлиненном теле вращения.
Сохраняя прежние обозначения, умножим, как это делалось и в случае плоского пограиич. ного слоя, обе части уравнения (169) на (гб**/и. Преобразовав после это. го левую часть, получим аналог интегрального соотношения Кармана е( и 1'и" 2.,' ! — = — р(~) + — — — ' и (и г,)' отличающийся от плоского случая лишь наличием члена ( — 2т,'1г,) в круглой скобке в правой части уравнения. Здесь функция т (!) =7 та же, что и в плоском случае. Заменяя ее линейным представлением г" (!) =а — (>1, найдем следующую формулу для параметра Г к и'(к) '(к) г что и решает задачу в простейшем однопараметрическом приближе.
нии '). Наличие преобразования (!66) осесимметричиого движения в по. граничном слое на удлиненных телах вращения в плоское делает излищ. ним специальное изложение метода обобщенного подобия применитель. но к этому случаю. К числу задач о пространственном «пристенном» ламинарном пограничном слое относятся задачи о движении вязкой жидкости вокруг вра. щающегося диска в безграничном или ограниченном объемах жидкости, Первая из них имеет точное решение на основе уравнений Навье— С т о к с а (см. задачу К а р м а н а в 9 101).
Вторая, как и многие другие задачи о пограничных слоях на вращающихся телах (круглом ци. линдре, сфере), рассмотрены в монографии Л. А. Д о р ф м а н а'). Большой интерес представляет пограничный слой вокруг плоскости, ин. дуцируемый перпендикулярной к этой плоскости вихревой нитью (модель смерча). Эта задача подробно изложена в монографии М. А. Г о л ь д ш т и к а ') .
Литература по пространственным (трехмерным) пограничным сло. ям очень велика. Сошлемся на некоторые журнальные источники'). На специальные монографии ссылки уже были даны в начале главы. ~! Лойцянский Л. Г Ламинарный пограчнчный слой на теле вращеняя,— Докл АН СССР, 1942, т ХХХУ1, № 6. ') Дорф ма н Л. А Гндродинамическое сопротивление и теплоотдача.— Мс фаз. матгиз, 1960. ') Г о л ь д ш т и к М. А.
Вихревые потоки — Новосибирск: Наука, Сибирское отд-ние, ! 981, с. ! 90 — 235. 4) Бог да нова В. В Универсальные уравнения теории прос~ранственногопогра. пичного слоя — Механика жидкости и газз, 1968, № 6; К а р я к ни Ю. Е. Магнитогидродинамический ламинариый пограничный слой в осесимиетричном потоке с закруткой.— Магнитная гидродинзмнка, 1968, № 2; С т р у м и и с к и й В. В. Скольжение крыла в вязкой жидкости.— Докл. АН СССР, !946, т. 54,№ 7,с. 575 — 578; того же автора: Скольжение крыла в вязком и сжимаемом газе.— Докл АН СССР, т.
54, № 9, с. 769— 772; см. также сводную работу: С т р у м и н с к и й В В Теория пространственного пограничного слоя на скользящем кяыле. — Сборник теоретических работ по аэродина. мике (НАГИ).— М: Оборонгиз, 1957, с. !74 — 205; 5 е б и е у Гс 5оте азрес1з о1 Шгее. д!щепа!опа1 Ьоппс1агу 1а>егз — Г)наг!. Арр1. Ма!Ьегп., !957, ч. 15, № 2; й о11 74., С гаЬ. 1г ее 1.. 5нпрщ!ед 1а1п1паг Ьоппбагу !ауегз са1ся!а!1опэ 1ог Ьоб!ез о1 гечо!и!!оп апб 1ог уаыеб тч!пя.— зонгп.
Аегоп. 5с., 1952, ч. 19, № 8, р. 556 — 560; 1. оо з Н. О, А Мщр1е 1апнпаг Ьоцпбагу !ауег чг!!Ь зесопбагу !!пег.— зонгп. Аегоп. 5с., 1955, ч. 22, р. 35 — 40; Шевелев Ю. Д. Трехмерные задачи теории ламниапного пограничного слоя.— М.: Наука, 1977. $ па пРОстРАнстВенные пРистенные по! РАничные слОи 563 Простым примером автомодельного движения в «свободном» осе- ааметричном пограничном слое может служить распространение осе- самметричной незакрученной струи, бьющей из бесконечно тонкого от- перстия в безграничное пространство, заполненное той же жидкостью ').
Общие уравнения стационарного осесимметричного движения вяз- тайжидкости в цилиндрических координатах г, е, х получим из формул (33) $ 86, откидывая производные по ( и е. Будем иметь, обозначая через и, о и ш соответственно осевую )г„ радиальную )г, и трансверсальную )г, составляющие скорости, ди ди 1 др Рдаи 1 ди даи Т и-+.— = — — — +о~ — + — -+ — ) г дх дг р дх (, дга г дг дха) до до иа 1 др Г дао 1 до о д«о л и — +и — — — = — — — +о~ — + — — — — +— дх дг г р дг ~дг' г дг га дха)' дв ди ов / д'и 1 дв и даи ! и — +о — + — =о ~ — + — — — — + — ), дх дг г ~ дга г дг га дха) д (ги) д (го) — + — =О.
дх дг Рассматривая область струи как пограничный слой, поперечный размер которого при больших рейнольдсовых числах мал, будем предпоАагать радиальную скорость о малой по сравнению с продольной и и трансверсальной ш. Вместе с тем откинем в скобках справа д'и/дха и ди(дх' по сравнению с радиальными производными.
Тогда получим слепупнцие уравнения распространения осесимметричной струи, общие для случаев иезакрученной и закрученной струи: ди ди 1 др удаи 1 ди! др рва и — +о — = — — — +о( — + — — ), дх дг р дх (,дга г дг) дг г (170) ди ди ои 7 д'в 1 ди в ! д(ги) д(го) и — +.— + — =.~ — + — — — — )г + =О.
дх дг г ~ дга г дг га ) ' дх дг В рассматриваемом случае движение будет происходить в меридианпой плоскости, так что со = О, — = О, р = р (х) = сонэ(; др дг (171) последнее равенство является следствием одинаковости давления в безграничном пространстве, окружающем струю. При выполнении равенств (171) уравнения (170) упрощаются и сводятся к следующим: ди ди / д'и 1 дил д(ги) д(ю) и — +Π— =о( — + — — 1, + — =О. дх дг (, дга г дг / дх дг (172) Уо — — р 1 2пгиа с(г =- сопз1, о (173) ') 3 с Ь 11 с Ь !!и я Н 1апппаге 3!гаь!аи.Ьгецппя — 2еиасЬг.
Пзг Апяев. Мань апд Месь.» 1933, Вд. 13, 8. 260. Как это непосредственно следует из соображений размерности, решение уравнений (172) для случая везакрученной струи, бьющей из бесконечно тонкого отверстия с нулевым расходом и конечным импульсом, будет автомодельным. Действительно, в случае очень больших рейаольдсовых чисел секундный импульс, одинаковьш для всех сечений, определится как а84 Гл. хи.
лАминАРный пОГРАничный слОВ в несжимАемОЙ жидкОсти н будет иметь порядок (ке=(от) рс!' 7.т/йе = рУЕ, л функция тока тр= ) ги т(г — порядок о И.тане= А.. Следовательно, решение задачи должно иметь вид =' (-; —;~".") =' (-; —;~'% а по условию независимости от 1, ф='7. — "Е( — '~à — ",,' — ')= Е(~ — ''), (174) Найдем (штрих в дальнейшем означает производную по т)) ! а' рм /, а! и= — —, О = — (а' — — ), и, подставляя в первое уравнение системы (!72), получим искомое обык.
новенное дифференциальное уравнение третьего порядка для определения а (т!) ( — ') + — '' ' ~ — ') +~ — ')*=О. (!А) Граничные условия будут а=О, а'=О при т)=0, причем второе вытекает из условия ограниченности продольной скороств и=а'/(хт!) на оси. Кроме того, имеем условие ограниченности а при т1-+. ОО, так как по (175) а пропорционально секундному объемному рас. ходу жидкости сквозь данное сечение струи.
Уравнение (176) один раз интегрируется непосредственно и дает т!а" — а'+ аа'=О. Вводя вместо т) новую переменную Ь=!п т1, получим уравнение ата аа аа — — 2 — +а — =О, дгйт т!ь аь которое при принятых граничных условиях после однократного интегрирования сводится к следующему: аа 4а — ат 2 Интегрируя еще раз, получим а(т!) = ! — ' — атт!' 4 (! 77) что и доказывает автомодельность задачи. Для упрощения выкладок будем искать функцию тока в виде ф =Мха(т)), (! 75) т )г~ % Пв ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ Г!ОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 868 Для определения константы интегрирования сс остается использовить интегральное условие (173), которое при помощи (178) может быть переписано в форме Ю (а (ч)Р— "= —. 2 сГч 'Го 21 2л12 о Вычислив по (177) а' = 2 (, 4 ) в подставив его в предыдущее соотношение, найдем Возвращаясь и (!75) и к последующим формулам для и и о, полувпи искомое решение задачи 1 аЧ ! — — аао!2) 1 а!ч ! 4 ( + — 'ч') ( + — 'чв) (178) 'ч' 1 1+ — ааЧ2 4 2сса и=— Х Форма линий тока и профилей продольной скорости в рассматриввемом случае осесимметричного течения по своему общему характеру та же, что и в плоском случае.
Секундный массовый расход жидкости сквозь данное сечение струн будет по (!78) равен М = 2пр ~ иг йг = 2прф (со) = Влртх = 8П!Гх. о (179) Интересно отметить, что этот расход не зависит от секундного количестве движения, характеризующего данную струю, а только от вязкости вспдкости, причем растет пропорционально расстоянию от источника струи. Распределение максимальной скорости на оси (ч=0) по (178) представится выражением о 2 оса 3 а' иоаах = х 8 ЛГАТ (! 80) Определяя границу струи как геометрическое место точек, где отношение и/и,„сохраняет некоторое малое, но постоянное значение, убедимся, что такой условной границей осесимметричной струи будет служить прямой круговой конус с углом полураствора, пропорциональным уоар//,. Замечая, что безразмерная величина Х,/(р5Г') играет в рассматриваемой задаче роль рейнольдсова числа не=с/Е/ч, убедимся, что условпвв ширина струи уменьшается с ростом числа Рейнольдса по закону 1/фе, что подтверждает возможность применения в этом случае уравнений пограничного слоя.
В качестве примера более сложного, неаетомодельного движения рассмотрим задачу о распространении ламинарной закрученной осесимлетричной струи в пространстве, затопленном той же, но покоящейся 566 Гл. хп. лАминАРнын пОГРАничный слОЙ В несжимАемОЙ жидкОсти жидкостью'). В этом случае удается получить решение в форме аснмптотического ряда, построенного по обратным степеням расстояния сечения струи от источника струи. Уравнения движения вязкой жидкости в пограничном слое — закру. ченной струе — представляются системой (170).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
