Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 119
Текст из файла (страница 119)
нейшем мы будем довольствоваться приближенным определением точки отрыва на основе уравнений П р а нд тл я (11) и соотношения (!3) (или эквивалентного ему равенства нулю в точке отрыва коэффициента трения с, (см. 9 !08)), не оговаривая каждый раз условность такого определения положения точки отрыва. ') Сычев В. В 0 ламинарном отрыве.— Изв. АН СССР, МЖГ, )972, № 3; Ру. б а н А. А., С ы ч е в В. В. Асимпготическая теория отрыва пограничного слоя в несж!!- маемой жидкости.— Успехи механики, изд. ВИНИТИ, 1979, т. 2, вып. 4, с.
57-95; В го те п 5. !ч., 8 )ем а г ! зон К. Еагп!паг зерагацоп.— Апп. Йеть о1 Р!н!б МесЬ., Ра1о Ано, Са1!!., 1969, т. 1, р. 45 — 72. ') В!аз)нз Н Сгепхз«ЫсЫеп )п Р!йзз!8йе!)еп гпи Ые!пег йе!Ьипя.— Еейасйпй Маис и. РЬуз, Вб 56, 1908. ') Н)е иге и х К. Вие СггепхзсЫсЫ ап е!гоеп !п бег 81е)сЫогго!яеп Р!йзз!ййе!!з!гопг е!пяе1ансЫеп яегабеп Кге!заунпбег.— Гппя!. Ро!у!есЬп. 3оигп., ч. 326, 1911, р.
321, Т)од. ровное изложение этого вопроса сч в сборнике обзоров: Еапипаг Ьоипбагу )ауег!Еб 8 о з е п Ь е а б.— Ох!огг): С1агепбоп Ргезч 1963, р. 156, 231, 260, 264, 285, 329, а так. же Ш пихт и нг Г Теория пограничного слоя.— Мл Наука, 1969, с 160 — 166 и Лойп я н с к и й Л. Г. Ламинарный пограничный слой.— Мл Физчатгиз, !962, с. 82. 597 4 !07 РАзличные ФОРмы уРАВнений ЙРАндтля Тормозяшее влияние обратного перепада давления является необгадцлаьм условием отросва пограничного слоя с поверхности тела.
Так, арн постоянстве давления вдоль пограничного слоя отрыв произойти не цожет. Условие постоянства давления возникает, например, при обтекаави тела тонкой сравнительно с размерами тела струей. Внешняя граница такой струи является свободной поверхностью, так как граничит с неподвижной средой, в которой давление повсюду постоянно. Отрыв пограничного слоя от поверхности тела в такой струе не происходит; тонкие струи прилипают к поверхности тела, вдоль которой они распростраеяются.
Это любопытное, часто наблюдаемое явление иногда называют эффектом Коанда по имени румынского инженера А. Коанда, который обратил внимание на это явление еше в 1910 г. '). Отрыв пограничного слоя обычно относят к числу вредных явлений, внэываюших резкое повышение сопротивления обтекаемых жидкостью тел, опасные вибрации их, а в случае внутренних течений по трубам и а!валам к уменьшению полезного расхода жидкости, возрастанию потерь энергии и уменьшению коэффициента полезного действия. $107.
Различные формы уравнений Прандтля. Уравнения Мизеса и Крокко В приложениях теории плоского ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости предпочтительнее вместо двух уравнений (11) иметь дело с одним, получаемым из системы (!1) путем введения функцннтокатр(х, у), как известно, связанной с и и и равенствами и=дар/ду, и= — дэ)7)дх.
(!4) При этом уравнение несжимаемости [второе уравнение в системе (11)) выполняется тождественно, и уравнения Прандтля приводятся к оциому уравнению в частных производных третьего порядка с соответствуюшими граничными условиями др дмр др д р ас7 дыр — — — — — =(у — +м— ду дхду дх дуа дх дуа т)7=0, дф!ду=О при у=О, (15) дф)ду — «.(У(х) при у-«.оо, дй!ду=и,(у) при х=х,. Указанные формы уравнений Прандтля (1!) н (15) не являются единственно употребительными.
Остановимся на двух, часто встречающихся формах: уравнении Прандтля — Мизеса' ) и уравнении Крокко'), Уравнение П р а н д т л я — М и з е с а основано на использовании, наряду с х, в качестве второй независимой переменной — функции тока «)«. Переход в уравнениях (15) от переменных х, у к переменным Праидтля — Мизеса й=х, т)=7)7 может быть произведен по формулам ') Подробное описание этого явления, историю его открытия и послелуюшего исвальэования можно найти в статье: йеЬа 3. Арр!!са1юпэ о1 йе Соапда-епес1.— 5с).
Амат!сап, !966, Яппе, р. 84 — 92. ') М! эе а й Вегпегйппяеп янг Нудгодупагп й.— Ее))эсьг. 1. апяем. Ма1Ь. и. Месь, !927, Вд. 7, 5. 425 — 43!. Уравнения эти, судя по некоторым данным, были установлены Праватлем еше в !914 г. ') Сгоссо 1. А спагас1ег!э1)с 1гапыоггпа1юп о) йе ейпаиопэ о1 йе Ьоппдагу !ауег ш Калев.— АйС Пер., Ьопдоп, !939, № 4582. 508 гл.
хп. лхмннленыи погелннчныи слои в нвсжимлемоп жидкости (по определению функции тока: дт!/дх=дтр/дх= — о, дт!/ду=дтр/ду=и) д д дп д д д д дч д д — + — о, — — и (16) дх д8 дх дп д8 дп ду ду дп дп Применяя это преобразование к первому уравнению системы (!1), будем иметь (У зависит только от $) ди дУ д»' ди» и — =У вЂ” + ни — (и — ) . д8 д$ дч (, дч ) Вводя в рассмотрение «дефект» кинетической энергии в пограничиои слое по сравнению с внешним потоком г = — (Ут — и»), 2 (1Л (20) а=го(т)) при 3=5».
Определив в результате интегрирования г(Ц, т)), можно вернуться к обычной. переменной у, обратив интеграл и г т'212 — х) (21) о о Уравнение пограничного слоя в форме Прандтля — Мизеса (!9) по внешнему виду напоминает уравнение теплопроводности, но для того нелинейного случая, когда коэффициент температуропроводностн— коэффициент при второй производной в правой части, равный 12 т )»Я — г, — зависит от температуры (в настоящем случае роль тем.
пературы играет дефект кинетической энергии). Л. К р о к к о предложил выбрать в качестве независимых переменных вместо х, у следующие новые: ~=х, т1=и, а в качестве зависимой переменной использовать напряжение трения т=рди/ду. Для вывода формул перехода от х, у к $=х, т1=и имеем два очевидных равенства дч ди дх ди ду ди ди ду — =Π— — — + — — — + д$ дх д5 ду д» дх ду д0 дч ди дх ди ду ди ду дп дх дп ду дп ду дп или, согласно основному свойству пограничного слоя — постоянству давления по сечению слоя,— дефект полного напора г = ( У + — Ут) — ( ~ + — ит), (!8) получим уравнение ламинарного пограничного слоя в форме Мизеса — =ти — =1' 2т )/У вЂ” г —, де дтх д»г (19) д8 дч» дч» где положено 2= (г) „,= — У'. » 2 Граничные условия для этого уравнения в частных производных второго порядка будут следующими: г Я($) при т1=0, ггО при т! з ша пРОстеЙшие лвтомодельиые Ре!нения из которых следует: дц ди т ! ду ду !х ду1дц ду и или дц т (22) дц ди ди ду т ду дх дх ду дз и д5 (23) д д5 д дц д т д ду ду дх ду дц р дц Применяя формулы перехода (23) к первому уравнению системы (1!) и сокращая обе части полученного при этом равенства на т/!х, будем иметь ду+ др ду+ дт др и + дт (24) де д"- дц дц д5 т дц Второе уравнение системы (11) — уравнение неразрывности — преабрззуется к виду (дЧ/д$=0) ду ди — — „+ — = О.
де дц (25) Дифференцируя обе части (24) по Ч, найдем д /ду~ ду ди др д !р ~ д'т РЧ ( ) Р .+Р = — — — ! — )+ —. д$ (, дц ) д$ дц д5 дц 1, т ) дцт Чтобы исключить о, вычтем почленно обе части этого равенства из Рквоженных на р обеих частей равенства (25); тогда, замечая еще, что ду)дц=!х!т, получим следующее уравнение пограничного слоя в форме )(рокко: (26) Граничными условиями к нему, согласно (24), будут д(т*) др =2р —, при Ч=О, т=0 при Ч=(7; дц дй (27) т=т,(Ч) при $=е,. $ 108. Простейшие автомодельные решения уравнений ламинарного пограничного слоя.
Пограничный слой на продольно обтекаемой пластинке К числу задач, допускающих простейшие автомодельные решения уравнений Прандтля (!1) или (15), относится случай пристенного пограничного слоя на продольно обтекаемой пластинке. Направляя (рис.
185) ось Ох по поверхности пластинки, толщину которой будем счиззть пренебрежимо малой, ось Оу по перпендикуляру к поверхности пластинки, а начало координат выбирая в передней кромке О пластинки, заметим, что в этом случае внешний по отношению к пограничному Пользуясь этими выражениями, установим формулы перехода к переменным Крокко д дй д дц д д т ду д дх дх д5 дхдц дт р дй дц 510 Гл хн.
лАминАРный пОГРАничныЙ слОЙ В несжимхемои жидкОсги (29) Уравнения (28) и граничные условия (29) при этом запишутся в не содержащем характерные постоянные задачи виде длУ' дгл)г' дгг' дглт' дглУ' ду' дх'ду' дх' ду г ду г лр'=О, =0 при у'=О, х'>О, (30) ду' ') В!а г1пг Н. ОгепггсшсЬ1«п 1п Р15гыякснеп пп1!11е!пег йегьппя.— Венгсьг. Ма1Ь. и РЬГМ1г, 1908, В11. 56. слою поток будет Однородным, с одинаковой во всей области течения скоростью У . Используем уравнение Прандтля (15), приняв во внимание, что в данном случае У=сопз1=У , а дУгдх=О. Будем иметь уравнение дл)г дгл!г дл)л длЧл длл(л — — — — =т (28) ду дх ду дл ду' дуг Граничные условия для этого уравнения параболического типа при.
мем в упрощенной Блазиусом ') форме ф=О, — =0 при у=О, х>0, дл(л ду дчл — У при у ду — '=-У„при х=О, у>0. длу ду Принятое Блазиусом упрощение постановки задачи (28), (29) за. ключается прежде всего в замене профиля скоростей, определяемого обратным влиянием (торможением) пластинки на набегающий поток, невозмущенным профилем скоростей и=У при х=О, у>0; это выра. жается последним равенством в систе. ме граничных условий (29). Затеи условие прилипания жидкости к по.
верхности пластинки (0(х "-'Е, у=0) у заменяется первым условием в системе (29), выполняемым на луче (х>0, у=О). А и х Эти два упрощения следуют обычной постановке параболических задач и имеют простую физическую интерпретацию — отказ от учета «концевы» Рпс 185 эффектов» на передней и задней кромках пластинки. Тот факт, что скорость в точке х=О, у=О претерпевает разрыв непрерывности: и=У„при х= — О, и=О при х=+О, делает точку х=О, у=О особой, но нисколько не усложняет приводимого далее решения.
Характерное для параболического уравнения (!5) свойство нева. еисимости его решения в данной точке от последующих условий движения делает решение не зависли!им от длины пластинки ~, что будет да. лее использовано для выяснения общей структуры решения.
Перейдем в уравнении (28) и граничных условиях (29) к безразмерным перс»гениы»1, положив (штрих соответствует безразмерным пе. ременным; йе У 1«гт) х=(.х', у= у'= ~à — у', »9= — "лр' =)' ГУ ~лг'. 1/Ке 1г гГ~ )/Ре В ЮВ. ПРОСТЕИШИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ вЂ” — 1 при х' )О, у'- оо; д4' ау — =1 при х'=О, у' )О. дф' ду' Пусть искомый интеграл этого уравнения, удовлетворяющий гравмвым условиям, будет зр'=ф'(х', у'), в в размерных переменных во,о=~'и.тв (-',,р' — '"). Решение задачи ф(х, у) в любой фиксированной точке (х, у), как ржс ранее подчеркивалось, не зависит от Ь. Следовательно, зависиввсть в)' от своих аргументов х', у' должна быть такой, чтобы обеспецвввлось это свойство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
