Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Интеграл в правой части после замены )т его выражением по (йй) легко вычисляется и дает (О) 3)т!'»)(н со» а (2+ Л+ Л со»8) (! — со»8) ее (! ->- Л)' (! + Л сое 8)е (76) тле, как и в случае плоского подшипника, введено обозначение Лт в/е (й(Л(!). Второе и третье уравнения системы (75) должны быть проинтегрированы при граничных условиях лА=О»=0 при 8=0 и О=п, !вторые непосредственно вытекают из условия конечности величины Г,, епределяемой вторым равенством системы (68), а следовательно, необтвлпмостн обращения в нуль производной др/дф при 0=0 и О=я, что лйп паличии (74) и приводит к только что поставленным граничным )с!овнам.
Решения второго и третьего уравнений системы (75) при указанных трлвпчиых условиях могут быть также найдены в замкнутой форме, а лмевпо: Е (0) (2И~ОЛНЯ~ 2+~~~8 . 0 з(п е» (4+ ) ') (! + Л сое 8)е (77) пий»е>ее(от 2+ Л со»8 яп О. ее (4+ Л») (! ' ) со»8)е Совокупность уравнений (74), (76) и (77) полностью определяет йвспределение давлений р(0, ф) по поверхности сферического шипа в лелшппнпке, после чего уже без труда можно рассчитать «поддержи!евшую» силу, распределение скоростей и напряжений трения, необшлпмые для расчета момента сопротивления вращению шипа.
Прп вычислении главного вектора ло реакций жидкости, приложенмто к внутренней сфере, можно пренебречь вязкими нормальными н тлсвтельпыми напряжениями, имеющими с точностью до квадрата ха)евтерпой длины порядок соответственно )е/7»)е,/е и )л/ч»)ее/е, по сравнелвв с давлением, с точностью до характерной длины имеющим порядок вй'Р,/е'.
Получим (о — поверхность внутренней сферы, л — орт внешней пормали к ней) — ! Рглио = — /т'~ дф~ рте з!и Од8 о е е 446 1Л Хс ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА о о о о Подставляя сюда выражение р(0, с() по (74) и выполняя интегриро. ванне по ср, составим следующие формулы для проекций г"„, Р„и Р;. Г„= — лР' соз р ) О, (О) я по 0 с(0 + л Р' 5(п 6 ) О, (0) яп' 6 с(0, о о Р„= — лР'5)п() ') 0,(9)5(п'Ос(0 — лР'со56 ~0,(0)яп'ОсЮ, (78) о Р, = — лР' ~6),(0) яп 20 с(0.
о Остается пс;дстанпть значения функций 0,(0) по (76) и функций 0,(0), 6,(0) по (77). Вычисляя интегралы, окончательно получим 4ЛИР'(2р„яи и соз 6 Ч- сое яп тяп 6) к 3 Е 4л)с)со (2)'„яи и яи !) — озе яи т сос 6) Р ез вл)сРЧ'осозх К ()) к= з 3 е (79) К, (О) = К, (О) = ! . (80) Совокупность формул (79) эквивалентна одной векторной фориуле Яли)зо 4ли)зо влн)зо К ()„) К (1) ез 33 лз (8!) в которой введен вектор е= О'О смешения центра внутренней сферы относительно внешней. При отсутствии поступательного движения внутренней сферы (к,= =0) формула (8!) значительно упрощается и приводи~ся к следующей; Р = 'и~ Кс(Х)озхе. (82) Согласно этой векторной формуле при врасценни внутренней сферы вокруг некоторой оси, не сопровождаемом поступательным движениеч сферы, главный вектор реакций вязкой несжимаемой жидкости периен- или в проекциях на оси координат (рис. 3Л Л Р, = — Р' ( с(ср ~ р яп 0 соз (ФОх) с(9 о о зл л Р, = — Рз ~ с/~( 1 ряп Осоз(МОу)сЮ о о л л с'3 = Р ~ с(с(3 ) р 5!ПОС05(МОЕ) с(0 где для краткости введены обозначения )65, а) зл л = — Р ~ с051(засср~р51п 61Ю, о о =- — Р'~ яп ссс(ср ~ ряп'01Ю, о о ЗЛ Л = — Р'~ с(93 ~ ряпОсозйсЮ.
! !еа простРлнственнля з !длит ГидРОдинлчтич! скОи теОРии смазки 447 ццулярен к плоскости, проведенной через эту ось н линию центров гмтренней и неподвижной внешней сфер, Формула (82) по своей струк.!ов аналогична ранее выведенной формуле (61) для плоского движеая цилиндрического шипа в подшипнике. В частном случае (Ъ',=О, го Ее) получим формулу Ванье ') бан!гчю Р = Вч" ~ ] (еа -]- еа) ]и а— — 2ее1 . еа (4аа — ' еа) а — е В момент совпадения центров сфер (г =О) главный вектор 4Р апре!гнется только поступательньгл! движением внутренней сферы и будет равен внир" „ а.
Обращает на себя внимание резко выраженная зависимость этого амтора от радиуса сферы )7 и поперечного размера полости е. Сравжпельно с формулой Стокса, относящейся к движению сферы в безграенной вязкой несжимаемой жидкости, сопротивление той же жидкости ,)ацмгнию сферы внутри близкой по размеру оболочки по порядку в (2]а)! раз превосходит сопротивление движению в безграничной жид!ости.
Вычислим в заключение главный момент Е снл вязкого трения, примженных к поверхности внутренней сферы. Пользуясь для этой цели гауппой формул (!3), помещенных в начале гл. Х, будем иметь (примняя обозначения т вместо ро, г — вместо гг, гр — вместо е, д!.— вме- сге д)т) Произведенные здесь упрощения очевидны; величины дг', д!г, "е "е— дв д!Р чалы во сравнению с сохраненными слагаемыми Подставляя в только что приведенные выражения т„и т„значения У, я У, по (67), получим Л др и'а Л др Н1",, те= Гов 2р дв Л 2ранв д Л !используя после этого ранее выведенные выражения (72) для Уа и )го ц трехчленное представление давления р (74), найдем Тн = — — (б!, (0) + О, (О) соз (гр — ])) + О, (О) згп (гр — 6)] + 2к 4гаи7 + ' 5!пуз!И(гр — 6), (83) т 4 = — (О, (О) 5! и (гр — ]5) — Оа (О) соз (гр — 6)]— л 2к нов !!юк — — (С057 5!П 0 — 5!П 1! СО50 С05 (гр 6Ц. л 3лементарные моменты сил трения с(Е„, г(Е„и г(Е, относительно ааяМОУГОЛЬНЫХ ДЕКаРтОВЫХ ОСЕЙ КООРДИНат ОПРЕДЕЛИМ Кан СУММЫ !) См цитированную в начале этого нараграфа работу В а н ь е.
ГЛ. Х1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА моментов относительно этих осей касательных к поверхности сферы снд, имеющих сферические компоненты атгв = тгв)а' з(п 0 т(0 а(ф, 1(рв = Т„Д' з(п 0 е(0 а(ф, и соответствующие декартовы компоненты а(г"в соз О соз ф, а(г"в соз О В!и ф, — г(г"в ып О, — е(гв ып ф, а(гв соз ф, О.
Замечая, что точка М приложения этих сил имеет координатн ()1 зап О сов ф, )т ып 0 з(п ф, )т соз 0), по обычному правилу составим фор. мулы моментов относительно осей координат: 1(1 а = Й (тве Бап ф + тле соз 0 соз ф) з1п 9 а(9 айр Ш„= й' (тсе соз ф — т~ соз О ып ф) ып О а(0 а(ф, Ы.,=Я'„з(п О 0(ф. Подставляя сюда значения т,в и т по (83), собирая члены с трнге. нометрическнми функциями угла ф и произведя сначала интегрирование по ф от О до 2л, а затем и по О от О до и, найдем 1., = — ~ — ( ! + Л') еа з(п у со з б — — рве з)п а з)п )) ~ Ка (Л) 4л)алв Г 2 1 е ЕЗ еа 1.„= — "~~ ~ — (! + Л') е» з!п у з)п Ь -(- — 'к'ве з(п а соз ()1 К, (Л), (84) е ! 3 еа в 1 = — — ' 1» ( ! — Л') соз у К, (Л), Зл)айв Зе где функции К,(Л) и К,(Л) — те же, что и раньше.
Полученная совокупность формул для моментов относительно осей координат эквивалентна одной векторной формуле для момента отне. сительно начала координат — (! + Л') К, (Л) еа — 1 К, (Л) )' ~ е + 3 ев Зл)ал (1+ Л ) Ка(Л) — (! — Л ) Ка(Л) ( ) (88 Зе' При чисто вращательном движении внутренней сферы (е',=О) бу. дем иметь ЗЧг ( + ) +Зл Л (1+Л)К (Л) (1 Л)К (Л) ( Зе Зеа Ла (88] а в частном случае перпендикулярности оси вращения и линии центров сфер (ве Е=О), рассмотренном ранее Ванье, получим более простую формулу 1.= 4л)алвав еа+ еа Г а а е+ е — ~(е + е ))п — — 2ее1. е' 4е'+ е' ь е — е При концентрическом расположении сферы (Е=О) формула (88) приведется к виду ь = — — Ва, Зл)алв (87) Зе представляющему собой обобщение формулы Петрова (29) для цилинд- рического подшипника на случай сферического подшипника.
П ГМ, ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СМАЗКИ 449 уравнения движения смазки в сферическом подшипнике относятся ктоиу же типу, что и уравнения для расчета сферического подвеса, или, как его иногда называют, гидростатического подшипника. Схема такого рода подвеса показана на рис. 166. Тяжелая сфера неподвижно висит в потоке несжимаемой вязкой жидкос сгк, создаваемом за счет подвода агой жидкости через отверстие 5 Вч г 'д.
Р и пке также неподвижной сфери- в а каской чаши, охватывающей под- г я- мпениую в потоке сферу; при " где ппн зазор И между поверхностя- У ,и' ппсферы н чаши предполагается ппепь малым по сравнению с их рыкусамн )с и гс'. у Проводя оси координат, как показано на рис.
166, приходится г посоображениям упрощения расьппв выбирать направление оси Рис. 1бб Оп' так, чтобы она проходила мрез центр отверстия подвода жидкости 5. В связи с этим равенство (ВВ), определявшее ширину зазора И между сферами в случае сфериче- ского подшипника, усложняется. Как легко видеть из чертежа, И = ММ' = О'М' — О'О сов(О'О, О'М') — ОМ, О'М' — ОМ )т' — )с = е, О'О = е, соз (О'О, О'М') = соз ф ссз 0 + з(п ф з(п 0 соз ср, гак что (ф — постоянный при данном расположении сферы относителью чаши угол между вектором смещения е центра сферы О и осью Ог) И(0, у) = — е(сов ар соз 0-$-з$П тр з(п 0 сов ср).
(88) Таким образом, в случае подвеса величина И является функцией как В, так и ср, что уже не позволяет при выводе уравнения (70) выноспть ее за знак производной по ф. Кроме того, )г'=О, так что вместо (70) надлежит интегрировать следующее уравнение: з!п 0 — ~й — 8$п О) + — (й — ) = О, д / в др .
т д Г а др Т дб 'Т дб ) д~р (, дср) (89) гпе й задается равенством (88). Разработкой методов интегрирования уравнений типа (89) занимается теория смазки. Удовольствуемся рассмотрением простейшего слумя нодвеса вертикально смещенной сферы (ф=О, и), когда ширина запора й определяется равенством (63). Более общая задача, когда наряпу с вертикальным смещением центра сферы О имеется и горизонталькое (боковое) смешение, в приближенной постановке (малые А=е/е) пожег быть также без особого труда рассмотрена '). ') Ло кця н с кн П Л.
Г., С те и а н я н ц Л Г. Гнародннамическая теория сферииогого иодвеса.— Тр. ЛП11, 1958, № 198, с. 89 — 98. ГЛ. Х1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА Схематизируем подвод жидкости из отверстия в дне чаши, поне. стив в точку 5 (8=0) источник с секундным объемным расходом Оц приняв, что сток происходит из круговой щели (О=О,) на верхнем краю чаши в пространство с абсолютным давлением р,. Уравнение (89) пере. пнсывается в виде " (й ",' 1 О)=0 и имеет первый Интеграл )Гз — 5!и О = сопз(. 3 др дО Для определения константы составим условие постоянства расхода сквозь горизонтальное сечение зазора 2лйй 5(п О. Ге -соп51= Я, или по первому из равенств (68) при )ГВ =0 Вьв — — — 51П О = (с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
