Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Во второй области (5,) будем иметь уравнение Лапласа двВ, 'дн — '+ — ' =О. дйн дпн (120) !третьей (5,), как уже указывалось, будет ат=О, В,=О. :ввпндающего с обычным условием гидродинамвческой задачи, и задаан перепада давления Лр иа участке 1 или секундного объемного раствдн О (средней скорости ш„), должны быть еще составлены электро1нннинческие граничные условия, которые выводятся из условий сопрянвння (непрерывности) значений кисательной составляющей Е, на контуре н величины В. На контуре С„являющемся обшей границей областей 5, и 5„око. тить м=б; поэтому, кроме условия В,=В„будем еще, согласно условню непрерывности (Е,),=(Е,), и закону Ома (110), иметь условие 1пун),=(у,/а),.
Это условие легко выразить через условие сопряжения -врннльных производных от функции В, если, пользуясь (!12), произввстн н предыдущем условии сопряжения замену у, = (1/ут,) (дВ/дн) . Тогда тудеи иметь следующую окончательную форму условия сопряжения на Обратимся к составлению граничных условий на границах С, и С, ввздела областей. Кроме очевидного гидродинамического условия те=О (на С,), Гл. х. динАмикА несжимАемОЙ вязкои жидкОсти 404 границе С, (по сделанному ранее предположению, магнитная проницая. масть р, во всех областях одинакова) ! дВ, 1 дВя (121) вд да вя дп На контуре С, в силу непрерывности В будем иметь В,=В,=О, Чтобы упростить задачу с выведенными только что условиями со.
пряжения на границах областей, воспользуемся принятой малостью от- ношения толщины области 5,— толщины стенки трубы б — к характер. ному размеру а области 5,. Пренебрегая в области 5, кривизной стенок трубы, можем принять в качестве приближенного решения уравнения Лапласа (120) для В, линейную функцию, т. е. положить в области 5, дВ, а — '= — в,—, да 6' а на границе С„где В,=В,, дбя я а Вх дн б Такое допущение будет строгим для случая плоской трубы с любой толщиной стенок, а в принятом приближении справедливо лишь в локальном смысле. Таким образом, согласно (121), примем следующую приближенную систему граничных условий в безрззмерных координатах дВ, В пГ=О, — '+ — '=0(на С), В,=О (на С), дн ф (122) где использовано обозначение аб %=— а,а (123) Если О,=О, что соответствует случаю, когда стенкой трубы служит изолятор, то ф=О и, следовательно, по (122) на контуре С, будет В, = =О.
В этом случае задача упрощается и сводится к решению совокуя. ности дифференциальных уравнений (118) при граничных условиях в'=О, В',=0 (на С,). В противоположном случае (в,=со), когда стенки трубы обладают абсолютной проводимостью, коэффициент ф=ОО и граничные условия для системы урзвнений (118) будут ха'=О, дВ,)дп=О (на С,). Приведенная только что постановка задачи о движении вязкой, не. сжимаемой и электропроводной жидкости по цилиндрической (прнз. матической) трубе с произвольной формой сечения является достаточ. но общей, так как, наряду с гидродинамической общностью, в ней со.
держится еще возможность произвольного задания величины ф, харак. теризуюшей сравнительную электрическую проводимость жидкости я стенок трубы. Рассмотрим в качестве иллюстрации наиболее простую из возмож. ных задач, для которой, как сейчас станет ясным, предыдущая постановка является вполне строгой, — задачу о движении электропроводной жидкости в плоской трубе. Расположим, как и в $ 89, безграничные плоскости, представляю. щие стенки трубы, перпендикулярно к оси Оу, а тем самым и перпендя. кулярно к внешнему однородному магнитному полю на расстояниях т а! устАнОВиВшееся дВижение электРОпРОВОдной жидкОсти 4оз «-У«от плоскости симметрии трубы Охг. Тогда искомые величины не бурут зависеть от х нли, в безразмерных переменных, от $. При этом из уравнения (120) можно будет заключить о строгой линейности функции В, по переменной т!. Уравнения (118) сведутся к системе двух обыкновенных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами Лам' «ТВ' ив д С вЂ” +На — = — 1, — +На — =О, (124) апа ич дч' дч ппорые должны быть решены при граничных условиях (за характерную длину а примем половину расстояния между плоскими стенками трубы, равную У!) ш* = О, — ~= — = 0 при Ч = -+.
1. (125) ф Искомое решение будет 1 фи-1 ~ сь(На «1) «с' =— На На «р+ Ш На Ь сп На (126) Ч + 1 ф+1 аь(На Ч) На На Наф+1ЬНа спма Первое решение этой задачи, относящееся к частному случаю петр!водящей стенки (ф=О), было дано в 1937 г. Гартманом (см. ранее актированную его статью).
Им же был впервые отмечен основной эффект наличия поперечного к потоку магнитного поля: с ростом магнитной индукции В„, точнее, числа Гартманп, определенного равенством (!!9), профили скоростей в сечениях плоской трубы становятся все бо- А«а пологими, или, как иногда говорят, «заполнеинымиж Вычислим среднюю скорость по сечению «с,„. Прежде всего опредеАни секундный объемный расход л 1 О= ~ ш«(у= — д — ! «с'«УЧ.
и дрс ч«. ! 1)адставляя сюда значение ш* по первому из равенств (126), найдем 2аа Др «р+ 1 На — 1ЬНа (127) чр ! На' Наф+ФНа Сравинм это выражение с соответствующим ему при «р=О и На=О выражением (63) э 89. Заметив, что !)1 На = На — — Наа + ..., 3 убедимся, что раскрытие неопределенности приводит к (63). Из формуАы (127) определим искомую среднюю скорость «7 аа др ф+1 на — шна (128) 2А ур ! На' На ф+ 1П На Отсюда найдем безразмерную скорость «а На Г1 СЬ(Н«Ч) '1 1 (129) Отметим, что и«/ш„не зависит от «р, т. е. от проводимости стенок. На рас. 154, где по осй ординат отложено отношение размерной скоропк а«к ее среднему по сечению значению ш„, а по оси абсцисс — без- 406 гл. х.
динамика нвсжимаамои вязкои жидкости рго, Й и еза бэ гт Рпс. 164 Подставляя в левую часть значение йр из (128), после простых сокращений найден закон сопротивления для движения элехтв плоской трубе, расположенной в поперечяои ропроводной жидкости магнитном поле 6 Наа На гр+ 1ЬНа (130] Йе гр+ 1 Ма — 1ЬНа Предельный переход при На-+.0 приводит к закону сопротивленяя (66) при отсутствии магнитного поля 34 (Л)На=а =. Ла = Йа Отношение Л ! На' На Чг+ 1Ь На Ле 3 гр+ 1 На — 1Ь На представляет собой функцию ~р и На, график которой показан на рис.
155. Можно заметить, что отношение Л/Л, совпадает с обратным от. ношением 1,),Я, где Яе= (Я)н, Некоторые детали анализа распределения плотности электрнческо. го тока можно найти в ранее процитированной работе Чанга и Лунд грена. Никаких принципиальных трудностей по сравнению со случаем не. проводящей жидкости (9 89) не представляет рассмотрение потока проводящей жидкости в призматической трубе прямоугольного сечения, В работе Слоана и Смита' ) рассматривается (рис.
156) движению электропроводной жидкости (коэффициент электропроводности в,) а направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, по каналу прямо. угольного сечения Вг между двумя плоскими проводящими стенками (ноэффициент электропроводности о,), перпендикулярными к оси Оу, вдоль которой направлено внешнее однородное «лагнитное поле с индукцней В,. Толщина проводящих стенок может считаться конечной, име- ') Б ! о а п 1), М., Ягп11Ь Р. Мадпс1оьувгодупагп!е Пои !и а гес1апяп!аг р!ре Ье1.
рееп сопдпеппд р!а1еа.— Ее!1есьг. 1. апашем. Ма1Ьегпа1. и. МесЬ., !966, Вд. 46, $. 439- 443. размерное расстояние г) от оси трубы, поназан отмеченный ранее эффехт влияния поперечного магнитного поля на форму профилей скорости з сечениях плоской трубы. Этот эффект, не зависящий, нак только что бнло показано, от проводимости стенок, называют эффектом Гартмана, Легко проверить, что при На-е О профн. 15 ва-э ли скоростей (129) превращаются в обычае-3 ную параболу второго порядка (61); отнопа т шение пгеа/пг, которое характеризует аа.мг «полноту» профилей, равно '/, при На=0 а,.тр И СтРЕМИтСЯ К ЕДИНИЦЕ ПРИ На-еоо, ЧтО СО- ответствует однородному профилю по все. му сечению, исключая пристеночную об.
ласть толщины 1/Нв. Введем, как н в случае отсутствия маг. нитного поля, формулу сопротивления з виде $ ОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОН ЖИДКОСТИ 407 Вней тот же порядок, что и высота канала 26, и равной (гр — 1)Ь. Две другие стенки непроводящие, При сохранении выбора безразмерных величин (1!7) задача све- аотся к необходимости интегрирования системы дифференциальных уравнений (118) и (120) при граничных условиях нг = 0 при $ = ~ х, ! Т) ! ( 1 и т) = .+. 1, ) $ ! ( х, В, = 0 при ф = ~ х, ! т) ) ( 1, Во=О пРи $=~ х, 1() т))( гр и т) = ~=1, |5)( х, (132) дВ, дВ о, — ' = а, — ', В, = В при т) = ~ 1, ~ $ ~ ( х. дч дч Следуя примененному в 2 89 методу для течения непроводяной жидкости по призматической трубе прямоугольного профиля л/л, Гд .Аг Н Ю гд 75 Ы 1 1 ~В1 Рис. 155 Рис.
156 а отсутствие магнитного поля, будем искать решение уравнений (118) и (120) в форме рядов Фурье иг' = 'Я гл(т)) соз (а4), л=о Ю В, = '~5~ дл (т)) соз (а,$), (133) лл '~~~ ~Рал (т)) соз (алсо), 1 ( т1 ( гр, л о ОЭ 'Я зл(Ч) соз(а,$), — д(т) ( — 1, л=о гае положено ал= (а+ — ) "; (134) граничные условия по $ уже выполнены. Используя еще, как и ранее в 9 89, разложение 1= — Я соз(а 5) прн 1$)(х 4 ( 1)л и 2л+1 408 ГЛ Х ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ и подставляя его и ряды (133) в уравнения (118) и (120), получим, пряравнивая коэффициенты при косинусах с одинаковыми аргументами, следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений вто. рого порядка с постоянными коэффициентами (штрих — производная по т)): в 4 ( !)л 1„— ан1в+ Над„= —— и 2н+в дв — а'„д„+ На1,=0, й„— анй = 0; з„— а„'з„= 0 (135) с граничными условиями й„=О при т)=д, 1,=0, Вв=й„аед,=атй, при т)=1, 1, = О, дн=з„авд„'=агч„' при т] = — 1, (136) за=О пйи т)=- — Ф Не останавливаясь на деталях решения этой сравнительно простой с математической стороны задачи, приведем в окончательной форме выражения для безразмерных скорости шв и магнитной индукции поля В, в области 5, течения жидкости В с э в=э в Ев эв])АЧ вЂ” 0навинч соз а„$; )Р„св и„— Е„с)1 вн здесь положено Р„= ааа„з]тР, — аэ[)в (П [а„(1 — д)] СПР„ Вв =- а,а„з]1 а„— пасс„(]т [а„(1 — д)] с]т а„ „г,= — [ — н *7 н '-).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
