Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Этим обстоятельством объясняются многие особенности разиостиого решения, не имеюшпе места прп движении физизескк невязкой среды и порои приводяшие к неправильной трактовке результатов расчета. Помимо упоминавшегося и наиболес сушественноГо для практики свойства сглаживания, отметим повышение энтропии и зругие более сложные проявления схемнь1х диссипативных эффектов, Для схемы (133) с разностью «вперед» по пространству при а>0 з дззбых соотношениях шагов ю,(0 — схема безусловно неустой1ива. Этот вывод совпадает с полученным спектральным мегодом. Заметим, что если бы разностное уравнение учитывало физическую вхзхосгь среды ч (как, например, уравнение (128), аппрокспмируюшее дифференциальное уравнение (120) вязкого течения), то первое дифференциальное приближение имело бы вид ди ди д»и — + а — = (т + т„) д1 дх дх Ясно, что если ч„=т, то использование такой схемы эквивалентно расмту течения существенно более вязкой жидкости.
Учет влияния схемной змкости выходит на первый план при больших числах Рейнольдса. Яздо также иметь в виду, что при решении уравнений с нелинейными кокаектнвными членами в выражение т,„войдет вместо заданной скороан а искомая и, в связи с чем количественная оценка роли схемной вязкости становится возможной лишь после решения разностной задачи. 4, Явные и неявные схемы. Приведенные схемы были явными, так хзк они содержали лишь одну точку на верхнем (г=!..,) временном свое и, таким образом, позволяли непосредственно вычислить неизве- ГтаОЕ и«ы ПО ИЗВЕСТНЫМ и" На НИЖНЕМ (1=1„) СЛОЕ.
Явные схемы могут обладать только условной устойчивостью. Необзьдкмое условие устойчивости Ку рант а, Ф р и д р и х с а и Л е в и (!(ФЛ) требует, чтобы область зависимости решения разностной задачи (т, е, совокупность узлов, содержащих величины, определяюшие решетке в этой точке) включала в себя область зависимости решения дифференциальной задачи. рассмотрим для иллюстрации уже исследованную разностную явнузз схему (132), аппроксимирующую дифференциальную зада11у — + а — =Г(х, !), и(х, О) =и1'1(х).
ди ди дз дх Знясиим, какова область зависимости решения разностной задачи в узле А(х, 1„»,) плоскости х, !. В соответствии с шаблоном, показанным нз рис. 168, а, значение и'„+' в точке А определяется величинами и"« на слое т„и только ими. В свою очередь и" определяется .«-1 «Ы ««Ы « «-Г «-2 «-2 ",",а „г~, а и, — значениями и „и ., г„з на слое 1„, и т. д. Рассуждая таким образом, придем к выводу, что область зависимости !1ешення в точке А составлена из узлов, попавших в область прял1оугольнгго треугольника АВС с гипотенузой АС, яроходяшей по диагоналям ячеек, вертикальным катетом АВ (х=х ) и горизонтальным катетом ВС-отрезком оси 1=0 длины (и+1)М, на котором поставлено начальиое условие. На рис. 1б9, а показана такая область для п=2.
468 ГЛ. Хь ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА С другой стороны, решение исходной дифференциальной задачи геперболического типа, имеющей в плоскости х, ! характеристики с угла. ными коэффициентами а//дх=а ', можно представить в виде и(х, 1) =и(х„О)+ ~/(х($), Ц йв, 0 и С Р В х Р В а/ б~ Рис.
!69 где функция х(Г) дает закон движения выделенной частицы, х,=х(0), а интегрирование проводится вдоль характеристики. Таким образом, об. ласть зависимости решения дифференциальной задачи в точке А представляет собой отрезок соответствующей характеристики между осью !=О и этой точкой. Для случая а=сопз1 характеристики являются прямыми; на рис. 169, а характеристика АА! показана штриховой линией с угловым коэффициентом Ах 1а у = 1/а) О. Не посредст. А А венно видно, что условие сз— КФЛ (А0 находится в пре. делах треугольника АВС) ~2 выполняется для рассмот.
/ ренной схемы при !ау) / ~~Ы/Ьх (условная устойчивость), что как раз совпа- «2 у дает с встречавшимся уже условием и=аЛ1/Лх(1. Треугольник АВС зависимости решения разност. ной задачи для аналогичной схемы с разностью «вперед» но х (второе из соотношений (127) с шаблоном, изображенным ва рис. 168, б) показан на рис.
169, б; как видно, при а)0 условие КФЛ не выполняется ни при каких соотношениях между М и Лх (безусловная неустойчивость). Если а .-О, то, наоборот, безусловно неустойчнвой станет предыдущая схема. Примем для простоты /=О. Тогда при а=сонэ! дифференциальное уравнение (!25) описывает распространение простой волны, когда фнк. сированная форма начального возмущения и'"(х) смещается как одно целое со скоростью а вдоль оси Ох, а значения функции и(х, 1) постоянны вдоль характеристик, Интересно выяснить, в какой степени отража. ет условно устойчивая схема (132) это свойство решения дифференцнальной задачи. Если положить в схеме и=1, то диагональ сеточной ячейки АС сов. падет с характеристикой А0 (рис. 169, а), а из соотношения и"„+~ = =(1 — и) и" + ии", будет следовать и"+' =й , = ...
=и'„ „ В, т. е. разностное решение точно передает распространение простой вол. ны. Однако проводить вычисления на верхней границе устойчивости уда. ется редко. Так, если коэффициент а и вместе с ним и=а б!/Ьх пере. меины на данном временном шаге, то деизбежио имеются узлы, где к<и „(!. Тогда, как ясно из предыдущего, область зависимости решения в данном узле включает не одну, а несколько точек при 1=О, что уже не соответствует свойствам дифференциальной задачи. Чтобы количественно оценить влияние и, рассмотрим изменение во времени кусочно-постоянного («ступенчатого») начального профиля и': и' = 0 при Гп < О, и» = ! при Гп > О.
Замечая, что и««» (1 х) и» + ии» вЂ” (1 н)» и -1 + 2 (1 и) ии«-» + и»и«-1 =(1 — к)»и"-' + 3 (1 — и)» ни"-»+ 3(1 — х) н»и«-» + и'и 1 гох метОды численного Решения урхвненип нАВье — стОксА 469 2 полагая для примера п=2, вычислим сеточную функцию для значений цепного параметра х=1, 0,9 и 0,7, сведя результаты в таблицу: Номер слоя о 0,0О1 0,027 0 0,026 0,216 0 0,271 0,657 1 1 0 0,01О О,090 0 0,190 0,510 1 1 о 0,100 0,20О 1 1 1 1 отппчаюшимся от (132) только тем, что во втором члене разности взяты пп верхнем слое т„е, (шаблон изображен на рис.
168, г). Спектральный пмод дает 17.) 2=1+2х згпл(а/2)+хе з(п'а. Поскольку 17,~ (1 при любых х>0, то схема при а)0 беэусловно устойчива. В неявных схемах несколько неизвестных алгебраически связаны между собой. Высокая устойчивость таких схем приобретается ценой усложнения алгебраической стороны задач, особенно многомерных н полпиейиых. Что касается нелинейных разностных уравнений, то их решеппе, как правило, проводится методом итераций.
Однако даже решеппе линейных (или ставших таковыми на данной итерации) многомерявк сеточных уравнений требует большого числа арифметических действпй. Для вычисления и"" применяют различные варианты метода прогонки или используют приемы, приближенно сводящие многомерную !!дачу к набору одномерных.
8 тех клетках, где решение при данном и' зависит от и, помещены трн !псла: верхнее — для х=1, среднее — для х=0,9, нижнее — для х =6,7. Видно, что численный расчет при х(1 сглаживает профили и", причем тем сильнее, чем больше отличается х от единицы, а также что варина области «размазывания> градиентов на фронте ступеньки на кпждом временном слое увеличивается на Лх.
Вспоминая, что ч„про- порционален ! — х, легко интерпретировать описанные свойства числен- ного решения как проявления действия схемной вязкости, Выполнение условий устойчивости на практике часто приводит к пооправдаиному потребностями точности уменьшению шага М. С дру- гой стороны, условия устойчивости содержат параметры дискретизации, 2 пе только исходной задачи. В связи с этим возникает проблема по- строения разностных схем, для которых условия устойчивости в меньшей степени ограничивают шаг ЛГ или вовсе отсутствуют (в последнем слу- чпе схемы называют безусловно устойчивыми). Такими соображениями оправдано появление неявных схем, Обратимся вновь к гиперболической задаче ди/дг+ади/дх=0, а= =сопп1.
Аппроксимируем ее разностным уравнением л+! „л л+! лл! л л, л! лс-! -г-а А Ак ГЛ. Хь ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА 4то Поясним метод решения разностных уравнений, называемый прогонкой, на примере простейшей, но достаточно типичной одномерной краевой задачи. Пусть в узлах х„(т=О, 1, ..., М) определена неизвестная сеточная функция и, удовлетворяющая во внутренних точках аппроксимирующим трехточечным соотношениям а и„,+Ь„и +с„и„,=1„ (т=1, 2, ..., М вЂ” 1; а„, Ь, с„— известные коэффициенты, ~„— известные правые части уравнений) и граничным условиям и,=(у„и =()ч.
Решение этой задачи как системы общего вида при больших М достаточно трудоемко. С учетом вида системы представим ее решение в виде двухточечных соотношений и =А„и „+В„, пт=О, 1,...,М вЂ” 1, что приводит после подстановки в исходные уравнения к рекурреитиой связи между прогоночными коэффициентами А„, В„ с г — а В Ат ——— В„= Так как из условия и,=(У, следует А,=О, В,=У„ТО можно на основе этих формул последовательно найти А„В„..., А „В, (этап «прямой» прогонки).
Затем, зная прогоночные коэффициенты и используя ВТОРОЕ ГРаНИЧНОЕ УСЛОВИЕ и =Он, ВЫЧИСЛИМ В ПОРЯДКЕ УбюнаНИЯ Индексов ин „и „..., и, (этап «обратной» прогонки). Если, как и предполагалось, в каждом узле х„определено одно число и„, то прогонку называют скалярной. Если же величины и, а„, Ь„, с„, 1 обозначают матрицы той или иной размерности, то аналогия. ные по смыслу операции именуют матричной прогонкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
