Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Это дает дч Я = — озй ! о 2 оро о (55) Таким образом, распределение давлений в зазоре подшипника полноспью определено. Уровень давления в точке минимального зазора илн наной нибудь другой точке может быть задан произвольно и в выраженно поддерживающей силы не войдет, Напряжение трения т определим, пользуясь выражением скорости 1',по (5!). Согласно (53) будем иметь /д!р '! А дл орр аро0 4ноо!П вЂ” р 'р !А дд П=-о 2!С опор А Ао А (56) 3!о равенство выражает условие сохранения секундного объемного расхода жидкости через любое сечение зазора. Сравнивая его с (52), полутом уравнение для определения давления др Вноорто !2!оРО ,~,~ Ао р,з ААО ГЛ Х! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА Введем в рассмотрение интегралы Ф З (ф;Л) =) Ц (! — Л сог ф) о (Й = 1, 2, 3).
Выполнив интегрирование, получим 51 (ф; Л) = агс(н ( у — 1И вЂ” ), 2 1'. !+Л р1 (! Лг)И ! — 1 2 ) Зг(ф;Л)= агс(д( ~ 1и ф л!+ (! Лг)Ч» ~ ' ! — Л 2 / ! — Л' 1 — Лсог»р +3 Л Моф ! Мо »Р 2 (1 — Лг)г ! — Л со» ф 2 (! — Лг) (1 — Лсаф)г Замечая, что при ф=2и арктангенсу соответствует значение и, по лучим необходимые для дальнейшего значения этих функций при ф=2а: Зг (21'» Х) =, ° Зг (211! Л) =, » Зг (2"' Л) = (! «»)м ' (! «»)Ч»' (! Лг)Ч» Пользуясь этими величинами, найдем по (55) ! — Лг Я = о«)1е 2+ Л' (57) Возвращаясь к (53) и (54), получим р(~),, [З.(ф Л), „З (ф Л)~, (58) а по (56) и напряжение трения т.
(ф)- 2ро»«! )' 3 (! — Лг) е (1 — Л сог ф) 1 (2 + Лг) ( ! — Л сог ф) (59) Сравнивая последние два выражения между собой, заключим, что Р(1Р) =О ~ — ), т (ф)=0 ~ — );л это позволяет при вычислении главного вектора )о реакций жидкости суммировать лишь силы давления и пренебрегать при этом в принятои приближении силами трения. Будем иметь, относя главный вектор г к единице длины вдоль оси подшипника, гл гл г»» г» = ~ )Р соз — ф Мф = )с ( Р 51п фе(ф» Гу — — Й ~ /«соз фг(ф. Л 2 Заметим, что, в силу периодичности и нечетности давления р и четности созф, второй интеграл тождественно равен нулю, Первый.интеграл проще всего вычислить по частям; найдем гл Гг= — Й ~ ~Ы(СОВ ф) = — ЕСР Созф~р + )Т вЂ” СОЗ фо(ф. йр о о в!ОО ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗЛДАЧА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СМЛЗКИ 444 По условию периодичности давления первое слагаемое обращается н нудь; подставляя вместо с(р/с(ер его выражение (53), получим »Л ял бно>)44 (' сов ег йр 2 (! — Д») (' сов <р йр е»,) (1 — Д сов Ч)4 2+ )е»,] (1 — л сов ег)4 ~ 4 4 Замечая, что 4Л ,~ "'".=' ° ° = — '(5,(2.
Д) — 5 (2 (1 >'еовео) Л ' Ч 4 ,= — [5,(2л; А) — 5,(2л;Х)] = (1 — А НЦ Л ' ' ' ' (. 4 найдем после простых преобразований 12л Ро>)Тел (60) 44(2+>„3) Г 1 'л» Вектор Г показан на рис. !64 приложенным к центру внутренней овружности, Можно указать векторную формулу (вектор «> угловой скорости вращения вала направлен внутрь рисунка, а вектор е эксцентрвентета — от точки О' к точке О) (6!) е» (2+ >,4) т 1 — Ан Сила Г может уравновесить вертикальную нагрузку (вес вала с ротором и др.), если при горизонтальной оси вала смещение его е, как показано на рис.
!64, будет также лежать в горизонтальной плоскости. (]рв этом главный вектор Г играет роль поддерживаюи(ей силь!. Обратимся к вычислению отнесенного к единице длины вала момен!о сопротивления жидкости вращению вала. Имеем (ось Ое направлена внутрь рисунка) й,.=~т йве(ер= 1 ! 5 (2л;Х) — 25 (2л;ц~ = е Е 2+)4 4 4л)ио)оо (1 + 2Х4) (62) в (2 + л») )т 1 — ).' В ранее цитированном труде Н. П. Петров рассмотрел случай коакеноньнмх цилиндров, или, что все равно, концентрических окружностей. Зто соответствует с=О и А=О.
Как видно из (60), в этом случае поддерживающая сила отсутствует, что и непосредственно вытекает из сообрпжевий симметрии, а формула (62) переходит в формулу Петрова (29). При современном состоянии гидродинамической теории смазки подшппнвков решаются гораздо более сложные задачи, связанные с уче!Вк конечности ширины подшипника, нарушающей плоский характер двнжевия смазки в зазоре между валом и подушкой подшипника, неполнив заполнением зазора смазкой, влиянием конвективных ускорений пт.и. ' 0 ]00. Пространственная задача гидродинамической теории смазки. Сферические подшипники и подвесы Приведем пример пространственного движения смазки в сферичемоя подшипнике, сд лав те же предположения, что и раньше, о <мед.!енвости» движения смазки в полости между вращающейся внутренней ГЛ Х! !ТНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬЕ -- СТОКСА 442 сферой и неподвижной внешней, что позволит линеаризовать задачу, откинув нелинейные члены в уравнениях Навье — Стокса, и о сравни.
тельно малом поперечном к потоку размере полости '). Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в полости между двумя эксцентрически расположенными сферами с центрами О и 0' (рис. !65, а) и радиусами )с и )с', причем гс"))с. Разность радиусов е=)с' — )с будем считать малой по сравнению с радиусами сфер, а величину отношения е/)с примем за малую первого порядка н )словимся в дальнейшем все величины сравнивать с нею. Рнс 165 Используем сферическую систему координат г, О, гр, приняв ось Ог, проведенную через центры сфер, за полярную ось, а плоскость Охг на. чала отсчета долгот гр оставляя произвольной. Широте О и долготе ф какой-нибудь точки М поверхности внутренней сферы соответствуют дуги ХМ и Хйг, Поперечный размер полости в точке М обозначим через й(0, гг) и определим как расстояние между точками М и М' на внутренней и внешней гферач, расположенными на одном и том же радиусе, проведенном из центра 0 внутренней сферы.
С ошибкой порядка (е)))! будет справедливо равенство (рис. !65, б) й= в+е соз О, (63) где эксцентриситет е определяется как расстояние 00' между центрами сфер. Считая движение стационарным, пренебрегая инерционными чле. нами и учитывая, как в предыдущем примере плоского подшипника, преимущественное значение производных поперек полости (по г) по сравнению с производными по О и гр, приведем уравнения Навье — Стокса в сферических координатах (34) гл. Х к виду (далее для текущего радиус-вектора принято обозначение г, а для азимута — гр) др д'1', др де!го др о !го — = )г —, — = рг —, — = р.г 5!п Π—, дг дг' д6 дга дф дг' д1г, 1 д дк, — '+ (Роз)ИО)+ — "=-О.
дг гпп0 да гвпО дф Из уравнения неразрывности (последнее уравнение) следует, что ПРОИЗВОДНаЯ д)Г„/дГ ИМЕЕТ ОДниаКОВЫй ПОРЯДОК С ВЕЛИЧИНаМИ )Га1)С ИЛВ ') л о а н я и с к я и л. Г Гндродннаннческая теория сферического подшипника,— Прнкл. мат. н чек., 1955, т. !9, аып 5, с. 53! — 540, а также: К теория сферического подшипника, тан же, !956, т 1, аын 1, с !33 — 135; уу а и п1е г Сг. Н. А соп1г1Ьн1юп 1о Гае Ьуг1годупапнса о! !нЬг!са!1оп — анас! о! Арр! Заа1Ьепз, 1950, ч 8, № 1, р. 1 — 32, Гл. хе интеГРиРОВАние уРАВнениЙ нАВье — стОксА яп Π— [й' в!п 0 — ) = — 120У,Я' сов а в[п О соз О, да[, Ю) в!п 0 — ! йов!ЙΠ— '1 — йо!О = — 12[АУ )7ов!Йав!ЙВО, в!ЙО ~ [йояпО ~ о [ — й'!Оо=бр)7оеез!пув!п'О, да 1 да! (75) сферы (при проведении преобразований принято во внимание, что, со.
гласно (63), й не зависит от ф и поэтому вынесено за знак диффереипа- рования по этой переменной) япΠ— ~й — яп 07!+й — = д ! дР . ! о доР д9 [, дО ~ дфо др' 1 = Ор)7 — (йУВ яп О) + й — ~ ~ яп Π— 12р)7ВУ„яп'О. (70) [ да дф Для вычисления величин У, о УВ, УР заметим, что по известной фор. муле кинематики твердого тела Уо = Уо + е Х го, (71) где вектор У, определяет малую скорость центра О внутренней сферы, е — конечную угловую ее скорость, а Г' — вектор-радиус точки на сфере, Тогда, задавая Вектор У, его величиной У„углом а с осью Ое и утлон р его проекции на плоскость Оху с осью Ох и аналогично вектор е его величиной е и углами 7 и б, будем, применяя формулы сферической тригонометрии (Го=!с, Г'=Г' =О) (см.
рис. !66, а и в) иметь 1'г=1'о Уо —— 1'оо+ )7ер, УР=УВР— 77ее~ У„= У, сов (У„ОМ) = 1', [сов а сов 0 + яп а вш О сов (Гр — р)), У В = 1' сов (У, ОМА) = У, [ — сов а з! п О + яп а сов 0 сов (!р — р)), Уов = У, сов (У„Об[!) = — 1', яп а в!п (!р — р); ев=есов(е, ОМ,) =е[ — совув!ЙО+ в!пусозОсов(Гр — б)), ев =есов(е, ОУ,) = — ев!пув!п(ф — б); и, следовательно, Уо — — УВ[ — совав[ЙО+ япасовОсов(<р — р)) — е)тяп уяп(<р — б), У~ = — У, яп а яп (!р — р) + оЖ [соз 7 яп 0 — яп 7 сов 0 сов (ф — б)[.
(72) Подставляя эти выражения в правую часть уравнения (70), заметим, что наряду с последним членом в правой части этого уравнения, имею. щим порядок 7К*У„после подстановки и использования (63) появятся члены, содержащие множителем Уое)7, отношение которых к только что указанному члену будет иметь порядок е/)Г, и, следовательно, эти члены могут быть опушены. Таким образом, составим окончательный вид прк. ближенного уравнения, служащего для разыскания распределения дав- ления р(0, ф) по поверхности подвижной сферы яп Π— [йо — "вш01+йо — ~=бр)свеев[пуз!ЙВОВ!п(ф — б)— — 12!ГУо)сов!и'О [сов а сов О+ яп аяп О сов(<р — [))[.
(73) Будем искать решение этого уравнения в форме р(0, р) =ев,(0)+ЕГ,(0)сов(ф — б)+~,(0)в!п(ф — б). (74) Подставляя выражение р в (73) н приравнивая коэффициенты при сов(ф — р) и яп(ф — б) в обеих частях полученного при этом уравнения, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка 4 КО ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОИ ТЕОРИИ СМАЗКИ 445 ы которых последние два отличаются только постоянным множителем !правой части. Первое из уравнений (75) легко непосредственно интегрируется.
Действительно, сокращая обе его части на з(НО и один раз интегрируя, лолучпм й' " = — 6(Т/7»)'е соз а з!и 9 + П8 мп8 Из условия конечности величины др/дО, согласно (74), следует комчность дО,/с(0, что в свою очередь требует равенства нулю константы интегрирования С,. Повторное интегрирование дает в !Ое(0) = — 6)л(е,йе сова ~ — '" е лйпчем новая константа интегрирования выбрана так, чтобы 9,(0) =0; >то определяет выбор постоянного уровня давлений в полости между т(!срами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
