Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 105
Текст из файла (страница 105)
ментом, главные инструменты исследовании задач механики жидкоста и газа. Чтобы понять причины стремительного распространения вычисли. тельных методов в рассматриваемой области механики, достаточно об. ратить внимание на уже известные читателю особенности основных уравнений движения сплошных текучих сред. Характерными чертаых большинства практически интересных задач являются многомерность в нелинейность, из-за чего возможность их аналитического решения ста. новится, по существу, нереальной.
Даже в случае линейных задач воз. никают затруднения, если расчетная область имеет достаточно сложную форму. К этому стоит добавить, что в решении могут встречаться особые точки, а сами уравнения — менять свой тип (например, когда число М становится равным единице). Поэтому вполне естественно, что общие идеи, относящиеся к отысканию приближенных численных решений уравнений, сразу нашли в задачах гидрогазодинампки самую благодатную почву. Численные методы широко используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а также одномерных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, к которым сводятся отдельные задачи механики жидкости и газа.
Однако самый значительный вклад в гидрогазодинамику связан с применением численных методов к непосредственному интегрированию уравнений в частных производных, опн. сывающих движение, тепломассообмен и более сложные физические яв. ления в жидкостях и газах. В ряде случаев численное моделирование становится основным способом исследования задач (движение тел с космическими скоростями, в агрессивных средах и т.
и.). Развитие ЭВМ не обесценило традиционные аналитические подхо. ды, но несколько изменило их роль. Так, асимптотическне методы, будучи средством исследования предельных режимов течений, дают инфорыа'. цию о порядках величин искомых функций, масштабах их изменения в тех или иных частях расчетных областей, необходимую для того, чтобы постановка задач численного моделирования учитывала особенности изучаемого явления. Аналитические решения, обычно относящиеся х упрощенным частным случаям, имеют значительную пенность как «эта.
ланы» для оценки свойств разностных схем и точности численных реше. ний. Естественно, что в развитии численных методов возник ряд собственных проблем. Среди центральных находится вопрос об адекватносга численных результатов решению исходной задачи, особенно острый в тех случаях, когда в уравнениях присутствуют малые параметры лра старших производных (например, 1т'ке). В численных методах, ориентированных на задачи гпдрогазодннамикп, к настоящему времени определился ряд направлений. Среди нвх выделяются методы конечных разностей, «крупных частиц», конечных элементов, интегральных соотношений, сеточно-вариационные и другие, Что касается задач динамики вязкой жидкости, то здесь наибольшие успехи связаны с применением лгетода конечных разностей, который в будет рассматриваться далее. Этот метод выделяется простотой и уив.
'] Настовшпй в слелуюшве лва параграфа составлены по просьбе автора С. Б, до. лешко. 1102. методы чнсленнОГО Решето!я >ЕАвненнп! нАВьь — стОксА 459 пе!>сальностью своих основ и может обеспечить высокую точность резудьтатоа. в настоящем параграфе, помимо изложения некоторых общих предсмвлений метода конечных разностей, дано краткое описание ряда кондретпых методов этого направления, предназначенных для уравнений Нввье — Стокса движения несжимаемой жидкости. Следующие два пардграфа посвящены примерам численных решений внутренней (б 103) и внешней (9 104) задач гидродинамнки. Разумеется, в рамках малого объема можно только обозначить основные представления метода и его приложений, отослав читателя для основательного изучения этих вопросов к специальным руководствам и оригинальным статьям ').
Сущность конечноразностных методов состоит в следующем. 1, Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретхпк, т, е. состоящей пз отдельных точек (узлов). Расстояния между уз,тппп называют !нага>си. Совокупность узлов составляет сетку, которая ипвсет быть равномерной (с постоянными в каждом направлении шагапп) илн неравномерной, 2 Производится приближенная замена (аппроксимация) дпфференппвдьных уравнений, граничных, начальныч и других условий их разкпстньсми аналогами, Совокупность узлов, которым принадлежат велпчнны, входящие в отдельные аппроксимирующие соотношения, образует рппносгнвсй шаблон, Множество таких алгебраических соотношений дает разностную схему.
Содержание двух первых этапов составляет дискретизацию задачи. 3, В качестве приближенного решения дифференциальной задачи принимается решение соответствующей разностной задачи — сеточная функция в виде одно- или многомерной таблицы. Разностная схема и ее решенче зависят от шагов сеткп, как от парпкетров. Далее кратко остановимся на некоторых основных понятиях и определениях теории разностных схем, в ряде случаев иллюстрируя изложение простыми примерами. 1, Сходимость, аппроксимация, устойчивость Следующим за введеппем разностной сетки этапом является построение аяпроксилсируюсцей сисгеяьс. Сушествует несколько способов получения алгебраических соотношений, которыми аппроксимируется исходная дифференциальная задачп.Самый простой и наглядный способ состоит в том, что каждой производной непосредственно ставится в соответствие тот нли иной ее разппстный аналог.
Часто пользуются на этой стадии различными полиномпвльиыми аппроксимациями функций и другими более формальными методами. Заметим, кроме того, что в качестве исходных объектов аппроксимации не обязательно должны выступать сами дифференциальные ~) Метод конечных разностей вообще и ириченительяо к зздвчзм механики жидтмти и газа имеет обширную литературу. Отмети>г лишь нек >орые монографии и учебтне руководстве, в которых можно яайти многочисленные ссылки и нз другие источ.
инки; С ям яр с ки й А. А. Теория оззиостных схем — М Наука, 1983, С в м з рскяй А А., Н и кол ее в Е. С Методы решения сеточных уравнений.— Мл Наука, !980; М в р ч у' к Г. И. Методы вы ~ислн сльной мзтечзтики — М: Наука, 1МП; Годунов С. К., Р я пеньки й В С Рззностные схемы Ввеление в теорию— Наука, 1973; Р и х т м в й е о Р., М о р т он К Рззностчые методы решения ковевых задач,— Мз Мир, 1972; Б с л о и е р к о в к и й О М тСислснное моделировзние в меха. тзке сплошных сред — М Наука, 1984; Ко вен я В.
М, Яненко Н. Н. Метод рзс. язвления в зздзсзх газовой динамики — Новосибирск Науке, Сибирское отд-ние, !981; Годунов С К, и др '!исленное решение многомерных зздвч газовой динамики — Мл Нзукз, !978; Рву ч Н Вычислительная гидродинзмикз.— М: Мир, 1980; Н ей р е Р., Тейлор Т. Л Вычислительные методы в задачах механики жидкости.— Лл Гидрокнеоиздвт, 1986, ГЛ. Хь ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА уравнения. Можно использовать также и интегральные формы заковсч сохранения физических величин (З 21 — 24), записанные для ячеек сь точной области.
Характерной особенностью аппроксимации является ее многовври. антность. Так, для аппроксимации одной лишь производной ди/дх в кч. котором узле х =щ Лх равномерной разностной сетки с шагом Лх могут быть выбраны в соответствии с принятым шаблоном, например, следую. щие выражения (и — значение сеточной функции в узле х ): — Зи,„+ 4и,„+ — и, й+ Г а-Г и — и "т+Г т 2дх 2дх Ьх Зи — 4и, + и„, и,„— и„,, +(1 — ) и,— и (з — весовой коэффициент) и т. д. При аппроксимации уравнений в частных производных количества возможных вариантов многократно возрастает. В дальнейшем некотв. рые свойства разностиых схем будет удобно пояснять на примере урав.
пений — +а — =/(х, Г) дГ дх (125) — + а — — у — =/(х, /), ди ди дчи дг дх дхх (126) где а(х, Г) и /(х,1) — известные функции пространственной координатн х и времени Г, у — положительный коэффициент. Левая часть уравнения (!25), как следует из й 16, представляет собой индивидуальную (лагран. зкеву) производную от величины и, характеризующей жидкую частицу, при движении последней со скоростью а вдоль оси Ох в нестационарнои неоднородном поле и(х, Г). Функция /(х,1) имеет смысл заданного ис. гочника изменения и. Уравнение (126) дополнено членом — уд'и/дх', выражающим, обобщенно говоря, диффузионные явления (собственно диффузию, теплопроводность, вязкость в зависимости от физического содержания функции и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
