Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 114
Текст из файла (страница 114)
нородным потоком неподвижного цилиндра с непроницаемой поверх. постыл имеют очевидную форму: на поверхности тела (8=0): У,=У,=О; на бесконечности Я-+.«О)! ӄ— )-соз е, Уг-е — 3!и с. Давление задается в одной точке, например в набегающем потоке. Как уже отмечалось, нз уравнений движения легко исключить даа. ление, перейдя к уравнению переноса вихря Г2. В координатах $, е оно имеет вид дй дй 2 Г дей дей ! 1г,— +У,— = — еь ~ — + — ), да де Ре дбе дее (163) где .гдУ д!г, 11=а 4 ~ — ' — — ' + Уе1 дй де (164) Если ввести равенствами г де де У,= — ~ = — ее д4! д4! дг д6 (165) Вывод приближенных условий для вихря на твердой поверхности, необходимых для конечноразностного решения системы в переменных «вихрь — функция тока», обсуждался выше.
Условия для функции тока на поверхности цилиндра очевидны; !р = — = О при $ = О. д4! д$ (166) При неограниченном удалении от тела имеет место переход к однородному потоку: о- О, — — а«созе, — — ееейпе при $- Оо. д4! - д4! де д" (169) Обратим внимание на существенное обстоятельство, связанное с практической реализацией условий «на бесконечности». Ввиду того, что этн условия в действительности приходится ставить на некотором конечном расстоянии )с))е( от тела, в постановку такой геометрически безразмерную функцию тока !р, то задача определения зависимых пере.
менных (е, !)! сведется к интегрированию системы дй! дй дч! дй 2 !'дей дей '1 де де д5 де Ке ! дбе дее,) — + — = — ее41е, д'!Р деЧ! (167) д$' де! и !П«. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 489 «урезанной» задачи войдут уже два линейных масштаба: д и !«и, следопптельно, два числа Рейнольдса; йе=(/„д/у и йе,=(7„)7!у»йе. Из-за большой величины йе, решение в области внешней границы С, (окружности радиуса )ч) может меняться весьма заметно и даже осциллиромть, если условия на С, заданы недостаточно аккуратно; подобные не. точности могут исказить решение и вблизи тела Простейший путь, т.
е. выбор заведомо большого Гх, гарантируюший расположение контура С, в области практической однородности решения, в ряде случаев оборачивается чрезмерными затратами ресурсов ЗВМ. Величину Я удается уменьшить, если применить на С, условия в иных формах: учитывающие асимптотику поведения решения при больших г, а также так называемые «мягкие» граничные условия. Последние мключаются в том, что в следе за телом и в прилегающей к нему части потока на расстоянии )7 ставят условия в виде равенства нулю перюй или второй производных по г от искомых функций.
Численные эксперименты показывают, что такие условия значительно слабее и в меньшей области деформируют решение, чем поставленные там же обычные жесткие» условия (169) или соответствующие условия для скорости. йнесте с тем понятно, что мягкие условия можно поставить только на чисти контура С„поскольку они не несут никакой информации о набе.
гпюшем на тело потоке. Исследование аснмптотики решения при больших г вместе с чисмииым решением задачи об обтекании кругового цилиндра содержится пработах К. И. Бабенко, Н. Д. Введенской и М. Д. Орлопой'). Установлено, что при данном числе Ре характер затухания возкушеинй различен внутри следа: (и †„! = 0(г-ш) и вне его: )и — сг'„! = =0(г'). С учетом асимптотического разложения вихря и возмущений скорости при больших г авторы приводят условия на С,: У,(е) = созе+ )г,(в), Га (е) = — з)па + )г,(е), О(к) = «1(е), (170) гле отмеченные знаком — величины представляют собой первые члены асишптотических разложений соответствующих функций около С,. Выпишем для примера (гл Р Рсозе I г) .,еп 1', = —— ехр( — — и!пп — ! 2п)П 2 !2н«О'йе)и (, 2«йе гпе à — сила (заранее не известная), действующая на единицу длины цилиндра.
Влияние применения перечисленных видов условий при г=)ч на точность решения задачи об обтекании кругового цилиндра исследовалпсь в работе В. А. Г у щ и н а '). В цитированных работах К. И. Бабенко с соавторами использовались, в отличие от рассмогренных выше постановок, переменные «пикрь — проекции скорости». При этом система включает, помимо уравнения второго порядка переноса вихря, еще два уравнения первого порядка: неразрывности (!62) и связи между вихрем и проекциями скорости (164). Стационарное решение в области 1<г<)7, 0<в<тс опрецедпется методом установления, В уравнении переноса вихря, дополненном членом дйй/д(, конвективные члены аппроксимируются явно (на слое ') Бабенко К.
И, Ввеленская Н Д, Орлова М. Г. Расчет стационарного обтекания кругового цилиндра вязкой н«идкостью.— Журн. вычисл, мат и мат. физики, !975, т. 15, № 1, с !83 — 198 и тек же автооов: Результаты расчета обтекания Пмкпиечного кругового цялиндра вязкой жидкостью.— Препринт ИПМ № 38, 1971. ') Г у и« и н В. А. Численное исследование обтекания тела конечного размера помпон несжимаемой вязкой жидкости †Жу вычисл.
мат. и мат. физики, 1980, т. 20, )и 5, с. 1333 — 1341 ГЛ Х1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕГ(ИЯ НАВЬŠ— СТОКСА 490 1„), а члены, соответствуюшие вязкости,— неявно (на слое 1„+,): о+г ~ч 2 дг)о 17" що Лг йе дг г де Остальные уравнения, для которых зависимость от времени является параметрической, записываются на слое 7.+Р С учетом общего четвертого порядка системы необходимо иметь че. тире граничных условия. Дополнительно к условиям У„=У,=0 при г=1 (;-=О) ставятся два условия на контуре Со Если используются асимптотические условия, то ими в принципе могут быть любые два из набора (170).
Преимущество того или иного сочетания этих двух условий определяется путем численных экспериментов. В работах К. И. Ба. бенка с соавторами преимушество отдается условиям для У, и аа. Таким образом, специфика задачи, записанной в переменных «вихрь — проекпии скорости», проявляется в том, что по крайней мере три из четырех условий формулируются длн проекций скорости. В итоге отпадает необходимость в самостоятельном приближенном условии для вихря на твердой границе, отсутствующем в физической постановке и часто замедляюшем вычислительный процесс. Способ решения ие является обычным конечноразностным по обеии переменным.
Для аппроксимации зависимостей У„, У„(1 от угла е ис. пользуются тригонометрические иолиномы с коэффициентами, завися. шими от г и 7, совпадающие с искомыми функциями на лучах е=е„= =2лй1(2М+1), й=!, 2, ..., 2М+1. Выпишем такое представление для радиальной скорости: м У, (г, е, 1) = ~~~ ~(а "(г, 1) соз те + а " (г, 1) ейп те).
Аналогичные тригонометрические аппроксимации вдоль дуг окружио. стей (соответственно с другими коэффициентами д;„' н Ь ', с' и е"') применяются для У, и г). Подстановка этих рядов в исходные уравнения сводит задачу к системе обыкновенных линейных дифференциальных уравнений относительно а'"(г, 1„,), а' '(7,7„„),... (не приведенных здесь ввиду громоздкости), решаемых конечиоразностным методом. В цитированных работах К. И. Бабенко с соавторами решается за. дача обтекания цилиндра в диапазоне чисел Рейнольдса от 1/8 до 100; )7 при этом меняется от 400 до 50, а число узлов на лучах — от 200 до 75; М=32. Затруднения при малых значениях ке связаны с необходи. мостью увеличения радиуса расчетной граьицы, а при больших †сужением области следа за телом, что требует большого числа гармоник. Некоторые из полученных в этих работах результатов будут приведены ниже.
Использование для решения задачи внешнего обтекания «естествен. ных» переменных «проекции скорости — давление» рассмотрим на примере работы О. М. Белоцерковского, В. А. Гушина и В. В. Щ е н н и к о в а '). В В 102 была в обших чертах изложена идея метода «физического расшепления», заключаюшаяся в двухэтапном определении неизвестных скорости У"+' и давления р, соответствующего переходу от („к 7„„, по известному полю У". Напомним, что на первом этапе )уравнение (144)] определяется промежуточная скорость У с учетом только конвекгивноих ') Белоцерковский О.
М, Гущин В А., Щенников В. В. Методрасгцепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкостн— Журн. вычнсл. мат и мат. физики, 1975, т. 15, № 1, с. 197 — 207. См. также цитировав. ную в начале $ 102 монографию О М Б ел оце р ковского. $ ~о«численнОе исследовАние ОБтекАния кРуГОВОГО нилиндРА 49! 1пцзквсгных членов, а на втором [уравнение (145) ) к !7 добавляется цюгепцнальный вектор (г. е.
учитывается действие сил давления), что мк раз и обеспечивает результату этой добавки !/" ' свойство соленокцальности. Полезно подчеркнуть, что уже на первом этапе полностью воспроизводятся вихревые характеристики искомого поля скорости, так как потенциальная добавка к 1', очевидно, является безвнхревой. Обычно применяются «гибридные» сетки со смещенными узлами (1 !02, рис. 172, а). При использовании таких сеток существенным вопросом становится способ определения касательной к твердой поверх.
ности компоненты вектора 1/ для ячеек, смежных с этой поверхностью (~прнстеночных»). Шаблон на рнс. 172, б дает представление о распоцоженни компонент скорости на слое /., формирующих значение й в центральном узле, обозначенном и,. Видно, что если речь идет о вычисмкпн касательной к стенке компоненты й в пристсночных (удаленных цц ау/2 от твердой поверхности) узлах, то придется оперировать великкнаии скоростей в фиктивных ячейках внутри твердого тела. Авторы гпцько что указанной работы предложили способ приближенного вычиспцкпп касательных компонент У и пристеночных узлах, следующий из Грцннчного условия прнлипания в комбинации с уравнением движения к пе требующий введения подобных ячеек.
Сущность этого способа поксппи далее для случая декартовой прямоугольной системы; для поляркпй системы координат получаются аналогичные выражения. Разложение в ряд Тейлора касательной компоненты скорости к(к, у) по нормали у к твердой стенке в пристеночной точке с индексакп1,1/2 (х=!Ах, у=Ау/2) имеет вид Ьу Г дл А»+1 Лук ! дки '1л+1 2 1,ду)1и 8 1,дул)1, Используем проекцию уравнения движения на Ох в той же точке, чтобы выразить д'и/ду' через др/дх, Учитывая, что и1Я =0(бу), получим ~ — ) =Ре Я + 0(Ребу). ' и и Кроме того, заменим (ди/дд)ГЯ на (ди/ду)1,м с погрешностью 0(А/). Тогда придем к выражению и1,и — — — ( — ) — — Ре ( — ) +0(дуз, Редуз, /зуд/) ~и-1 АУ Г ди А" АУ« Г дуч «+1 2 ду)1И 8 (, дх) Ирпыеняя те же обозначения, что и для внутренних точек, запишем последнее равенство в виде л дуч и1л/=икм — А/л ~ — ) +0(скуп, Ребуп, /зуб/), дх (17! ) где /дл Хл иг и = — ~ — ), А/л= — Ре.
2 чду)1, 8 (172) ил л "' ' + " * + 0 (Л~ ) Аппроксимируя далее(ди/ду)1„, на трехточечном неравномерном шаблол л л пес шагами Ау/2 и Ау по значениям и1« =О, иг,и и и1./,. ГЛ Х! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА 4зг а (др/дх)ьъ — в средней точке двухточечного шаблона по зиаченняч Ри-!«ъ Р-ъ,ъ: (').„= — = — (р!+И.и — р!-И,и) + О (ох') дх,!! у ах придем к приближенному разиостиому соотношению в пристеночных уз. лах, связывающему и!„,' со значениями и" и давления р: ис,м =- и!'.и — й» ах (173) ию,и = — — +— После дискретизации соотношения (171) временной индекс у функции р в (173) опущен; имеется в виду поле давления, обеспечивающее солено.
идальность поля скорости при переходе от 1. к 1„,. В рассматриваемом методе разностные соотношения для определе. ния р получаются для каждой внутренней сеточной ячейки путем под. становки в разностный аналог уравнения неразрывности для этой ячей. ки значений и"+', о"+' из разностных аналогов уравнений движения (за. писанных с использованием «промежуточных» величин й, й в узлах определения соответствующих скоростей на сторонах ячейки). Это эквивалентно применению в разностной форме операции диверсенции к урав. пениям движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
