Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Если для решения стационарной задачи воспользоваться методом установления, то итерация примет вид временнбго шага, а итерационное соотношение (148) для приращения бр можно трактовать как разностный аналог нестационарного дифференциального уравнения у (у 'з') др дс или А — Р+ У .
Р'=О, (149) дС где А)0 — параметр, выбор значения которого позволяет влиять на быстроту сходимости итерационного процесса. В рамках метода установления, как уже отмечалось, целесообразно применение неявных схем расщепления. Для пояснения сути метода кратко запишем исходную систему, состоящую из проекций уравнения количества движения и уравнения неразрывности в форме (149), в виде — + ЕУ=О, дс где У вЂ” столбец с компонентами )г„'У'„'У'„р; Š— пространственный оператор.
Запишем для этой системы неявную разностную схему первого порядка по С, аппроксимировав каким-либо образом пространственные производные: й" — и" +Е"У""=О Ас или (Е+ЛСЕ ) У" =У. где множители в конвективных членах взяты на слое С., на что указы. вает значок н в обозначении Е"; Š— единичный, т.
е. обладающий свойством ЕУ= — У, оператор. Непосредственное решение данной задачи затруднено ее многомерностью. Выше рассматривался метод переменных направлений, сводя. щий многомерную задачу к набору одномерных. В последние годы для решения многомерных задач широкое распространение получил метод расщепления'). В соответствии с идеей этого метода приближенно за. ') См.,например, указанную в начале настоян!его параграфа монографию В.М.Ко.
вени и Н. Н. Яненко. Ч!ОЗ. ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ 477 ненни оператор Е+Ь11.', действующий на неизвестную функцию У"+', произведением П(Е+ Ыл.,"), в котором Ь." (з=!, 2, 3) — операторы, 6=1 сопержпшие производные только по х„й"= 1.", + А.,"+(.",, Благодаря зпну, что оператор теперь представлен произведением одномерных оперпторов, разностная схема (Е + б11)~ (Е + ЖЕ",)(Е + Ы1",) У~' = У" легко разбиваегсл на три подсистемы. Действительно, введя промежуГачные сеточные функции У"', Угм и приняв для удобства обозначения (ГЕ=У"", У'"= У", будем иметь (Е+ЛЫ.,")У"'=Уо" (З=1, 2,3; по з не суммировать), т, е. три одномерные задачи, каждая нз которых содержит только аналоги производных по одному направлению х,.
Функции У"', У"', Уол определяются в порядке возрастания номеров. Особенностью данной схемы расщепления является зависимость результата установления от бз, что непосредственно видно из развернутой записи системы ='+ 1."У"-+ б( (Ф.;+ ФЛ+ 7.",(.",) У- + б(ЧР".ДУ" = 0. ш 07 этого недостатка легко освободиться, если сформулировать задачу пля определения не самой функции У"+', а временнбго приращения й()"И=У"+' — У". Для разностной задачи Аи"" + Е. (У.
+ бУ-,) плн (Е+б(1.") ЛУ"+'= — М1."У" приближенно представим оператор Е+ М1." так же, как и выше. Обозначзя теперь У"'= — бУ."У", Уиз=ЛУ +' и вводя две промежуточные функции Уги и У"', придем в этих обозначениях к трем одномерным задачам прежнего общего вида. Развернутая запись схемы ~"-'" + 7 "У""+ д( ((,",Г, + 7,"(,"+ (.",Е",) бУ""+ бМР."Е". ЬУ-'=О пз показывает, что при установлении (У"+'=У", ЛУ"+'=О) получается, независимо от Ы, решение разностного аналога стационарной задачи Ш=о.
В следующих двух параграфах изложенные здесь некоторые общие положения и методы решения уравнений гндродинамики найдут применпнне для конкретных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. 5 103. Пример численного решения внутренней задачи: циркуляционное течение в каверне Внутренние задачи динамики вязкой жидкости обычно представляются более простыми, чем внешние, поскольку для них отсутствуют условия на бесконечности. Последние при численном решении ставятся на ппстаточно большом конечном расстоянии зч от тела, и выбор величины й влияет на точность решения. В то же время и для некоторых классов пнутренних задач (например, для течений в каналах) возникают сходные проблемы, когда приходится формулировать граничные условия пннз по потоку от начального сечения.
ГЛ. и!. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА 478 Возьмем в качестве примера уже классическую модельную задачу о плоском стационарном течении в прямоугольной полости (каверне) с верхней стенкой, движущейся в своей плоскости с постоянной скоростью (/, (рис. 171). Жидкость, целиком заполняющая каверну, вовлекается В движение силами вязкости. Такая постановка, будучи геометрически крайне простой, позволяет отразить многие характерные черты задач, описываемых уравнениями Навье — Стокса: конвективную нелиней.
ность, различные соотношения между инер. ционными и вязкими силами, одновременное существование областей малых и больших градиентов и т. п., благодаря чему задача о каверне широко распространена в качестве я «тестовой» при численном моделировании. Рассмотрим далее особенности постановх ки и некоторые методы, используемые для решения задачи о каверне, а в конце пара. графа обратимся к результатам решения. Рис.
!7! Примем за масштабы входящие в поста. новку задачи длину /, и скорость (/,; тогда масштабами функции тока и вихря будут Ь//, и (I,//.. Таким образом, единственным критерием подобия является число Рейнольдса Ре=(/,//у, а геометрическим параметром задачи — ве. личина Й=Н//.. Для численного исследования течения в каверне применяются как переменные «вихрь — функция тока», так и переменные «компоненты скорости — давление». В первом случае система состоит из уравнения переноса вихря (135) и уравнения Пуассона для функции тока (!36). Граничные условия для ф являются нулевыми на всем периметре, так как все четыре стенки непроницаемы для жидкости.
Приближенные условия для вихря й на твердой непроницаемой границе были получены в $ 102 [формулы (137) и (138) ); в случае подвижной стенки в них вносятся естественные изменения. Так, разложение ф в ряд Тейлора около верхней границы с учетом безразмерного условия (дф/ду) =1 вместо преж. него дф/ду=О дает аналог условия Тома первого порядка точности: йр~ =— (150) где индексы й7, й7 — 1 соответствуют точке на подвижной стенке и бла.
жайшей к ней точке на нормали. Введем равномерную сетку с узлами х;=!Лх (/=О, 1, ..., М= =1//Ах); ус=/Лу (/=О, 1, ..., 7«'=Н//Ау). Ограничимся пока простей. шими симметричными аппроксимациями второго порядка точности всех пространственных производных — п(хь у;) =( — ) !' 7 (151) и(хь /7,) =! — ) — ' ' и т. п. 7 аф ! ФА! à — 'РЕТ-~ (, ау )„„ 2ау «Р~! Записав во внутренних точках (!= 1, 2, ..., М вЂ” 1; / = 1, 2, ..., /У вЂ” 1) 2(М вЂ” 1) Х (В! — 1) разностных соотношений, аппроксимирующих стацяо. парную задачу (135) и (136), и присоединив к ним указанные разностные граничные условия для ф и !2, получим замкнутую алгебраическую систему, содержащую, очевидно, произведения компонент неизвестных сеточных функций !сч и фч.
Нелинейность делает невозможным прямое решение этой системы и заставляет обращаться к итерациям. Но даже д зез ИРимеР численнОГО Решения ВнитРеннеи 3АдАчи 479 если и отвлечься от нелинейности, считая, например, на данной итерации зхачееия фо в уравнении переноса вихря известными, то непосредственное определение ййи нз-за деумерности будет весьма трудоемким. Можно ограевзовать итерационный процесс, избрав для решения стационарной задачи метод установления. Для этого в уравнения (135) и (136) надо зхлючвть соответственно дйл)ду и дф/ду, придав итерациям форму врегмнеых шагов.
Подобный подход на основе явной схемы, когда, напомнхи,пространственные производные берутся на нижнем временном слое )„=пб1, был применен для решения данной задачи в 1965 г. Л. М. Сияунв'). Т, В. Кускова' ) использовала неявную схему переменных налравлеяий первого порядка точности по времени (см. 9 102): +Ы( — "")"'+( )'1 ° (152) ДГУ2 ( а' ) ~ Ера ) дцяг2 ( охя ) х дуз ) (153,) ~) Си и у и и Л.
М. Числеииое решение задачи движения жидкости в прнмоугольяея яке.— Прикл. мех. и техн. физика, !965, № б я) Кусков а т. В. Числеииое исследование двумерных вязких течеиий иесжиязеиад жидкости.— В кип Некоторые применения метода сетон в газовой динамике. ус Изд-во МГУ, 1971, вып. 3. Здесь верхние индексы, как и прежде, относятся к временнйм слоям; й)ь д!я — временнйе шаги (итерационные параметры). Для краткости запвса сохранены обычные обозначения пространственных производных для соответствующих аппроксимирующих выражений. Как видно из (!52) и (153), вычисления при указанных аппроксимациях заключаются вскалярных трехточечных прогонках вдоль отрезков у=сопз1 и х= =сопя!. Сначала из соотношений (152) по известным 52" и ф" определяются в два этапа новые значения вихря 52"+', а затем на основе Й"+' и 9" находится по (153) функция тока т(з"+'.
Итерации прекращаются при достижении требуемой точности сходимости к решению стационарной зппроксимирующей системы: Ю""' ьд" 1!(е )!чз"+' — тр"))(е Если же рассматривать нестационарные (эволюционные) течения, тохарактер проведения итераций изменяется. Величина Лг, приобретает синел интервала физического времени, а Ыя сохраняет значение итерационного параметра. После перехода от 52" к 52"+' на основе уравнений (!52) делаются внутренние итерации в системе (153) до решения с трейуеиой точностью уравнения Пуассона, вслед за чем обращаются к следующему шагу Л1, по времени и т. д. Как способы аппроксимации конвективных членов в уравнениях (135), (136), так и методы решения стационарной нелинейной разностяой задачи отличаются разнообразием, гл. х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
