Главная » Просмотр файлов » Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003)

Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 131

Файл №1123865 Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003)) 131 страницаЛ.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865) страница 1312019-05-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 131)

Они содержат наряду с продольной и и поперечной О еще грансвврсальную компоненту скорости пг, характеризующую крутку струи. Хотя во внешнем потоке, со. гласно условию задачи, давление повсюду одинаково, все же в самой струе имеется радиальный перепад давлений, уравновешивающий цен. тробежные силы, вызываемые закрученностью струи. Этот перепад свя.

зан с трансверсальной скоростью вторым равенством системы (170), Наличие его вызывает переменность давления и вдоль струи, что не позволяет пренебрегать членом др/дх в первом уравнении той же ся. стемы. Из системы уравнений (170) могут быть выведены два основных закона сохранения: количеств и момента количеств движения, из которых будут следовать два интегральных условия нетривиальности решений.

Пользуясь последним уравнением системы (1?0) (уравнением неразрывности), перепишем первое уравнение той же системы после про. етых преобразований в виде — [г(р+ ри')) + — г рив — р — 1= 0 д дх дг 1 дг [ и, интегрируя поперек струи, получим — ~г(р+ри')г(г+ ~г(риа — р — )~ =О.

о Здесь под р понимается давление в точке струи, отсчитанное от давления вне струи; прн этом предполагается существование интеграла в левой части. Если считать (это можно проверить по полученному далее решению), что и и ди/дг достаточно быстро убывают с ростом г, то подстановка обращается в нуль, и предыдущее равенство приводит к первому интегральному условию задачи 2п ~ г(р+ ри') г!г = сопя(=У„ о обобщающему условие (173) на случай закрученной струи. Левую часть этого равенства назовем потоком полного импульса сквозь сечение струи. При х — ьоо р- О, и константа в уравнении (!81) совпадает с константой незакрученной струи.

Заметим, что третье уравнение системы (170) после умножения обеих частей на г и использования уравнения неразрывности может быть переписано в форме д(гив) д(ппь) д Г 1 д + + „, г дк дг дг~гдг нлн, после повторного умножения на г, еще так: — (гвин|) + — (госки) = о ~ — "г — (пв)1 — 2 — (пв)), дл дг ~ дг ~ дг ! дг и проинтегрируем обе части последнего равенства поперек струи.

Тогда ') Лойпа н с к и й Л. Г. Распространение закрученной струи в безграничном пространстве, затопленном той же жидкостью.— Прнкл. мат. и мех., 1953, т. 17, вып. 1. П Пз ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 567 прп аналогичных предыдущим предположениях о быстроте убывания и и в с ростом Г получим — д! Г ишз(с=О дх г з ппп,умножая на постоянную 2пр и интегрируя, 2пр ) Гзитвс(Г = сопз! = 7.5 0 (182) Левая часть представляет перенос главного лтомента количеств двиигния сквозь сечение струи, Момент этот 1., одинаков вдоль всей струи п,следовательно, может служить мерой закрученности струи, Наличие двух постоянных вдоль закрученной струи величин Уз и 1ь однозначно определяющих характерные длину и скорость, служит препятствием к возможности сведения уравнений (170) к одному обыкновенному уравнению, что делает задачу неавтомодельной.

Введем в этом случае функцию тока тр меридианного течения и бу. деи искать ее в виде разложения ф=ч(ах+а,+ — '+ ...), х (183) ме а, а„а„...— неизвестные функции той же переменной т), что и в сдучае незакрученной струи. Тогда компоненты скорости в меридианных спчениях будут (штрих, как и ранее, обозначает производную по т!) д1р а' ! а ! а и= — — — — — + — — + — ' — + х дх Ч х Ч хз (! 84) !д1Р Р'чг, а 1 7 ° а1Т ! в= — — — = — ~а' — — + а, — + (а, + — ') — + ...~ Г дх х (, Ч х (, Ч)хз Окружную скорость п1 зададим рядом 1 ! з х хз (185) и, наконец, введем еще разложение для давления р, отсчитываемого, на- ппыниаем, от давления окружающей струю жидкости, Р с, с, — = — + — + р х хз (186) ( — ) + —.( — ) + ( — ) +2с,+ т!сз'=О, (! 87) — + + + Зсз+ т!сз =О Здесь Ь„Ь„..., с„с„...

— неизвестные функции переменной т1. Подставляя указанные разложения в систему уравнений (170) и прправнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систеыу обыкновенных дифференциальных уравнений для определения искоыых коэффициентов. Из первого уравнения системы (170) получим с, + т!с,'=О, заз Гл, хп, лАминАРнын пОГРАничныЙ слОЙ В несжимАемОЙ жидкОсти Из второго уравнения той же системы найдем Чсо=о, Чсо=ь„Чсо=2Ь Ь, Чсо=Ь +2ЬТЬо, ..., а из третьего (188) ь, + ь,' — — ь,=о, !+а ! — а Ч ' Чо (189) т! тто Кроме того, аналогичная операция над интегральными условияма (181) и (182) приведет к следующей системе интегральных условий: (190) Принимая ось струи Ч=О за нулевую линию тока и используя условие конечности скорости на оси, найдем граничные условия а=а,=ад — — ...

— — О, а'=а,'=а,'= .. =0 при Ч=О, (191) а из условия ограниченности секундного объемного расхода сквозь сечение, или, что то же, значения тз при Ч=оо, получим условие ограначенности величин а(оо), а,(оо), ... (192) Далее, по определению скорости закрученности, имеем Ь,=Ь,=... =0 при т1=0, (! 93) Ь,=Ь,= ... =0 прн т1=ооо и, наконец, по определению давления, с,=с,=...

=0 при Ч=оо (194) Заметим прежде всего, что из первого уравнения системы (189) сразу следует существование решения Ь,— О, удовлетворяющего граничным условиям (193) и предпоследнему из интегральных условий (190). А тог. да из первых трех уравнений системы (188) и граничных условий (194) вытекает, что с,=с,=с,=.о. При этом легко заметить, что функция а(Ч) удовлетворяет тому же уравнению, тем же граничным условиям и интегральному условию, что и в случае незакрученной струи. С точностью до малых порядка 1/Ао разница сводится к членам, содержащим функции а,(Ч) и Ьо(Ч), которые нетрудно разыскать.

Полагая в третьем уравнении системы (187) — '=А Ч (195) о — ° Чс, т(Ч = О, о ) (ооО.— '")оо=о. о Ча'Ь,аЧ = О, о ~ ( + ' ) (11 ~о о о оо т1(а'Ьо+а,'Ьт)с(Ч = 2л!о Ь' то В Пв ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 669 я переходя от аргумента т! к новому аргументу В=а/4, связанному с уже ранее найденным соотношением ! — ат1!2 4 ! ! + — а'Ч' 4 прядем к гипергеометрическому уравнению твтА ЛА $($ — 1) — — — — 6А = О, явт дВ уегулярное решение которого при очевидных граничных условиях В=О при т1=0, 3=1 при !!=СО будет А($) =С(! — $)'(1 — 4$).

Обращаясь после этого к уравнению (198) и повторяя интегрироваяяв, получим ! / ! — атпв (! - — атпт) а~(т!) =Я(2$ — 1) = — р (в+ — *я*) Гяе  — постоянная интегрирования. Функция а,(т!) удовлетворяет условиям (191) и (192). Для определения Ь,(т!) проинтегрируем второе уравнение системы (189), которое представляется в виде т)'Ьв+ т!Ь вЂ” Ь, + т!аЬ,'+ т)а'Ьв + аЬв = (т)~Ь, — т!Ьв + т!азв)' = О. Получим т!Ь~ = (1 — а) Ьв, откуда следует (! 98) прячем постоянная интегрирования у определяется из последнего интегрвльвого условия системы (190), которое при Ь,=О переписывается в виде г.о т!а Ьвв(т) = 2лвт 'т" 57 Выполнив интегрирование, найдем 7= з~ з т., игр~, 64л ~" л Р Давление характеризуется функцией с,(т!), которая удовлетворяет последнему уравнению системы (188) при Ь,=О и равна з в 1 С = — — у' з ( 4 ч ) Используя полученные выражения неизвестных функций, придем к следующим приближенным формулам теории закрученной струи 579 ГЛ.

ЧН. ЛЛМИНЛРНЫЙ ПОГРЛНИЧНЬПЧ СЛОЙ В НЕСЖИВЫЕт!ОП ЖИДКОС»И (и „ обозначает скорость на оси струи): 1 т 1 — а'Ч'(1 — — аепа) ать 4 (, 4 х — р а (! ' — а'11е) 1 — атят 4 з 1 — — аапт 2ат ! 1 е 4 ! и= — — — рае (1+ — аааа) (! + — а'т1а) ! з а Ч (1 — — а*Ч') Ч (! — — епв) о = )У» ' — — — Рав ' —,, (198) 4 ) 1 1 в ! 4, 1 ('- -'а") ' ('-"-'а'"') ач 1 со =у 2 ха (1 + — аепа) 2 а 1 1 2сс' ! 1 зу ( ! ь — аапа) Я=2Л1в(4х+ Р).

Постоянные а и 7 выражаются через характерные для данной за. крученной струи величины: импульс и'„момент Е, и физические константы р, р. Что касается константы р, то ее появление, собственно говоря, связано не с закрученностью струи, а с уточнением приведенного в пре. дыдущем параграфе решения для незакрученной струи за счет членов порядка 1/ха в выражениях проекций скорости и, о и свободного члена в функцяи тока. Но предыдущее решение задачи для незакрученной струи было точным для источника с бесконечно малым диаметром выходного сечения. Как об этом легко заключить по последней формуле сищемы (198), члены, содержащие р, дают поправку на конечность начального расхода струи').

Пользуясь этой формулой и полагая в ней х=О, получим в принятом приближении (!'„1,— расход в начальном се. чении) Е, на* ри, 17.В* (1 99) 2л!ь 4 2пр 8» Отметим несколько важных с качественной стороны выводов. В то время как продольная и поперечная скорости убывают обратно прапор. ционально первой степени расстояния от источника струи, окружная скорость (закрутка) убывает обратно пропорционально квадрату того же расстояния. Этим объясняется тот факт, что при истечении из отвер.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
17,01 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее