Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 126
Текст из файла (страница 126)
ПАминАРныи пОГРАничныи слОИ в несжимАемОП жидкОсти подобного подхода и для температурных или концентрационных погра. нпчных слоев. Изложенный метод основан на использовании Бесконечного процесса последовательных построений решений универсального уравнения (127) при граничных условиях (128) и нуждается, конечно, в матема. тическом доказательстве сходимости этого процесса, к настоящему вре.
мени еще не найденном '). С этой оговоркой можно признать, в известном ропе, эквивалентность универсального уравнения (127) и уравнения Прандтля (!5), по. скольку первое из них было получено из второго преобразованием физических переменных х, у, тр (довольствуемся стационарным случаем) К ПЕРЕМЕННЫМ ОбОбщЕННОГО ПОдОбИя $, 1„7" „Гм ум..., Ф. Бесконечное число переменных обобщенного подобия в «универ.
сальной» постановке задачи теории ламинарного пограничного слоя практически сводится к небольшому их числу, оправдываемому подтвержденной расчетами быстрой сходимостью процесса. Следующая отсюда приближенность метода обобщенного подобия обусловлена при современной технике машинного счета вынужденно небольшим числом пе.
ременных. Это заставляет упрощать универсальное уравнение, используя те нли иные попущения. К ним прежле всего относится «урезание» числа переменных, затем «локализация» их по данному переменному, за. ключающаяся в отбрасывании производных по этой переменной. Переходя к конкретному упро1цению универсального уравнения (127), откажемся, подобно тому как это имело место в общем случае автомодельных решений (9 111), от совокупности переменных 7, (й= =2, ...) и О, (й=1, 2, ...), сохранив лишь переменную у„явно входя.
шую в левую часть уравнения (127), и выражения О, (й=1, 2,...) (125) в правой его части. Значение такого упрощения вскоре выяснится Со. хРаненнУю пеРеменнУю 7, выРазим чеРез основные пеРеменные 7« (й= =1, 2, ...), воспользовавшись для этого интегральным соотношением Кармана ($112). Будем иметь следующее выражение 7, [см. (1!2) н (113) ] (точка над буквой означает производную по й): У,=2К([„...) — [2+НУ„...) И, (130) где положено (13!) Уравнение (130) можно было бы вывести интегрированием обеих частей уравнения (127) от 9=0 до й=оо подобно тому, как это делалось в $ 1!2 для уравнения (11).
Для этого следовало бы только заметить, что появляющиеся при выводе интегралы равны (за толщину слоя прн. ') Изложению метода обобщенного подобия в разных его аспектах посвящен ряд работ, среди которых отметим следующие: Лойцяпский Л Г. Универсальные уран. пения и параметрические приближения в теории ламинарного пограничного слоя.— Прикл. мат. и мех., 1965, т. 29, № 1; и того же автора: Универсальные уравнения теории ламинарного пограничного слоя и параметрические методы нх интегрирования. — Труды ЛПИ, 1967, № 280; Обобщенно-подобные решения уравнений пограничного слоя. †Сб.
ник, посвященный шестидесятилетнему юбилею Л. И. С е д о в а, Мг Наука, 1969, с. 301; Методы подобия в теории интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя.— Сборник «Вопросы математической физики», посвященный семидесятипятилетнему юби. лею Г. А. Грин бе р г а, Лг 1976, Наука, с. 237 — 254. Ссылки на статьи, содержащие оазнообразные применения метода обобщенного подобия, приводятся далее. я на. ОБОБщение АФФинного пОдОБия яятоб"; В=У/б ) ~ Фо(б= (Ф)1:о — — Ф 10, (т'о)1 о В С ~Ффоф= ~Ф вЂ” (Ф 1) о(а» = Ф (Ф 1) ~я: — о + = — 1 Н6)1, Р о ~(1 — фа) о(б= ) (1 — Ф)он+ ) Ф(1 — Ф)Щ= 9 о о > ~(1 и) УУ+~ и (1 и) ду б' 11 Н+1 о о Интегралы от якобианов, как это следует из асимптотическнх (при 1 оо) формул (- — знак асимптотического равенства) ЮО С Фы$ — ~ (1 — Ф)о(3 =3 — ~(! — Ф) т($+ ~ (1 — Ф)о($ — $ —— б" о равны нулю; действительно, В "Р(ф,дфРдб)„Б Г7 дф дф дф дф ) ,( 1' 7 ',ц~ Р($ Ро),) 1 д$ дед/о дуо дао 9 о о оо о о ято н приводит к уравнению (130).
При таком «урезании» переменных 7» (!а=2, ...) и задании Д, по (130) универсальное уравнение (127) и граничные условия к нему приянмают вид дР ( 2 ) дбо ~ (д ) 1 ~ Ю (132) Ф, + ~„Ф,Ф, = Ф. + Ф, (0) Ф,Ф. = 0 Ф =О, Ф=О при 5=0, Ф- 1 ПРИ $ — » ОО, Ф=Ф.Ц) при ~,=~о=...=О, где подразумевается ради краткости записи, что 7', повсюду заменено своам выражением (130). Граничное условие в последней строчке для простоты отнесено к сяучаю продольного обтекания пластинки ($108), но с аргументом й= =у(б", отвечающим уравнению В ПЗ. ОБОБШЕИИЕ АФФИИИОГО ПОДОБИЯ 545 Ф"'=О, Ф'"=0 при 5=0! Ф1зг-+.1 прн $-»оо, Ф! 1= Фа (еь) ПРИ 1«с=О газ=О! уг* =2(~ ()О )з) — (2+и (11, 1,)))г), ~в'д„У,)=ФИ(О,Р„),), Иа'д„у,)=~(1 — Фп'(5,7,,7,)),Ц.
а Указанным приближениям можно дать следующее пояснение. Полное однопараметрическое приближение строго отвечало бы предположению о линейном характере изменения 12(х). Численное решение ураввеввя Праидтля (1б) для «односкатных» профилей сс(х) было выполнено Хоуа ртом '). Однопараметрическое приближение в решении универсального уравнения (127) предполагает учет одной переменной )„которая по своему определению учитывает влияние уклона касательной к профилю внешних скоростей (7(х). Знак 1, определяет конфузорный (),)0) или двффуэорный Ог(0) характер области пограничного слоя, в которой ведется расчет.
Двухпараметрическое приближение, которое включает наряду с 1, также и переменную 1,= (7(7"х', позволяет, очевидно, учесть еще выпуклость или вогнутость кривой (7(х) и ее местную кривизну. Кроме того, ввк вскоре будет показано, входящая в оба приближения величина толщины потери импульса позволяет интегрально оценить влияние предыдорин потока на характеристики пограничного слоя. Численное интегрирование уравнения (137) было выполнено 8, Ф.
Озер оной и Л. М. С им у ни'), в статье которых можно найти' подробное изложение численного метода. Приводим табл. 19 и 20 двух наиболее существенных для расчета пограничного слоя функций ага!(~о ~х) и 711" (1„),). Первая из них фигурирует в определении напряжения трения т на поверхности тела, согласно формуле (г ° !з). 1е! РО 1,! б ° (138) Вторая служит для определения зависимости 6" (х), а тем самым и 11(х) и )з(х). Этот второй заключительный этап расчета пограничного слоя основан на интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (111) или (112), которые в случае обобщенного подобия во втором приближении перепишутся (г = 1',*, г' =7, ) з1 1в) в форме Е гз! и ~' =~1,м уГ1, )о!), г!» (139) (! 40) где Р,'*'=и' = ' " ', Р,"=(7ОФ(ег*!)'=ии" ~ ч ч Методы решения нелинейного уравнения первого порядка (140) от- БОСИтЕЛЬНО ВЕЛИЧИНЫ ггз1=(б"1")а/Ч ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕдуЮщЕМ ПараГрафЕ. 1в-зчаг ') Ночя а г1Ь 1.. Оп Ьхе зо!опон о! !Ье Ьоппг)агу !ауег ейпаиопз.— Ьопаоп, Ргос.
Доу. Бос., 1938, А919, р Ьа, г) Озерова Е. Ф., Симуни Л. М. Численное решение уравнений двухпараиегрнческой теории пограничного слоя.— Труды ЛПИ, Азротермодинамика, 1970,№ 313, с. 44-53. ГЛ. Х!!. ЛАМИНАРНЫЯ Г!ОГРАНИ33НЫЯ СЛОЯ В НЕСЖИА!АЕМОГ! ЖИДКОСТИ 0 л О с'3 О 00 4' 00 3 Сс сР с 3 с сс С'1 Сс 03 С3 сл Ю с 1' 40 3 л Сс Ю С3 0 л О СЛ 1 С'3 О О сР сР л Сл Сс 00 00 Ю й 1' О сс С 00 О Сс СР С3 м й л ! СО 1 О 00 м С3 С3 с 00 1 СР 03 сР 1' СР СР сР С сл Сс О 4' Сс О сл 30 Ю «0 С Сс 30 с1 О 43 О 03 л Ю 03 03 Сс Сс Сс '4 00 сс Я 01 О 13 сс СР 00 СР О Ю Р СР 0 О 30 СР О сР С3 8 СР Р С '4' Ю С '4' Сс О Сл сл С.с О СР 00 33 О Сс 03 О Сс 3 м 03 3 сР ! м С с- сР '4' О сл О С1 .1 с О О 10 Сс '4' сР 10 О О 'Ф \Сс О 3 О 30 10 О Ф О 10 О Ф $.
с00 30 О О В !Щ ОВОВЩЕНИЕ ЛООИННОГО ПОДОВИЯ о сЧ О СО С! 40 5 С! й. о о СО 3 С о 40 00 00 о С! сО о о :О с! с с 04 с'! с! 00 о 40 С! С! о !' С! о с! а о сО О! С 44 м О! 4! с! 0 0 О Сс о с8' 5 !4 а а а 0 4 а и ! ! с'! о о 3 о" с! о о ! 00 о ! ! с' С!" с'0 С! СО сО О! о 40 \ СО 40 40 сО 00 о 00 С! С! Ы о" м сО '4 40 й С сО О! о Е 00" ! ! '4' С! сд 00 0 С! И о СО С! 4'! 00 00 О! 3 40 о Я о С 00 С0" о Ф. з С! С! Сс с! 40 О с» С 40 С! 00 СО о и.
Ж 00 о сО О! С!" С! Ф о" с! 00 О! ! С0 сО 00 00 О! С! 543 Гл. Х11. лАминАРный погРАничный слОЙ В несжимАемОЙ жидкОсти 4бб 4Я -4тг -41б Рис. 194 -4/б -4тб -4бб -4бб б абб 4бб Рис. 195 Интеграл этого уравнения содержит произвольную постоянную, для определения которой требуется задать в начальном (х=х,) сечении пе. которую характеристику профиля скоростей; таковой, естественно, является г',"=(б;*'"1'/ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
