Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 97
Текст из файла (страница 97)
ние, близкое к общепринятому, введем для концентрации заглавную букву С, чтобы не смешивать ее с теплоемкостью с). Скорость диффузян примеси в «носителе» определяется законом Ф и к а 0 )г* = — — ассад С, С (181) Отношение Ре 5« = Ргл = — = — =— (!85) Яе Р р0 носит наименование числа Шмидта, или диффузионного числа Прандгяя. Численные значения коэффициента переноса сэ для различвыь жидкостей и газов мозкно найти в руководствах н справочниках').
Ре. шенне линейных уравнений распространения тепла и примеси часто тре. бует сложных вычпслснииз1 Уравнения тсплопереноса, учитывающие приток тепла за счет дпс. снпацип механической энергии, рассмотрены в последней главе курса. ') См, например, Белл щенко Л К, Жук овпнкнй А. А Лнффузня — фяз энпнкл словзьп Т 1 — М Совст,ьая знннклопслпя, 1960. с 622, 623. ') Примеры прнмененпя только нто вывезенных уравнений тепломпссопереносв пв.
требовали бы зпанн~сльногст мсстэ н плотов~нем. не претенлующсм нв нзложснне этнт сямостоятсльныт попрогон у ~сбннкв Ото|нлсм ннтсоссующн;ся к спспнальнын курив С полая н г Л Б Коняг~ тнвнын массопсрснос — М; Л Энергия, 1965; Г ребер Г, Э р ь С, Г р п гу л ь '. Осноны уясняя о теплообмснс — М ИЛ, 1958; Л ы к о в А 8, М и х в й л о в Ю А Теория тепло- н ыпссопереносп — М Госзнсргонзлат, 1968; )Ку к в у с к в с А А Конвслтпвпый перенос в тсплообмснннкпх — М: Наука, 1982.
аналогичным закону Ф у р ь е распространения тепла (173) с той лишь разницей, что вместо коэффициента геплопроводносги К входит коэффк. циент лгасготгроводности х), именуемый обычно коэффициентом диффР зии примеси Дифференциальное уравнение диффузии примеси выводи~ся по. добно уравнению баланса тепла (174) и имеет ту же форму: — + )г .
пгадС =ОГ»С. дС (182) дт Полученное уравнение (!82), так же как (174), присоединяется х уравнениям (172), причем обычно предполагается отсутствие влиявкя примеси иа динамическ)ю часть явления (условие пассивности прв. меси). Боле: общий подход, относящийся к многокойчпоненгным смвсяд газов, излагается в 9 149 применительно к теории ламинарного погрз. пичного слоя в потоке газа больших до- и сверхзвуковых скоростей. Г)с. реходя в уравнении (182) к безразмерным переменным, получим 5Ь + )~' . ягад' С' =- 5" С', (183) дг' Реп где Ре, — диффузионное число Пекле, отличающееся от числа Рв (17!) коэффициентом диффузии вещества (примеси) В, заменяющим козффк. циент температуропроводности а: Рег = — .
ьтг. (181) Р ГЛАВА Х1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА: йВНЕАРИЗОВАННЪ|Е, АВТОМОДЕЛЪНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ 996. Обтекание шара при малых значениях числа Рейиольдса; формула Стокса и ее обобщения Получение в предыдущих параграфах точных решений уравнений ймье — Стокса сравнительно простыми математическими средствами ;взообусловлено линейностью основных уравнений, которая следовала пп предположения о прямолинейности линий тока в цилиндрических (призматических) трубах.
Решение задач внешнего обтекания тел вяз,р| жидкостью требует решения нелинейных уравнений, причем нелимйность заключена в стоящем в левой части уравнения инерционном цене, выражающем конвсктив- У вю часть ускорения. Откидыва- ('л) ппп этого члена или замена его приближенным линейным выра- ('в) хением приводит к линеаризаппп уравнений. е Простейшим примером такой ,1пнеарнзации может служить пзпсснческая задача Стокса о лпйлеином стационарном обтека- ге) ппи шара; под зтим понимают таппп обтекание, при котором пгновное значение придается сиппк трения и давлений, а инер- Рис.
160 ппонные члены откидываются. Обозначим скорость однородного потока на бесконечности через У„, и радиус шара через а. Направим основную ось Ох (рис. 160) сферипеской системы координат (|г, О, е) параллельно вектору У„. Пренебремп объемными силами и инерционными членами, приведем уравнение Нпвье — Стока (30) гл.
Х к виду цгаб р+)п го( Й=О, Т| = го1 У, б(ч Р= О. Исключим давление р, для чего к обеим частям первого из уравнений системы (!) применим операцию вихря. Получим го1 го( И=О. (2) 3амечая, что благодаря осевой симметрии обтекания вихревые липпп представляют собой окружности в плоскостях, перпендикулярных коса Ох, с центрами на зтой оси, заключим, что вектор вихря имеет пншь одну составляющую О„которую для краткости обозначим про- апО, включая в зто обозначение знаки '; составляющие О„и ьг„очепьдно, равны нулю, так как вихрь вектора направлен по касательной к пппревой линии.
В силу той же симметрии имеем — '," =О, ()=Н(Я,В). гл ю интсгюшовлние гилвнении нлвье — стоксл 424 Вспоминая (86) гл. 1, будем иметь выражения компонент вектор! го1Й в сферической системе координат го1я(1 = — — (г) з!и О), го1е9 = — — —, го1, й = О 1 д .
1 д()11)) Д Нпд дО )1 дд и, повторяя ту же операцию, го1,(го(й) =О, го1,(го(й) =О, 1 д 1 д го1, (го(а) = — — (Й го1а (а) — — — (го1н Й) = й д)1 В дО д'(Ла) ! д ~ 1 д (11 з(п0) Таким образом, уравнение (2) в сферических координатах сведется к более простому Й + — ! — (() з!и 8) ~ = О, (3) дна дО! .пО дО решение которого () (Р, 8) можно пока подчинить лишь одному тря. ничному условию (1 — +-О при (г — а-ао, (4) Разыскивая решение уравнения (3) в виде произведения двух функ.
ций Р(К) и 0(8), каждая из которых зависит лишь от одной перемен. ной, подставим значение 1)=Р((г)8)(0) в уравнение (3); получим Н да 1 д ! 1 — (И р))= — — — 1, . — (Е(0) (п0)~. Р(Н! и 6 (О) дО 5!п О дв В силу независимости координат )г и 8 левая и правая части зтога равенства должны быть порознь постоянными; отсюда следует (ив произвольная постоянная) и да 1 д а 1 д — ЯР (Р) ) = са, — — ~ — (!8 (8) з1п О) ) = — а.
Р (8) с%~ 6 (О) 00 5!и 0 пО Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы второе из только что полученных уравнений имело соответствующее по смыслу задачи периодическое решение. Заметим, что при а=2 зто урав. пение имеет очевидное решение 6(0) =з(п 8, а первое уравнение системы превращается в — (РР ()т)) = — Р Я) Единственное решение последнего уравнения, удовлетворяющее условию обращения в нуль при )т — пп, будет сопз1/)1'. Обозначая константу через А, получим искомое решение для вихря Я в виде 11= — . АнпО да (8) Обратимся теперь к задаче разыскания сферических составляющих скорости Г, и (~а (Р,=О в силу симметрии обтекания); имеем для их определения два уравнения: 1) уравнение (5), которое, пользуясь выра.
жением вихря скорости й через составляющие скорости в сферических $ Зб ОБТЕКАНИЕ ШАРА ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕИИЯХ ЧИСЛА РЕГзИОЛЬДСА К25 наординатах Уз и У„можно переписать в форме ! д(8Уз) ! дУЛ А 5|а О М /с дО /1з (6) «1) уравнение несжимаемости в сферических координатах (при У,=О) д (/(зУа) ! д (! в з!а О) /1з дЯ /! Иа О дО (7) Сястему уравнений (б) и (7) надо решить при граничных условиях УЛ=О, 1'е — — О при /7 = а, Ул=(/ со50, Уэ — — — (/ Бшй прн /7=со. (8) Принимая во внимание эти граничные условия, будем искать решенне н виде и / " А,.1 (/., + ~ —,' со50, 1'е — — — (/.. + '~~ —,' 5!и Вз (9) з=-, з=! Бн число и считаем неопределенным. Подставляя выражения (9) в Ннзнения (б) и (7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых три!ннокетрических функциях, получим равенства з з ~ [Лз+(1 — й)ЛА)/т' =А, 'Я ((2 — /г)),з+2ЛА)й' =О.
з:=з В силу произвольности величины /т будем иметь при й=1 Л,=А, Л,+2Л,=О, Л,= — — Л,= — — А, ! ! 2 2 д нрк й) 1 Л,+ (! — й)).А =О, (2 — й)Лз+2ЛА=О. Корни этого уравнения: Й=О и й=З, причем первый отбрасывается, таккакй)1. Отсюда следует равенство Л,= — Лм 2 не!остальные Л„и Лз тождественно равны нулю. Возвращаясь теперь к (9), составляем общие выражения скоростей Уя = ((/ + — + — ') с050, 1 = ( — (/ — — + — ) 5!п0; Л ) ~ - 28 Мз~ идчнкяя эти скорости граничным условиям (8), получим два уравнения „на определения коэффициентов А и Л,: — + — = — (/„, — — + — =(/„. А !з А Лз а а' 2а 2а' Найдем А= — — а(/, Л,= — аз(/ . 3 з 2 2 Вмкедняя однородная система имеет решения, отличные от нуля, тольмнрк равенстве нулю определителя системы 2 — (! — й) (2 — й) =О.
ГЛ Х1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА 426 Окончательно получим следующие выражения компонент скороста в сферической системе координат: Ь'л = (У„~ 1 — — — + — ( — ) 1 со5 8, (10) )у,, и [! 3 а ( а )'15!ПО Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на бес.
конечности: (У„соз О и ( — () 5)п О), получим составляюшие скорости возму!ценил шаром безграничной вязкой жидкости Рл= — (l ~ — — — — ( — ) |со56, УВ=(l [ — — + — ~ — ) ~5!ПО, Отметим, что, в отличие от обтекания шара идеальной жидкостью, где порядок скоростей возмущения был 1Я', в вязкой жидкости имеет место более сильное возмущение, убывающее при удалении от шар5 лишь как ! !')с. Распределение завихренности определится по (5) в виде о= а(/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
