Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Добиться такого результата можно, положив вр' (х', у') = )/ х' р ( †" ) . ,!ействительно, дело сведется прн этом к разысканию решения в фор- м, ве содержащей й.: в =х 'з ~ (р !/ — ") (31) влв,если ввести в качестве аргумента и„ Ч= — У ~/ 2 У хх' (32) в следующем виде: зр='7 чи х р(Ч).
(33) Вычисляя входящие в уравнение (28) производные (штрих далее обозначает производные по т!) и замечая еще, что ач в, и„ач в, и„ вЂ” = — — у дх 4 В' ххв ' ду 2 1' тх ввйдем ар !, ар в, и„„ и-р'(Ч), — =-и ), — "р"(Ч), ду 2 дув 4 хх аьр ! и'„„, а,р, и„ вЂ” = — —" Р" (Ч), — = — 1вУ вЂ” "(Р(Ч) — ЧР'(Ч)).
дув 8 хх ' дх 2 й' х д~~ 1 и Чсу (Ч). дхду 4 х Подставляя полученные выражения производных в уравнение (28), после простых преобразований получим обыкновенное дифференвввльное уравнение третьего порядка ср=О, ср'=О при Ч=О, (34) ср' 2 при Ч-+.оо, ее, задача Блазиуса имеет автомодельное решение. 512 ГЛ. ХП. ЛАМИНАРНЫЯ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Заметим, что начальное условие при х=О, у)0 выполняется авто. матически и выпадает из системы граничных условий. Уравнение (34) в элементарных функциях не интегрируется.
Б л а з и у с проинтегрировал его методом сращивания рядов при малых и больших значениях 71, аналогично тому, как позже это делал Ко к р е н (9 10!); впоследствии уравнение (34) было проинтегрировано численно. Приведем результаты численного решения уравнения (34) в фор.
ме зависимости безразмерной скорости и/(7 от т! (табл. 14) Таблица 14 и 1 ч = — ЧЦЧ1 О„ и 1 с =г — = — Р' 1Ч1 И ! п г — — В' 1Ч! Найдем напряжение трения на поверхности пластинки: Для этого, пользуясь табл. 14, определим следующее из линейности зависимости и1(l при малых г! значение фа(0) 1р" (0) = ф ( ' ) ~ ( ) = 1,328 О,! и получим формулу Б л а з и у с а ври'„ т„= 0,332 х (33) Отметим две важные закономерности, выраженные последней формулой: местное напряжение трения пропорционально полуторной степени скорости набегающего на пластинку потока и изменяется вдоль по пластинке обратно пропорционально корню квадратному из расстояния От передней кромки. Формула Блазнуса дает хорошее совпадение с опытными данными во всех точках пластинки, кроме точек, близких к ее концам.
Вводя местный коэффициент трения сь получим 0,664 с! = —— ', Ре„= —" ! 2 (36) Суммируя напряжения трения по обеим сторонам пластинки, най. дем полное сопротивление трения пластинки й"1 = 2 ~ т дх = 1,328 3/ ррШ'„ о (37) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 0,0664 0,1328 0,1989 0,2647 0,3298 0,3938 0,4563 0,5168 0,5748 1,0 1,1 1,2 1,'3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 0,6298 0,6813 0,7290 0,7725 0,8115 0,8460 0,8761 0,9018 0,9233 0,9411 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 0,9555 0,9670 0,9759 0,9827 0,9878 0,9915 0,9942 0,9962 0,9975 0,9984 513 В !ОВ. ПРОСТЕНШИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ к соответствующий коэффициент полного сопротивления трения плаггнккм 1,328 Сг= = ', йе=— (ЗВ) — и'8 у вдесь 5 — площадь «смоченной» поверхности пластинки, равная 2»'.
1. Распределение безразмерных продольных скоростей по сечениям пограничного слоя пластинки бр у квсбражено на рнс. 186 в координатах и/У, у~О 7(~х). Там же нане!сны опытные точки по экспериментам Ханзена') для сечений пограничного слоя с абсциссами х=З;,о + 10; 15 см. При общем хорошем сод впадении теории с опытами можно !»метать некоторое отклонение точек при х=З см, объясняемое влиямем передней кромки пластинки, + с = аб» имевшей клиновидную форму. дд о х=геул Пользуясь табл. !4, найдем ° Х= Гевбб (39) 6„= 5 — ", (40) где 6„ введено для обозначения срдмнаты у в точке сечения пограккчмого слоя, где скорость и равна 099 У„, т. е.
на один процент отливается от У„; аналогично можно было бы ввести 6„, для ординаты, где скорость отличалась бы на одну десятую процента от У„и т. д. Такого рода толщины пограничного слоя будем в дальнейшем именовать номинальными. Выполняя численное интегрирование профилей скорости в сечениях пограничного слоя, найдем интегральные толщины пограничного игом: толщину еытеснения о 1 е л /~ Рис. !86 у б' =1 (! — — ) У»= !,уб! 1у' — ", 0 (41) и толщину потери импульса бу б" = ) — ( 1 — — ) Уу = ба »4 1 уб — "' .
0 (42) Последние две «толщины» пограничного слоя не дают количестмкного представления о номинальной толщине пограничного слоя (бпжЗ6«=7,56«"), но имеют то преимущество, что мало зависят от мточности совпадения и с У на границе слоя (при больших у). Например, 6* определяется заштрихованной на рис. 186 плоскостью, я-нвг '1 Н а и в е и М.
Р!е бсвс!баб!пбГ!9!ге!!в»сг!епппк бп дсг Ргепвв«Гг!сЫ ап е!пег с!пяе!висГб!сп Р!ане.— Ее!!вспг. 1. апяеаг. Майе п, Месвв., !928, ВбГ. 8, 8. 185 — 199. 814 гл, хц лкминк»нын пот»лничныи слои в неожи»шамон жидкости величина которой мало зависит от того, будет ли выполняться интегрв. рование до конечных абсцисс: 5 или 6. Из формул (40) — (42) можно заключить, что толщины слоя растут от передней кромки к задней прямо пропорционально корню квад.
ратному из абсциссы точки на поверхности пластинки. Сравнивая (39) с (40) — (42), заметим, что распределение скоро. стей в сечениях пограничного слоя можно рассматривать в одной ю следующих форм аффинного подобия; что эквивалентно условию автомодельности решения задачи Блазвусз 9 109. Примеры плоских «свободных» пограничных слоев: дальний след за телом, «затопленная» струя, бьющая из точечного источника В примере, рассмотренном в предыдущем параграфе, пограничник слой был «пристенным». Дадим два примера «свободных», не связан- ных с наличием в потоке твердой стенки пограничных слоев.
Завихренная бла одаря прилипанию к поверхности твердого тела вязкая жидкость сходит с поверхности тела, образуя за его кормов «след», состоящий из сохранившей У завихренность жидкости. Различад ют «ближний» и «дальний» следы в , ,'и„ зависимости от расстояния рас. сматриваемой области следа от задней кромки тела. Движение з «ближнем» следе зависит от погрз. ь~ ~е ~ ~пичного слоя на поверхности твер. дого тела, и поэтому расчет его с< представляет значительные трудно-/. ь сти.
Более просто решается вопрос о «дальнем» следе, в котором дввРис. 187 жение не зависит от формы обтекаемого тела, а только от испытывае. мого телом сопротивления )Р', скорости набегающего потока У„ и, ко- нечно, физических констант жидкости 1< и р. Направим ось Ох (рис.187) по скорости набегающего потока. Возмущение, произведенное телом в набегающем потоке, вызывает «провал» на профилях скорости в сече. ниях следа (рис.
!87). Этот провал будет тем слабее, чем дальше вниз по потоку расположено выбранное сечение. Обозначим возмущение про- дольной скорости через и„положив и,=(у„— и, ди< йщ и„— = —, дх ду» — = 0 при у =- О, ди, ду (43) и;»О при у — »~«о. и примем его для больших значений х за малую величину, квадратом и высшими степенямн которой и ее производных можно пренебречь.
Столь же малы будут и поперечные скорости, как об этом можно судить по уравнению несжимаемости. Уравнение движения в следе сведется при этом к одному Н ЮЭ. ПРИМЕРЫ ПЛОСКИХ «СВОБОДНЫХ» ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ бйб Из этого уравнения н предположения о плавности перехода к нулю нн бесконечности (ди,/ду — О при у- ~со) следует интегральное ус,1нвне — ~ и,ду=О или ~ и,с(у=сонэ(. г (44) ех Чтобы понять смысл константы и вычислить ее, выведем интесяньное выражение сопротивления тела через скорости в сечении следя на большом удалении от тела.
Применим теорему количеств движеняя в форме Эйлера к контрольной поверхности, охватывающей тело ннмеющей внд прямоугольника со сторонами, параллельными осям юордннат. На рис 187 прямоугольник показан штрихами. Считая сто. рнны его 2й и 2й. достаточно большими, будем иметь с тем меньшей свнбкой, чем больше эти стороны, и, в частности, чем больше й, рУ" 26 — Ю' — ~ риЧУ=О, Отсюда найдем приближенную формулу сопротивления Я7 тела: А А А Ь йн = рУ'„2й — ~ риЧу = (Г ~ ри ду — ~ рин ду = ~ ри (ы' — и) с(у, н снятая сечение следа достаточно удаленным ((;+.оо) и ширину его 1нстаточно большой (й- оо), получим В ЙЯ = ') ри((.Ä— и)ду. (45) Производя здесь замену и 0 — ип У„-и и„и отбрасывая кваднаты малых величин, будем иметь СО (р=ри ~ и, у, Гнк что интегральное условие (44) может быть переписано в форме и,с(у= —, РСГ (46) ыс йу-сопротивление тела, след которого изучается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
