Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Эта величина заключает в себе весьма ограниченную информацию о начальном профиле скоростей. Можно было бы увеличить объем этой информации, повысив порядок уравнения, для чего достаточно сохранить переменные ~ь у„... в правой части уравнения (140), содержащие производные от г"' порядка выше второго. Однако это чрезмерно усложнило бы практические расчеты, чем и объясняется принятый нами отказ от учета переменных г'„у,,... Рассмотрение графиков с "1 и У,1и1 (рис. 194 и 195), составленных по табл.
19 и 20 в форме семейства кривых Ь"1(1,) и ~1'1 (1,), зависящих от параметра 1„позволяет сделать некоторые общие выводы: Ч П«ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБОБШЕННОГО ПОДОБИЯ 549 1, Распределения «приведенного» трения Ь"' ф, ),) сильно зависят чт параметра )4, В частности, значения 1„ в точке отрыва (ЬО4 =О) значительно отличаются друг от друга в зависимости от значения 1,. 2. Кривые распределения ~,"~ (1„1,) группируются в узкую полосу, пп позволяет приближенно положить (1„1,) = а — Ь)„ пппппмая обе величины а и Ь за постоянные либо считая а функцией 1„ ч Ь вЂ” постоянной, равной приблизительно 6.
Использование линейно- стаи" ()„)4) приведет, как мы уже знаем, к квадратуре (116). Уравнеппп (139) или (140) могут также легко интегрироваться по табличным чппчеииям У,м ()„1,) на малых ЭВМ и даже на ручных калькуляторах. 3.
Результаты первого приближения заключены в приведенных мблпцах при )',=О. Кривые ~'О(1,) и (<44 (1,) показаны на тех же рис. 194 и 195, что и кривые второго приближения, между которыми они располагаются. 4. Соответствующие методу К о ч и н а — Л о й ц я н с к о г о кривые 'ч(1) и г(1) =т,(1) показаны на тех же рисунках штриховыми линиями. Этот метод дает слишком ранний отрыв (Ь=О) при 1',= — 0,0681. 5. Метод П о л ь г а у з е н а обособлен от содержания метода обобщенного подобия. Соответствующая ему верхняя штриховая кривая депппстрнрует затягивание условия отрыва (1,= — 0,1567).
6. В конфузорных областях пограничных слоев (),>О) кривые (~41ф, 1,) сближаются, что говорит о возможности пользоваться в этой области первым приближением (1,=0). В диффузорных областях Ц,( <О) кривые ~4Н()Б ),) расходятся, причем можно заметить, что везде, проне окрестности точки отрыва (Ц=О) пограничного слоя, метод Кочина — Лойцянского дает результаты, близкие к кривым второго прибппжения метода обобщенного подобия при 14>0 (кривая О(х) обращена при этом к осн Ох своей выпуклостью], а кривая метода Польгаузена, напротив, при тех же условиях ближе к кривым метода обобщенного подобия при 1»~0 [кривая У(х) обращена к оси Ох вогнутостью].
Метод обобщенного подобия при наличии табл. 19 и 20 использугтся без особого труда в практических расчетах пограничных слоев Следует отметить, что в крупных исследовательских организациях, располагающих мощными ЭВМ, имеются стандартные программы расчета панинарного пограничного слоя, которые позволяют обходиться без приближенных методов вообще и метода обобщенного подобия в частпостя.
Конечно, при этом затрудняются возможности установления обп1пх закономерностей влияния формы кривой О(х) (уклона касательпой, кривизны кривой) на характеристики пограничного слоя, 9 114. Примеры применения метода обобщенного подобия Установление сходимасти последовательных приближений при расчете пограничного слоя по методу обобщенного подобия, а при наличии сходимости еще и оценка ее бьссгроты представляют собой очень сложпую математическую задачу, пока еще не решенную. Остается предполагать, что двухпараметрическое приближение, учитывающее влияние пе только уклона касательных к кривой распределения скорости на внешней границе пограничного слоя О(х), но и кривизны этой кривой, должно приводить к достаточно точным результатам. Излагаемый далее пример иллюстрирует справедливость этого предположения.
Отсутствие строгой оценки быстроты сходимости приближений заставляет встать на путь сравнения решений, полученных в первом и во 550 гл. Х11 лАминАРныя пОГРАничныи слои в несжимАемОИ жидкОсти втором приближениях по методу обобщенного подобия, с имеющимнсх достаточно точными численными решениями уравнения Прандтля.
При. мером такого численного решения могут служить опубликованные Тер. р и л л о м ') результаты численного расчета плоского стационарного пограничного слоя на поверхности поперечно обтекаемого круглого цилиндра при теоретическом законе распределения скорости по обвоху цилиндра (9 50). Отсылая за подробным описанием методики числен. ного интегрирования к указанной статье, отметим, что решение вычислялось в безразмерном виде, причем продольные длины были отнесены к радиусу цилиндра а, продольные скорости в сечениях пограничного слоя — к скорости набегающего потока У„, поперечные длины и скоро. сти соответственно к величинам а/гЙе, У„/фе, где Ре = У а/ч, Без.
уд размерной абсциссой, отсчитанной ('~~; УУ) ~ ' ~ от лобовой критической точки, слу. жил угол х, выраженный в радианах. "Удг=,, 1Уе) — -- — — — ' ~ Приведем сводный график двух — — — + — 1 представляющих наибольший ннУу а + ~ терес величин: б'*(х) и (ди1ду) (рис. 196).
Как видно из рисунка, безразмернач толщина потери им. пульса б" (х) монотонно возрастает н — -1--- — «-+--- ---т от некоторого начального значения в лобовой критической точке, равно. В Д4 ДЮ ( !У ХУ го примерно 0,29. Это совпадает со значением 8(р), определенным по Рас. !96 табл. 16 при и«-р=! и с=2, что со- ответствует закону распределения скоростей на внешней границе пограничного слоя вблизи лобовой критической точки У=сх. Безразмерное напряжение трения растет от нулевого значения прн х=0 и достигает своего максимального значения в точке х=1, что соответствует 57'18'. Затем напряжение трения убывает до нулевого значе. ния при х,=!,82, или, в градусах, х,'=104'30'.
Эта точна и является точкой отрыва 3 пограничного слоя с поверхности круглого цилиндра. В этом расчете, напомним еще раз, не учитывается обратное влияние пограничного слоя на внешний поток, т. е. то значительное искажение, которое отрыв вносит в теоретическое потенциальное обтекание. Пример Террилла, как точное решение, принимается нами за свое. образный эталон (тестовый расчет), с которым сравниваются значения величин, рассчитанных по двухпараметрическому приближению метода обобщенного подобия. Приближенная кривая б"'(х) оказалась практи. чески совпадающей с точной; максимальное отклонение было вблизи точки отрыва и не превосходило Зе7е от точного. кривая однопараметрического приближения для величины приведенного трения (ди/ду)„, заметно отклоняется от точной кривой Террилла (рис.
197). Расчет по двухпараметрическому приближению приводит к величине трения, почти полностью совпадающей с точным значением, исключая небольшую область в непосредственной близости к точке отрыва (едва заметное отклонение показано штрихами; на рис. 198 эта область показана в увеличенном масштабе). Снять ограничение на число используемых параметров можно было бы, применяя вместо непосредственного интегрирования уравнения (132) разложение функции Ф($, ()„) ) в степенные ряды по параметрам (1,), однако сходимость таких рядов ограничивается малыми значения- ') Тегг! !! й.
М. 'Сап1!паг Ьоппдагу-1ауег пои пеаг аерагапоп иПЛ апд 1ецьоп! епспоп — РЛП. Тгапа., !960, А253, р. 55 — !00. П 114. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 55! 1У17Уу)у-к !г йп йа бг УУ ги х бп бг УХг Рис. !97 Рис. 198 пп параметров. Как можно судить по рис. 199, малость параметров гк и !и рассчитанных для примера Террилла, обеспечивается только вдалеке пт точки отрыва, которая является особой точкой уравнения (132). Ну- пепое значение У".(х) почти во всем интервале х, исключая ближайшую ппрестность точки отрыва, пп-видимому, является / признаком, что можно допольствоваться вторым приближением как достагпчно точным решением.
, Ук гхУ Как показала практипп расчетов, для опреде- 0 1'кУ пения б'*(х), а затем 0ГкУ можно вполне доВОЛЬСтВОВатЬСЯ ПЕРВЫМ Пик приближением, так как птпосительная погреш- -цм 1 ность в разыскании б", быстро растущей иа днффузорном участке, мала. Влияние второго параметра Цх) надо учитывать только при вычислении напряжения трения т„через 9111()„у,) вблизи положения точки отрыва. В этом случае можно полагать: а=0,4408, 1=5,7!4. При более строгом подходе можно учесть погрешность Б, вносимую использованием упрощенного представления 4п йп Ба гп га л Рис.
!99 ~,=а(~,) — Ь~,+Б. Интегрируя формально при этом допущении равенство (!40), получим к У г(х) = ) У ' Я (а (~, (У)) + Б [~, (Г), ~, (У)Ц бг+ Уп (х,) п (х,), (141) кэ где г(х,) определяется либо через заданное наперед значение б" (х,) = =б , либо через значение г, в лобовой критической точке обтекаемого тела (х=О, У=О). 552 гл. хп. ляминлзнып погрлничнып слоя в нгсжимянмоп жидкости Значение г, может быть определено из условия конечности произ. водной г(г/с(х при х=О, т.
е, из уравнения ($112) гг нгоэ гзо) которое при заданном поведении У(х) =сх вблизи точки х=О сводится в однопараметрическом приближении к уравнению с одной переменной и имеет корень ~го = 0 0854, го = — = 6о )м 0,0854 17 где с зависит от формы носка обтекаемого профиля. Уравнение (141) можно решить последовательными приближения. ми вида Уо (хг) г (х,) = Уо (х,,) г (хг,) + кг + (а [)з (хг,)] + а [)х (хг,), ув (хг- )Ц ~ У ' (Щ кг если весь интервал (х,, х) разбить на мелкие интервалы с узлами в точках хг, а )з(х) и е(х) заменить ступенчатым представлением. Такого рода вычисление «шаг за шагом» легко проводится. Величины ~, Н и 7г в функции от 1„),, )м ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
