Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Первое уравнение относится к гиаерболичг. скому, второе — к параболическому типам. Приведенные модельные уравнения схожи по виду с уравнениямв нестационарного одномерного течения идеальной [уравнение (125)] к вязкой (уравнение (126) ) жидкостей, с тем, однако, существенным упро. шепнем, что множитель а в конвективном члене принят заранее извест. ным (иногда даже постоянным). Указанное упрощение, снимая принци. пиальные трудности, связанные с нелинейностью уравнений гидродина.
мики, оставляет возможность оценивать на модельных уравнениях раз. ностные схемы с точки зрения передачи ими тех или иных свойств, прн. сущих явлениям конвекции и диффузии. Пусть для уравнений (125), (126) поставлена в области — ьо<х< <ОО, 0<!ОТ задача Коши с начальным условием и(х, 0)=и'"(х). Вве. дем в этой полосе прямоугольную равномерную сетку с шагами бх н д( и обозначим и,"„, а", /",„значения сеточных функций в узле сетки х =т бх, 1„=па/. Предположим, что производная ди/дг в узле х, 1„ аппрокспмпрована выражением (и"" — и")/ОГ.
Тогда дифференциаль. ному уравнению (125) можно поставить в соответствие, например, $102, МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА «81 «вспух>щие алгебраические соотношения: Л+1 Л л л и — и и — и Л1 т л т т-1 .л +а АВ и Лх — /т« л+1 и л п Ав Лх л+1 л л и и — и, л« л + л т+1 т-1 /л и — и А« 2Лх т л (т=О, ~!, ~2,...; п=О, 1, 2,..., Т/а1 — !), двполнениые начальным условием и =и"'(х ).
Соответствуюшие этим схемам шаблоны показаны на рис. 168, а, б, в, г. (127) Хт-1 т Рис. !68 Для уравнения (126) в левые части аппроксимирующих выражений ввйдет еше член, соответствующий второй производной д'и/дх'. Ее обычвв представляют в узле х„достаточно понятным выражением ( и +,— и т т-1 ) т-1 т + «и+1 АхЧ Ах Ьх l Лхв В результате получатся разностные уравнения вида Л+1 И и л л л и и — ит л ит ит-1 ит 1 — 2ит+ и,„«, +а АВ Ьх Лх» (128) вт.
п. Выписанные алгебраические формулы непосредственно дают алгоритм опаеделения сеточной функции и" во всех узлах расчетной областв, Действительно, положив п=О и зная начальное распределение и„", вычислим и' для всех пв (при 1=Л1), затем и' (при 1=2Ы) и т. д. <посвойно» вплоть до 1=Т. Очевидно, что количество разновидностей аппроксимирующих соотвпщвний легко увеличить, используя хотя бы иные варианты аппроксимвдми производной ди/дх. Кроме того, пространственные производвыв можно было бы отнести не к «нижнему» временному слою 1„, а к «вврхиему» 1„„или же к некоторому промежуточному, вводя весовые коэффициенты а (О =сс~1): например, ди/дх- а(и" — и",)/Лх+ + (1 — а) (и,"„' — и,"„" 1,)/Лх. Такое многообразие видов аппроксимируюгцих соотношений, даюп>вх, вообще говоря, вссьма разли1пыс по свопм особенностям разноствые схемы, делает необходимым предеаритсльную оценку схем.
В ревувьтате этих оценок конструируется разностная схема, обладающая свойствами, перечень которых во многом определяется классом рассматриваемых задач. Обшне требования к разностным схемам, как праввда, включают устойчивость аь1числений н различныл аазлугцания.ч и определенную точность рсзульта>аа прп условии пр««сллел1ях затрат ресурсов ЭВМ.
Разностную схему приняго называть эханаличнай, если 462 ГЛ Х! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ НАВЬŠ— СТОКСА количество операций ЭВА1, требуемых для ее реализации, пропориив. нально числу узлов разностной сетки. Заметим, что приведенные схемм были именно такими. Физическую достоверность и точность решений обьшно связывают с наличием у разностной схемы некоторых свойств, аналогичных свойствам исходных уравнений (см. ниже о консервативности), а также с выбором разностной сетки и схемных параметров, учитывающих особеи. ности решения.
Качества, выступающие на первый план в одних задачах, могут не играть значительной роли в других. Отметим, кроме того, что построение разностной схемы может не сводиться (и чаще всего ве сводится) к простому арифметическому соединению разностных авале. гов отдельных элементов исходной задачи. Рассмотрим теперь свойство аппроксимации с более общих позиций, а также определим два других фундаментальных понятия: сходимость и устойчивость.
В ~еории разностных схем принято кратко и обобщенно записывать математическую формулировку дифференциальной задачи, включая на. чальные и граничные условия, в виде 1.и=), (129) где 1. — дифференциальный оператор, и и [ — соответственно искомая функция непрерывного аргумента и заданная правая часть. Обозначение т' символизирует те операции над функцией и, которые предписаны диф. ференциальными уравнениями и дополнительными условиями задачи.
В той части, которая относится к уравнениям, оператор 1. для уравнения (!25) имеет вид д/дт+ад/дх, а для уравнения (!26) д/д1+ад/дх— чд*/дх'. Аналогично, разностная задача, поставленная в соответствие диф. ференциальной (аппроксимирующая последнюю), может быть записана в виде / ьи~ь) — [~ь> (130) где й„— разностный оператор, и'ю — сеточная функция [решение задачи (130) ], [и' — заданная правая часть, )т — шаг сетки (совокупность пространственно-временных шагов).
Понятие разностного оператора объединяет все алгебраические действия (относящиеся также к началь. ным и граничным условиям), посредством которых сеточная функция и'ю преобразуется в ['ь'. Самым естественным требованием к приближенному решению и~ь> является его сходимоеть к и при измельчении шага й. Однако непосред. ственному сравнению ипо и и препятствует их различная природа: одна функция определена на дискретном множестве точек, другая — на непрерывном. В связи с этим приходится вводить еще одну функцию [и]„— сеточный аналог и. Правила, согласно которым вводят [и]ь, устанавливаются в зависимости от особенностей функции и. Так, для непре. рывной и естественно определить [и]„как таблицу, составленную из значений и в узлах сетки («проекция» и на сетку), а для разрывнойкак таблицу, содержащую среднеинтегральные значения и в окрестив.
сти каждого узла. Именно [и], и рассматривается далее как искомое точное решение («эталонная таблица»), с которым сравнивают решение и'ю задачи (130). Говорят о сходимости решения иа' к точному решению [и], с в-и порядком точности относительно шага й, если норма ') погрешности ') Под нормой ))г(ю)! сеточной функции гсо понимают неотрицательное число, ха. рактеризующее отклонение этой функции от нулевой ао всех точках. В зааисимостк ет аида задачи используют те или ияые определения норм. Так, в качестве нормы можае применять ]]г ]! = щак]лю ! — наибольшую по модулю компоненту ."~ ' или среднсе с л лп л кязтратичпос зпачскнс пт г'"' пп всем узлам сетки З!02 методы численнОГО Решения уРАВнений нАВье — стОксА А63 !з]„— иич приближенного решения стремится к нулю при й- О как велзчааа порядка й'.
]! [и],— исч!],,(с/з". Как видно, определение сходимости имеет асимптотический характгр, в то время как реальные вычисления ведутся с малыми, но конечзими шагами. Поскольку значение постоянной с зависит от вида схемы, таз отдельных случаях переход к схеме формально более высокого порядка может и не дать при конечном й желаемого эффекта.
Непосредственная проверка сходимости, как правило, невозможна, ютя бы уже потому, что неизвестна функция и. Поэтому установление сдодимости проводят в два этапа: через проверку аппроксимации и анализ устойчивости схемы, Исследование аппроксимации проводится следующим образом.
Предположим, что в разностную схему подставлено точное решение, т. е. сеточная функция [и], (как будет ясно из дальнейшего, для оценки аппроксимации не обязательно фактически располагать этой функцией), В результате указанной подстановки получают невязку (погрешность) аппроксимации б/еч = Ь~ [ и ],— /'". Если норма невязки стремится к нулю прп й- О, будучи при этом велиздной порядка й'и то схему называют аппроксимирующей исходную задачу (!29) на решении и с порядком й, относительно шага й.
Чтобы практически исследовать аппроксимацию, достаточно представить решение исходной задачи в виде разложения в ряд Тейлора по степеням й около соответствующих узлов сетки. Выясним для примера характер аппроксимации дифференциального уравнения (126) разностным уравнением (128) в окрестности узла х, Г„. Используя разложения (Х„,!,) = и(Х„, т,) -]- Лт ди ! + д! !х Ам ди! ЛР дзц ди ! Лхх д'и 1 Дхх дхч а(х „,1„)=и(х,т„).+-Лх — ~ + — — ~ ~ — — ~ + ..., дх~х~з„2 дхх ~х~п„в дхх !х,„хд ОПРЕДЕЛИВ [и], ВЫРажЕНИЕМ [и]„) ххл, =и(Х„/,) И ПРИНЯВ ВО ВНИМаНИЕ, зто и(х,г) удовлетворяет уравнению (126), получим после подстановки (13!) в схему (128): 2 д!х !х Л„2 дхх !х Л„ Отсюда видно, что если при Лх, Л/- О выполняется условие ЛТ=ГЛх (г=сопз!), то локальная (в окрестности узла) аппроксимация имеет зервый порядок по обеим переменным.
Также легко установить, что схеяз с симметричной аппроксимацией производной ди/дх выражением (з„'„— и',)/(2Лх) дает невязку порядка 0(ЛГ, Лх'). Проверка аппроксимации чаще всего не составляет большого труда; з случае равномерных сеток достаточно убедиться в аппроксимации в одной произвольной точке. Может возникнуть впечатление, что если погрешность аппроксимадаи стремится к нулю при й — ~О, то это гарантирует сходимость решения ив' соответствующей разностной задачи к точному решению [и].. Одназа в обшем случае это утверждение неверно. ГЛ.
Х!. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА 464 Дело в том, что входные данные задачи (правые части, коэффнпи. енты, начальные и граничные условия) задаются с некоторой погреш. постыл. Помимо этого, при вычислениях возникают ошибки округления, Для одной и той же исходной задачи в зависимости от структуры раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
