Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 98
Текст из файла (страница 98)
)е Остается найти распределение давления в потоке и трение на по. верхности шара, а затем и полное сопротивление шара. Из первого ураа. пения (1) имеем цгас) р = — р го! Й, Эта система уравнений в полных дифференциалах легко интегра. руется и дает искомое выражение давления 3 О р = — — ра(у' + р„; 2 Де тогда, составляя по предыдушему коэффициент давления, получим Р— Р за со56 6 со56 ро' а (Й/а)с яе (Й1а)е где под ке подразумевается характерное для обтекания шара число рей.
нольдса (а=2а — диаметр шара) ри„д и„д Ее=в У Отметим характерные отличия распределений давлений прн «мед. ленном» обтекании шара вязкой жидкостью от обтекания его идеаль. ной жидкостью; 1) в идеальной жидкости коэффициент давления на поверхноста зависит только от относительного расположения точки (угла О), в ко. торой давление определяется, и не зависит от размеров тела, скорости и плотности жидкости; в вязкой жидкости коэффициент давления леля. или в сферических координатах др ! д р др р ГВО дО др ! д =р Й дО Й д)! (Р 5!и О) = ЗраУ„' ' ()хК)) = — )Аа(Г 3 ма О 2' к' $ ВВ.
ОБТЕКАНИЕ ШАРА ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ЧИСЛА РЕПНОЛЬДСА 427 тип функцией числа Рейнольдаа обтекания, т. е. зависит от абсолютмта размера тела, от скорости, плотности и вязкости жидкости; 2) распределение давления по поверхности шара нв симметрично втпосительно миделевой плоскости, так что главный вектор сил давлеая при обтекании шара вязкой жидкостью отличен от нуля (парадокс Даламбера не имеет места); 3) коэффициент давления в критических точках не равен единице; ам зависит от числа Рейнольдса и имеет разные знаки в передней и задпвй критических точках; в миделевом сечении (О=я/2) давление на поввркнасти шара равно давлению в невозмуипенном потоке, а максимальипв разрежение достигается в задней критической точке, Касательная составляющая напряжения трения на поверхности шара тли будет равна, согласно (13) гл.
Х, Вдче 1 д"я "в'т /д"в'т З У тп =ряв = р — + — — — — = р ~ — ! = — — !к — япО. дт( т! дб й )я ~ дтт ~я 2 а Взяв на поверхности шара поясок (на рис. !60 показанный штриховкой) с плошадью 2лаяп 0 а й0=2ла'з|п О дО, умножим на эту плоевдь напряжение трения т, и давление рц полученные таким образом мвмеитарные силы спроектируем на ось Ох и просуммируем по всей поверхности шара (от 0=0 до О=л).
Тогда получим проекцию на направление скорости набегающего потока силы сопротивления движению тела в вязкой жидкости, приложенную к телу со стороны жидкости, ввиде )р,= ~( — кави!и 0 — р сов О) 2лаи в!и О дО = ЗпткаУ ~ з!и Ов(0 = бпра(l и в (12) 3тп выражение силы сопротивления называют утормулой Стокса. Полученное решение пригодно лишь при очень малых значениях числа ке=(/ в(!ч. Это следует из того, что отношение величин откинутых инерционных членов к членам, характеризующим силы трения, имеет порядок рейиольдсова числа. Действительно, р!(В.п! 1 ! рьт-„' ри„ йе р!тети!! д ' д Можно вообще утверждать, что число ке служит мерой сравнительиий роли инерционных и вязкостных членов в уравнениях движения.
цвя меньше число ке, тем больше роль сил вязкости в рассматриваемом движении. Переходя в формуле (!2) от силы сопротивления к коэффициенту сопротивления с„, будем иметь блратт 24 г„— (13) 1, яе — рт/' ла' — ру лав 2 2 Более точные теории О з е е н а и О з е е н а — Г о л д с т е й н а дают дпп коэффициента сопротивления вместо (13) разложение в ряд по степеням числа йе, принимаемого малым, с»= — (1+ — йе — — йев +... ) . 24/ 3 тв Яе (, 1б 1280 Гл, х! интеГРиРОВАние уРАВнении ИАВъе — стоксА Сохраняя только первый член ряда, получим формулу Стоксд два члена дают формулу О 3 е е н а с,=- — !11+ — йе) = — + 4,6. 24 / 3 х 24 Яе ~ 16 ) Яе На рис.
16! ') показаны кривые: 1 — по С то к с у, 2 — по Озееяу, 3 — по опытам. После значения числа Рейнольдса, имеющего порядок единицы, кривые 1 и 2 заметно отходят от кривой 3, причем в разине стороны. Как можно судить по этим результатам, формулу Стокса [(12) или (13) ) можно применять только в случаях очень малых чисы Р ей пол ьдс а, например для мелких дождевых капель или пыля з атмосфере, падения стальных шариков в очень вязких жидкостях и т. я, При больших рейнольдсовых числах указанные только что фор. мулы становятся неудовлетворительными. до цо о -т -! о ! 19 я О !О гО ОО 49 ОО Рис.
!61 Рис. 162 Объясняется это тем, что с возрастанием числа йе в кормовой 05. ласти шара (так же как и других «плохо обтекаемых» тел) образуется отрыв и сложные нестационарные явления типа автоколебаний, о коты рых уже была речь в 9 87. Явления эти развиваются в области за кор. мой тела, причем относительные размеры этой области возрастают с ростом числа Рейнольдса, как об этом, например, можно судить яо рис. 162'), относящемуся к плоскому обтеканию кругового цилиндра, Для широкого диапазона рейнольдсовых чисел приходится пользе. ваться эмпирическими данными (см. гл.
ХП1). Что касается прибля. женных расчетов сопротивления сферы или круглого цилиндра беско печного размаха, то в связи с развитием численных методов они сталя вполне осушествимыми. Пример численного решения задачи об обте. канин круглого цилиндра будет вскоре разобран (9 104). Литература яо методам линеаризацни уравнений Навье — Стокса в случае обте. кания кругового цилиндра н сферы очень обширна' ). Наряду с рассмотренной стационарной задачей подробно исследован н нестационарный ее аналог.
Приведем без вывода') формулу Бус ') Бэтчелор Дж. Введение в дннамику жидкости.— Мс Мир, !973, с. 298. з) Там же, с. 328. ') Классической монографией, содержэптей методы линеаризацяя, явилась а смэ время книга: О э е е п С. ТЧ. Нуйгодупагп!к.— 1.е!Рая: Акай. Чет1ая, 1927. Среди наиба.
лее распространенных в настоящее время курсов, где этому вопросу уделяется ласта точное внимание, укажем: Кочни Н. Е., Кисель И. А., Розе Н. В. Творите вских тидродинамнка Ч. !!.— Мс Фнэматгиэ, 1963, с. 504 — 534; Слезкин Н. А. Динамим вязкой несжимаемой жидкости.— Мх Гостехиэдат, 1955, а также только что цитировав.
ную монографию Дж. Б эти ел о р а. Критические замечания по поводу методов лвнеэ. ризацнн имеютсн в монографии: В а н - Д а й к М. Методы возмущений в механике жцх. кости.— М: Мир, 1967. ° ) Л ур ье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам мехэна. ки.— Мх ГОНТН, 1938, с. 209 — 216. 4 аж движение лзвждн влизкими пдиаллельными плоскостями 429 сззеска сопротивления зй' сферы радиуса а, движущейся поступаизвзо с заданной переменной скоростью У(») в безграничной области, зззолненной вязкой жидкостью [У(0) =О! с ИГ = — бзцзаУ (з) — — яра»У' (») — бп)са — ) 2 1 Г У'(т)дт 3 и'тю )х1 — т Здесь первый член представляет формулу Стокса (12), во втором не- 1»»дно узнать инерционную составляющую сопротивления, соответст.
з»вщую наличию присоединенной массы шара. В случае шара, приведенного импульсивно из покоя в поступательзсе, прямолинейное и равномерное движение со скоростью У„будем знеть величину сопротивления ') )Р'= бпраУ (1 +'~/ о ) . Иззтой формулы при с=со вновь получается формула Стокса (12). 9 97. Пространственное движение вязкой жидкости между близкими параллельными плоскостями. «Спектры» Хили-Шоу. Закон Дарси Соответствующая представлению о «медленном» движении вязкой жадности, т. е.
о движении с пренебрежимо малыми инерционными си,цжн по сравнению с вязкими силами и силами давления, линеаризация зрзненяется также в задачах о движении вязкой жидкости сквозь тонме щели. Сюда относятся такие важные для практики вопросы, как (яивтрация вязких жидкостей (воды, ~нефти) сквозь пористые среды !мсок, грунт, каменистые трещиноватые породы), движение жидких снззочных масел в тонком зазоре между вращающимся валом и подушзсй подшипника н др. Начнем с рассмотрения пространственного движения несжимаемой зззной жидкости между двумя безграничными параллельными плоскопзнн, расположенными на малом расстоянии 2»з друг от друга, точнее, зз таком, что Ре=и 2»з/т мало. Между плоскостями могут располагзсвся перпендикулярные к плоскостям цилиндрические препятствия той же высоты 2Ь.
Расположим координатную плоскость Оху в срединной плоскости, з ось Ог направим перпендикулярно к ограничивающим ноток плосзостям. Будем считать, что движение происходит в плоскостях, параллельзнз границам потока, тем самым примем, что ш=О. Кроме того,с целью лзязаризации уравнений откинем в них конвективные члены (ускореззз), Пренебрегая действием объемных сил и считая движение стациозаркым, составим следующую линеарнзованную систему уравнений Нззье — Стокса (15) 0= —, др дз Во дс — + — = О. дх ду ч См.
Слезкин Н. А. Динамниа вязкой несжимаемой жилности.— Мз Гостех- ммь!933, с. 341 — 349, ГЛ Хд ИНТЕГРИРОВЛНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА дзо Подчиним компоненты скорости и, и граничным условиям и=о=О при г=-ьй. (16) Согласно третьему уравнению системы давление р является функцией только х и у. С другой стороны, взяв производную по х от обеяя частей первого уравнения системы (!5), по у — от обеих частей второго уравнения той же системы и сложив результаты, для определекяя Р(х, у) получим уравнение Лапласа — + — = О. дар дар дха дуа ()Л Пользуясь (!7) и припоминая равенство (61) гл. Х, легко простой подстановкой убедиться, что уравнениям (15) и граничным условная (! 6) можно удовлетворить, положив Составляя средние по нормали стям скорости й и и по формулам 1 Г Де др и= — д( ис(г= — — —, 2Д ,) Зр дх -ь к ограничиваюшим поток плоско.
Да др и= — ( пйг= — —— (!9) 2А,~ Зр дд -а или определяя максимальные скорости по (18) Аа др Аа др и,„= — — —, п„я= — —— 2р дх 2)с ду (26) убедимся, что поля этих местных средних или максимальных скоростей в плоскости Оху соответствуют некоторым воображаемым плоским' ) безвихревым движениям идеальной жидкости с одним из следующяя потенциалов скоростей: дя Ле гР= Р сР = — — Р Зр 2р ') Подчеркнем, что, как это непосредственно следует на равенств ()8), в действнтельностн никакого плоского движения в рассматрнваемом случае нет Плоскими являются лишь поля средних н маскнмальных скоростей, определенных равенствами (19) н (20).
пропорциональных действительному давлению Р в данной точке потока вязкой жидкости. При этом изопогенпиальные кривые будут совпадать с изобарами. Помещая модели тел малой высоты данного контура между двумя очень близкими друг к другу параллельными плоскостями и пропуская через такого рода щель несжимаемую вязкую жидкость, можно получить обтекания, аналогичные плоским безвихревым обтеканиям тел такого же контура, но бесконечно длинных по размаху (9 51 гл.
ЧП). В этом смысле рассматриваемое воображаемое движение можно назвать «вязкой аналогией» плоского безвихревого потока идеальной жид. кости. Однако с~опт отметить интересную особенность такого рода об. текания, заключаюшуюся в том, что для определения поля давлений уже нельзя пользоваться уравнением Бернулли, которого в этом случае, как и в других случаях вязких потоков, просто нет. Следует оговориться, что предыдушие рассуждения, использованные при выводе решений (18) и вытекаюших из него следствий (19) — (21), теряют свою силу вблизи поверхности помешенного в поток короткого цилиндрического тела, однако область эта по сравнению с размерами тела невелика, к э эг движение жажды Близкими паналлельными плоскостями 431 гг влиянием на потенциальный поток можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
