Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Заданное произвольное распределение скоростей на внешней границе пограничного слоя заменяется в первом приближении линейным, во втором — квадратичным и т. д. представлениями, осуществляющими в каждой точке совпадение приблизкенного распределения скорости на внешней границе с заданным по уклону касательной, кривизне и последующим «кривизнам». Известный факт преимущест. венного значения совпадения по уклону касательной и первой кривизне и относительно малого значения следующих по порядку кривизн, делает уже второе приближение вполне удовлетворительным, что подтверждают расчеты. Это говорит о быстроте сходимости метода «обобщенного подобия» (Я !13 и 114), Каждое приближение приводит к своему уравнению, не зависящему от вида распределения скорости с7(х) на внешней границе пограничного слоя для частных задач и поэтому пазы.
ваемому «универсальнымж Универсальное уравнение для каждого приближения можно проинтегрировать раз навсегда, составив соответствующие таблицы. Для расчета отдельной конкретной задачи достаточно проинтегрировать обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка или воспользоваться простой квадратурой. ') Кочин Н. Е., Ки бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гндромеханика Ч. П.— Мс Физматгиз, 1963, с.
656 — 566; см. также Л ой ц я нский Л. Г. Ламинар. ный пограничный слой.— М: Физматгиз, 1962, с. 92 — 113 з) Л ойця нски й Л. Г. Прибли)кенный метод интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя в несжимаемом газе.— Прнкл, мат, и мех., !949, т. 13, вып.б, а) Лойцянский Л. Г. Интегральные методы теории пограничного слоя.— Прикл. мат. и мех., 1941, т. У, вып. 3, с. 453 — 470.
'! Н о те а г1Ь 1.. Оп 1Ье зо1н!1оп о1 Ше 1апппаг Ьонпбагу 1ауег ейпа1еап.— Ргос. о! !Ье коу. бос., зег. А, 1938, ч. 164, № 9!9, р. 547. а) Кочни Н. Е., Л ойц я н ск ий Л. Г. Об одном приближенном методе расчета ламинарного пограничного слоя.— Докл. АН СССР, нов, серия, 1942, т. 36, № 9. ') Лойця некий Л.
Г. Универсальные уравнения и параметрические прнближа. иия в теории ламинарного пограничного слоя.— Прикл. мат, и мех., 1965, т. 29, в. 4. 4 112. пРиБлиженные методы РАсчетА В основе приближенных методов теории ламинарного пограничного гхоя лежит использование в той или другой форме интегрального соот- абшения Кар м а н а, выражающего теорему количеств движения (тео- Оему импульсов) в применении к потоку жидкостивобластипогранич- ного слоя. Систему уравнений (1!), пользуясь вторым из них, можно тождест- венно преобразовать к виду д . д дУ д» вЂ” (иа) + — (ио) = У вЂ” + ч —, дх ду их ду' — (Уи) + — (Уо) = и —, д д дУ дх ду дх пбсле чего вычитанием по отдельности правых и левых частей этих уравнений получить — [и(У вЂ” и)]+ — [о(У вЂ” и)] + (У вЂ” и) — = — ч — .
д д дУ да» дх ду дх дуа Производя почлениое интегрирование по у от у=О до у= оь либо 6, нто соответствует представлению об асимптотическом стремлении и- У при у-мх> или понятию конечности толщины пограничного слоя (и= У при у=б), получим О,б ,,б д а= дУ д» 1а= — [и(У вЂ” и)] ду+ и(У вЂ” и)], + — ~ (У вЂ” и)г]у= — ъ — ~ дх дх в~, ΠΠ— + — (26" + 6') =— и рУО ') К й гге а п ТЬ. 0Ьег 1а»1!Баге ппд !»гЬ»1еп1е йе!Ьппи.— Хе!!Оеьг. 1. апяечг. Ма1Ь. и. МесЬ., 1921, Вд, 1, (106) Используем граничные условия (!2) или соответствующие предпохекеиию о конечности толщины пограничного слоя условия и=У, д»/ду=О при у=б.
Предполагая существование интегралов оэ,б .б ~ и(У вЂ” и)г(у, ~ (У вЂ” и)г/у О О и допустимость перемены порядка дифференцирования и интегрировании в первом интеграле левой части предыдущего равенства, получим со.б О.б Р дУ У д»1 — ~ и(У вЂ” и)г/у+ — ~ (У вЂ” и)г/у=и( — ) (104) дх 22х ~ ду/ О О Вводя следующие обобщения интегральных толщин пограничного слоя (41), (42) на случай лроизаольной скорости У(х) на внешней его границе ОО.б ОО,б 6'= ~ (1 — — ) г]у, 6" = ~ — (! — — ) 1]у, (105) О О сначала получим из (104) — '(Уб-)+У дУ 6 дх дх рУО а затем, раскрывая производную в левой части, придем к общепринятому выражению интегрального соотношения К а р м а н а (У'= агУ/г!х) 1) 634 ГЛ.
Х!Ь ЛАМИИАРИЫЙ ПОГРАИИЧИЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ либо — + — (2+Н) =; О= —. к и Ри* ' 6-' (107) В правых частях уравнений (104), (106), (107) использовано обо. значение напряжения трения на твердой поверхности обтекаемого тела т =р~ — ) (108) (» у) Ф ( у (( (х) 6~ (х) 1 и (х) ( 6 (х) ' На первый взгляд для определения 6(х) можно воспользоваться произвольно принятым условием (9б) и, согласно (87), получить урав.
пение и'г+-((х'=1, 1 2 интегралом которого будет (109) Однако это решение, связанное только с заданием скорости ()(х) на внешней границе пограничного слоя и ке отражающее влияния профилей скорости в сечениях пограничного слоя, должно быть откинуто и заменено следующим, основанным на применении интегрального со. отношения Кармана в любом из видов (104), (108) или (107). Условимся в дальнейшем использовать в качестве характерной толщины пограничного слоя интегральную «толщину потери импульса» 6" (42). Это упрощает расчетную сторону как рассматриваемого сейчас метода, так и всех дальнейших, При таком выборе толщины пограничного слоя роль параметров р и 8 будут играть величины (1'6" — ., 2()6"6" 1.=и'е-= — ', ~=и'"= ч ч (110) Наиболее обоснованным из известных в сороковых годах приближенных методов расчета ламннарного пограничного слоя был цитиро.
ванный в конце предыдущего параграфа метод Кочина — Лойцяне. кого. В этом методе общие автомодельные решения уравнений при. стенного стационарного пограничного слоя (см. $ 111) использованы применительно к неавтомодельным задачам в предположении, что пара. метры 8 и () меняются от сечения к сечению. Ограничимся однопарамет. рическим подходом, связав между собой ~) и 8 соотношением (96), приводящим уравнение (89) к виду (97). Располагая, таким образом, только параметром р, сможем применять имеющиеся таблицы безразмерной скорости и/((=Ф($, 8) и функций ьф), А(8) и В(р), приведенные в предыдущем параграфе. Сущность метода Кочина — Лойцянского заключается в разыскании неизвестной функции р(х) =(7'(х)е(х) =(('6'/ч, а тем самым и 6(х), так как, имея табличное определение безразмерной скорости и/()=Ф(6, 8) (см.
табл. !5) и найдя 6(х), можно будет получить решение конкретной задачи с заданным распределением (7(х) в форме 535 4 пв пРиБлиженные метОды РАсчетА Таблица 17 4 )Г) л Ш Р и) Р и) 40) и ))) 0,0000 0,064 0,098 0,130 0,155 0,178 0,200 0,221 0,240 4,03 3,35 3,12 2,96 2,84 2,74 2,66 2,59 2,53 -0,0681 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,60 0,01 Умножим обе части уравнения (107) на (/б*'/т; тогда после простых преобразований оио перепишется в одной из следующих форм: — = — Р(Л+ —,/, ,г/ и и' лх и и /=и ""' =Р(/), (112) ах где, кроме (110), введены еще обозначения Р(/) =2 (~(/) — [2+ Н(/)) /), (113) ~(/)=~,',„(,","..1, 1 =Ф(0,Л.
-г),й д 0,04 0,08 Т' и ти" и) гх и '!и и) ' Рис. !93 Выражения 9(/), Н(/) и Р(/) получим, воспользовавшись равенствами (99), (100) и (113). Составим следующую параметрическую систему соотношений (параметр В): и Влм и Ь )6- в 2 8' Л (Р) ч (,6) 6" В(Р) — =Ф(0, В) В(В) = ~(В) В(В), Р (В) = — 4(4Вв ($)) — 2~А (В) В (!)) + 2Ф (О, ()) В ф). Задаваясь различными 5, определим по табл.
16 значение А(р), В(р)„Ф(0, Р), затем по (114) /(р), Н((!), 9(р) и Р(р), после чего, исключая (), найдем искомые ~(/)=т,бй/()А(/), Н(/) и г" (/). Числовые значения этих величин помещены в табл. !7, по которой построены графики ~(/), //(/), Р(/) (рис. 193). Как видно из графика функции Р(/), ее можап заменить линейным представлением Р(/) =а — Ь/, а=0,45, Ь=5,35, (115) прячем отклонение от линейного закона (!15) не превзойдет значения 0,03.
Уравнение (1!1) при этом переходит в линейное обыкновенное дифференциальное урав- нение 539 ГЛ, ХГ! ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ интегралом которого будет к )' = — — „') У~' (х) сгх + С вЂ” . Из условия конечности ) при х=О, У=О следует С=О, и искомое решение примет окончательный вид к ~= —,~уь '(х)с(х, о (116) причем параметр 7' в начальной точке (х=О) равен ~ аи ( ) гт'-' (к) 1 ) Ьи '(к)и (к) ) Пользование Общей для всех задач табл. 17 и относящимися к дак. ному распределению У(х) в конкретной задаче значениями 7(х) ао (1!6) полностью решает вопрос о приближенном расчете пограничного слоя по изложенному методу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
