Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Ои дО Итак, имеем др 6рЯ 1 (99) ЕО и (е — есо56)'ИВО Интегрируя еще раз и используя граничное условие р=р, при О=О„ получим искомое распределение давления р — р,= 1 [Ф(О,) — Ф(О)), КВЭ (91) р,— р,= — "(ф(О,) — ф(О,)). ОЩ ЕВА (93) Несмотря на сравнительную сложность формулы распределении давления (91), сила Г, поддерживающая сферу, вычисляется просто, Заметим, что порядки напряжения трения и давления будут )сс1 К т=(А'( —.) —, Ро Рт 1 д; )с=А ЯВ' ' Е' так что т/(р.— р,) =0(е).
Это доказывает возможность пренебречь трением при определении поддерживающей силы г и находить силу как интеграл только элемее- где положено ф (8) — — — + 1 Л 1 2Л ! 2 ! — Л'(! — ЛсоВО)е (! — 12)В 1 — Лсо56 — - 1п(1 — Лсо58)— л(з+ ЛА) 1 1п (1+ соз О) + 1и (1 — со58). 1 (1 — ЩА 2 (! -)- Л)А 2 (1 — Цз (92) При 8=0, т. е. непосредственно в самом источнике 5, давление рав. но бесконечности. Чтобы сделать решение более физичным, допустнн, что на самом деле вблизи точки 5 в корпусе чаши имеется пазуха с постоянным давлением р;, размер этой пазухи можно задать углом Оь Тогда рабочий перепад давлений р,— р, в подвесе будет, согласно (91), связан с расходом формулой В >О!.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗА>ЕРНОСТЕП 451 гврвых сил давления. Имеем, производя интегрирование по частям и о>считывая давление от значения р„ о о, о у; — — 2пйвро "з(пОсозОйΠ— 2ий' рз)пОсозОйО=пй' " — и ейп'ОйО= З иО о о. — (94) ао >ОНО)' цв положено 'сс'Оо) (> — д савв,)о 1(д; о )— ( О, + О, О, Оо> 1 А ссз с05 ) 5>и 5>и 2 2, 2 2 (98) Зависимость компоненты поддерживающей силы Р, от безразмермго вертикального смещения внутренней сферы ), очень сложна, так ык>1 при заданном рабочем перепаде давлений р,— р, является в свою очередь функцией безразмерного смещения )о. На самом деле вопрос вцв сложнее, так как обычно поддерживают перепад давлений р„— рн цв р,— абсолютное давление в камере нагнетания, откуда газ сквозь вешторый канал подводится к отверстию 5. Рассмотрение вопроса об устойчивости равновесия тяжелой сферы в несколько упрощенной постановке устройства подлува (точечный ис>очвик в точке 5) можно найти в четвертом издании настоящего >суров!), Выясняется, что при Ог(90' возможно только одно, а при Ог) 90'— ввв положения равновесия сферы.
Изложенная теория относилась к использованию несжимаемой жидкости или газа в условиях, когда его сжимаемостью лоожно пренеОовчь. При знач>исльных нагрузках па подвес или на вра>цаюшийся вал в подшипнике вопрос существенно усложняется ввиду необходимости )четв сжимасмости среды в уравнении Рейнольдса. Это уравнение даже вов язотерл>ичсском подходе нелинейно и требует для своего интегрировваия применения приближенных численных методов. 2101. Применение теории размерностей к определению структуры решений уравнений Навье — Стокса. Автомодельные решения Составление матрицы размерностей Я 88) н основного соотношения П.тсоремь> (бб) гл. Х позволяет в ряде случаев упростить разыскание )вшеаий нелинейных уравнений Н а в ье — С такс а, сводя эти диффеоввдиальные уравнения в частных производных к обыкновенным днф(>военциальным уравнениям.
'инакое упро>цение всегда возможно, если во самой сути постановки задачи в ней отсутствуют некоторые масвмбные величины, например длина или скорость. Задачи, допускаюцвв указанное упрощение, относятся к числу автонодельно>х (сравннте с содержанием ч 44). Проиллюстрируем это на классической задаче хармана о стационарном движении вязкой жидкости в полупростраыстве над равномерно вращающимся в своей плоскости диском бссшвечиого радиуса. Выберем цилнндрическу>о систему координат г, г, е, помес>нв начало в центр диска и направив ось е перпендикулярно к плоскости его вращения. Описывающими явление переменнылш н постоянныл>и служат следующие девять величин координаты г н е (е в силу симметрии выпадает), угловая скорость вращения диска го, составляющие скорости частиц жидкости )г„)г., )г„перепад давления Ар=р — р, плотность !) Лов ни и с к и й Л.
Г Вдскаиика жиаоссги и газа — 4-е иза — М: Наука, >979, с 413. ГЛ. Х1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА жидкости р и кинематическнй коэффициент вязкости т. Уравнения двв. жения представляют собой сложную нелинейную систему дифференцн. альных уравнений в частных производных (производные по е в сиду симметрии движения опущены), имеющую, согласно (33) гл. Х, вид дУ, д1г, У" 1 др (дУ, 1 дУ, дЧг, У,) У вЂ” '+ 1'.
— ' — — '= — — — '+ — '+ — — '+ — ' — — ' дг дг г р дг (, дга г дг даа га) ' д11 дУа У,У 7даре 1 дУа даУа У 1 У, — '+ У. — '+ — ''=У ~ — а+ — — '+ — ' — — '), (98) дг дг г дг' г дг дга га дУа дУа ! др (д 1Га 1 дУг дЧГг ) У,— +Уа — = — — — ~+.~ — *+ — — *+ — ), дг дг р дг дга г дг дга — (гУ,) + — (гУ,) = О, д д дг да при граничных условиях 11,=0, 1г.=аг У,=О при а=О (97) У;~-0, У.~-О при г-~оо.
Решение системы (9б) при граничных условиях (97) не содержит масштабов длин и скоростей. Их можно составить из соображений размерности. За масштаб длин примем имеющую размерность длины ве. ЛИЧИНУ рчг(а, За МаСШтаб СКОрОСтЕй — ВЕЛИЧИНУ рта И За МаСШтаб дав. лений — величину рта. Принимая во внимание, что граничные условия, помещенные в первую строку (97), выполняются при любых значениях г, а У, при В=О равна )г,=аг, будем искать решение в форме (У,(0) У,=агР(~), У,=агб(~), У,=т(чгаН(7), (98) Р— Р, = — рта Р (7), где положено Ь=г)(а(у. Убедимся, что результат подстановки выражений составляющих скорости и давления (98) в систему дифференцн.
альных уравнений (9б) приведет к системе обыкновенньгх дифференца. альных уравнений (штрих означает производную по ~) ') Р— 6'+РН=Р", 2Р6+ 6'Н = 6", (99) НН'=Р'+Н", 2Р+Н'=0 с граничными условиями Р=О, 6=1, Н=О, Р=О при 9=0, (100) Р-а О, 6-~-0 при ь- оо, Этим доказана автомодельность решения задачи Кармана. Из иер. ного, второго и четвертого уравнений (99) определяются Р, 6 и Н, а нз третьего — Р. Приближенное решение системы обыкновенных днффе. ренциальных уравнений (99) с граничными условиями (100) было ви- ') Уравнения (99) и граничные и ним условия (100) Выли установлены Карно но м (К а ггп а п ТЬ. ОЬег !агп!лаге ппг( ШгЬи!еп!е )!е!Ьппк.— хепасЛг, 1. апцеас Ма(Ь н. Месь., 1921, Вд.
1, Я. 233 — 252). и 101, ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ 453 иолиеяо Ко к р е н о м ') методом разложения функций Р(ь), 6 (ь), Н (ь) в ряды В=аз~ — — 1 — -Ь3à — -Ьз. — .... 3 1 3 1 3 4 2 3 12 Ьд 1 1 абаз+ ! («Ь !)Ь4 Н агьз ! ! ~3+15~4 1 (101) ори иалых б и р А„ „ А* + Вз „, „ А (Аз ! Вз) 2сз 4с4 6 = Ве-сс— В (А'+ Вз) е-"1-(- ..., 12сс Н = — с+ — е-с«в 2А -с А'+Вз, А(А« ! Вз) е-зсл с 2сз бсз (102) ири больших Ь, где константы а„Ь„А, В и с определялись из условий зглрерывного перехода функций Р, 6, Н, г', 6' от малых значений Ц !большим.
Таким путем были найдены следующие значения констант: а,=0,510, Ь,= — 0,616, с=0,886, А=0,934, В=1,208 (103) и(оставлены таблицы зависимостей г, 6, Н и Р от й, содержащиеся в Зяти ованной статье Кокрена. довольствуемся приведением графиков трех первых из этих функций (рис. 167). Из графиков следует, что функции Р и 6 стреиятси экспоненциально к нулю ' ~ 1-и ири б-ась, причем, если величина, в «)в нала, то Р и 6 практически о«личны от нуля только в предемх тонкого слоя на поверхности риска.
Этот случай дает первый 3 курсе пример пограничного ся)я, теория которого будет освенеяа в следующей главе. Пока Е 1 'Е яодчеркнем лишь, что отношение порядка толщины этого слоя ')(т7ы и искусственно для условий задам Кармана вводимому радиусу диска а будет иметь порядок ч. 1 азсь —:а=, Йе= —. ( 104) са )сиз ч 0«иетим характерное для рассматриваемого движения явление.
Вдалем от поверхности диска (~ -оо), согласно разложению функции Н (102), будет (Н), „= — с, а следовательно, по (98) (1',)1 = — гуты, яли ио (103) («сз)1= = — 0,886 )l чы. (105) С такой скоростью вращающийся диск бесконечно большого радиуса будет подсасывать [знак минус в правой части (105) ) окружающую Рис. 157 ') Сссьгап ЦГ. О. Тье !!о1« спе (о а го(31!пк с)(ас.— Ргос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
