Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 132
Текст из файла (страница 132)
стия начальная закрутка не остается заметной вдалеке от выхода струи. Максимальное значение окружной скорости 8~з у Сьаа» = 8 ха ') Решение, соответствующее конечному начальному диаметру истечения неаакру. ченной струи, бмло получено впервие Ю Б Ру мер о м в статье: Задача о аатопле» ной струе.— Прикл. матем. и мех., 1952, т. 16, вып. 2. 571 $ цб. Плоскии нестАциОнАРныи пОГРАничныя слои растнгается на конусе ') 23~3 ч= —. Зга В дальнейшем вопрос о ламннарных струях подвергся математическому анализу со стороны М.
А. Гольд штик а'). 9 116. Плоский иестационарный пограничный слой Причина сравнительной сложности решения задач нестационарного юграничного слоя заключается, во-первых, в наличии в его уравнениях наряду с членами, выражающими конвективное ускорение, еще дополннтельного члена — локального ускорения и, во-вторых, в появлении, ааряду с граничными, еще начальных условий. Известно, что соотношение между величинами локального и конвек тиввого ускорений характеризуется порядком величины числа Сгрухала, равного частному от деления характерной для данного движения длины на произведение характерных скорости и времени.
Существенные особенности нестационарных движений проявляются с достаточной отчетливостью при сравнительно больших значениях числа Струхала. При налых значениях этого параметра достаточно пользоваться квазистацнонарнацни приемами, т. е. рассматривать нестацнонарное явление в каждый момент так, как будто оно стационарно, но имеет в качестве определяющих параметров их мгновенные значения. В настоящем общем курсе не представляется возможным углублятьса в этот сложный раздел теории пограничного слоя и приходится удоюльствоваться рассмотрением лишь одной простейшей задачи, представляющей интерес с точки зрения понимания механизма диффузии мвнхрениости от места ее зарождения на поверхности обтекаемого мла. Это — задача о мгновенном (импульсивном) приведении в поступательное, равномерное, прямолинейное движение тела, погруженного в неподвижную безграничную вязкую, несжимаемую жидкость.
Если по условию задачи тело приобретает установившееся движение мгновенно, то этого нельзя сказать об окружающей его жидкости. Естественный интерес вызывают процессы установления движения жидкости во времени: зарождения и развития пограничного слоя на поверхности тела, появления отрыва н перемещения его вверх по течению, перехода пограничного слоя в его установившуюся форму, соответстаухкцую стационарному обтеканию тела. Возможность сравнительно простого решения этой задачи объясняется тем, что внешний, набегающий на тело безвихревой поток при поступательном, прямолинейном и равномерном движении тела стационарсн, я скорость на поверхности тела определяется функцией только одной переменной х.
Такое простое решение имеет место до начала возникновения отрыва и до тех пор, пока отрыв еще не получит своего полного развития, т. е, в начале разгонного участка. Обратное влияние пограничного слоя на внешний поток на этапе развивающегося и перемещающегося отрыва станет заметным и приведет к появлению времени в числе аргументов скорости внешнего потока. ))ользуясь сравнительной малостью продолжительности разгона и вводя время в определение толщины пограничного слоя, можно искать реше- ~) Теоретические исследования более сложных ламинарных струй смя Коробке 9, И. Теория неавтомодельных струй вязкой жидкости.— Изд-во Саратовского унаеерснтета, 1977, ч.
1, с. 3 — 138. е) Гольд шти к М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука, Сибирское отхеленне, 1981, с. 235 — 259. 579 гл. хп. лАминАРныи пОГРАничныи слои в несжимьемОЛ жидкОсти ние задачи в виде ряда по степеням времени, сходимость которого вра достаточно малых ! обеспечена. Это обстоятельство также облегчает решение.
Уравнения нестационарного пограничного слоя будут отличаться наличием локального ускорения ди/дг в левой части уравнения (11), граничными и начальными условиями. В рассматриваемом сейчас случае уравнения будут иметь вид ди ди ди гдl де и ди дс — +и — +о — =У вЂ” +т —, — + — =0; дг дх ду их ду' дх ду и = У (х), о = 0 при у = О, г = О, (200) и=О, О=О при у=О, !)О, и-ь У(Х) Прн у- со, и=У(0) при х=О, у~О, 7; О. Первая строка приведенных условий выражает тот факт, что в начальный момент Т=О пограничного слоя еше нет, и жидкость скользит по контуру цилиндрического тела. При малых значениях времени ! пограничный слой еще очень тонок, скорости и близки к своему внешнему значению У(х), а о мало отличается от нуля.
Тогда первое из дифференциальных уравнений системы (200) можно привести к линейному виду, совпадающему по типу с известным уравнением теории теплопро. водности в твердом теле (индексы при и, о, / и г' в дальнейшем обозначают их принадлежность к соответствующему приближению) д'и, ди, т — — — =О. дуа дг (20!) Полагая ') и,=У(х)/,(т!), Т1=у/(2~И), (202) получим для определения /,(т)) обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (штрих в производная по т1) /, + 2т!/, = О, которое при принятых условиях (200) имеет решение в форме известной гауссовой функции ошибок п /Т=ЕТ!Т1= — '! е 'йа, уп ! что дает первое приближение для продольной скорости и,=У(х) Ег! т!.
(203) Пользуясь уравнением неразрывности, введем соответствующее этому первому приближению значение поперечной скорости о, = — 2)У тг — ~т! Ет! т! — — (! — е-'1') ди г 1 гц' (204) Чтобы разыскать второе приближение, положим в первом уравне. нии системы (200) и=и,+иь о=о,+о,.
') В ! а аг па Н, Огепхас!т!сыеп !и и!йаа!Еке!1еп пп1 11!е!пег Ке!ьппи.— Ее!!есЬг. Ма1Ь. п. РЬуа., !908, Вд. 56, 8. 1 — 37. 4 3!а. плОскиЙ нестАциОнАРныи пОГРАничнып слои 573 Тогда поправка и, определится из неоднородного также «теплового» по типу уравнения Уи, ди, ЕУ лиг ди, з — ' — — ' = — У вЂ” + и, — + оз — = дяз д! йк дк ду = У вЂ” 1 Ег!зт! — — т!е-и*Ег1 г! — ! + — (е-'з* — е-зч')~ . (208) Разыскивая и, в форме (206) мяучим для определения функции )з(г!) неоднородное уравнение П + 2нг'з — 41'з = 4 ~ ЕгР т! — — т!е "' Ег1 г! — 1 + — (е-и' — е '"') 1, (207) !ашенне которого будет 1,(з!)- ! (2г!' — !) ЕгР т! -г; 3 т!е-ч'Ег( -1- ! 4 -чз ! 2 !' л Зл + — е з"*+ сз(2т!'+ 1)+ р ~ (2з!а+ 1) Ег! г)+ т!е-а'~ . (208) л 2 Входящие сюда постоянные а и р определяются из принятых граяяяных условий обращения 1,(т!) в нуль при к!=0 и к!=СО; найдем сс= — (1+ — ! = — 1,212; В= — 11+ — 1=0,804.
(209) Пользуясь вновь уравнением неразрывности, определим поперечную скорость о во втором приближении аз««2 )гчза [У вЂ”, + ( — ) ~ ( (1 + — )— — — (2г!а — Зт!) ЕгР г! + (4 — (4г!з — 1) е-ч') Ег(т! — з!— 6 6Ул — — т!е ч* — Ег1 (т! )Г2) + ~! + — ) ( — з!а+ т!)— 1 з 4У2 Зл 1(,3 — — ! ! + — 1 ! —" (2з!' + Зт!) Ег1 Ч + — (т!' + 1) е-ч*] ~ . (210) 3 Поступая аналогичным образом и дальше, можно было бы разыскать я третье приближение').
Для этого пришлось бы решить неоднородное уравнение — — — =и,— '+и,— +От — +о, —. (211) дзиз диз диз ди, диз ди, дуз дГ дк дк ду ду и,=Р ~(Рд Ы г („) -1- у(дгг ) р ( )~ (212) где функции 1, и Г, удовлетворяют следующим неоднородным уравнениям: ~з+ 2г1~з — 8~»=40(ъ!), Рз+ 2т!Рз — 8Р»=40(з!)+4Ф(т!). ~) Сг о!3 ага!и Б., И о» ел 1з за д !..
Воипдагу!ауег дгозч1Ь,— Ргос. Сагпьг. РЫ1 Бос., 1936, ч. 32, р. 392 — 101. Функция и, должна содержать в качестве множителя Р и будет ииеть вид ч ! !з. плОскин нестАционАРныя пОГРАничныи слОЙ 575 /44 д 42 44 44 4!г Г-Г77 /а' Рис. 205 !) 5сЬ иЬ Н. Св!си!ации о1 ииз!езду Ьоиибвгу !вуегз 1и Пчоийшеиз)иив! 1вииивг !!юч,-хе!МСЬг. !. Р!идчч!зз., 1953, Вб. 1, 5. !22 — !3!. !) Са. книгу: Вихревые движения жидкости: Устойчивость я отрыв пограничного йех, свободные и квантовые вихри.— Мехзвикв, Новое в зарубежной науке.
Вып. 2!.— Гп Мвр, 1979, с. 58 — 100. !) Буш мер я и О. Н, Сер вез Ю. В. Параметрический метод в теория иествмюхзрвого пограничного слоя.— Йиж.-фяз. журн., 1974, т. 27, № 1; Б у ш м в р в н О. Н. йарзметрвчесхвй метод расчета яествцвоивриого лвыявврного пограничного слоя в вечвзвзеяой жидкости с отсосом или вдувом.— Ивж.-фвз, журн., 1976, т.
31, № 4. ') 17) иг! с М. Ои ЬЬе ишчегзв! !спи о! ииз1евбу !исо!иргезз!Ые Ьоиидвгу 1вуег з)м!!ои зид !Ы зо!ч!ия.— РиЬГ де Г!изБЬ Мз!Ь., Ве!Егвб, 1969, ч. 9; Азсоч16 й. !)хе!Чиез сои1г!Ьи!!оиз в 1'е!ибе бе 1в сиисЬе !нине!винил)ге !г!6!шепз!оие11е еи гея!ше зоп з1з!юиз!ге, Кзр. А — 16 ди ЬзЬог. б'Аегод. бе ГПи!ч. Евчв), ЯиеЬес, Свивдв, зи!и, Ш70; 5 з1! и ! К о ч Ч. 5иг иие !опие розе!Ые озес)ивцииз ии!чегзенев бе!в соисье!лице Ьхййзие !из!вполз!ге.— С.
и. Асзб. 5с!., Рвг!з, 22 и!в!в !971, ч. 272, р. 830 — 833; зз!)и!Коч Ч., О)йй1с О!Ь Е'ип!чегзацзв!!ой с)ез еяивцоиз де !в соисве 1иице 1!а!за!ге !из!в!!сиз!ге, Весел!ез гесЬегсЬез зиг 1ез сиисЬез 1иицез !из1в!!оив)гез, зи!зш 5!аров!иш 1971; Е ! с Ь е1Ь г е и и е г Е. А. еб., ч. 1, ЯиеЬес, Свивбз, 1972, р. !68 — 205. чесхой точки круглого цилиндра, от безразмерного времени т=)(7 /с( [!)-диаметр цилиндра). Кривая эта рассчитана по изложенному мето„) последовательных приближений. В промежутке времени от т=О до 5=1,0„/с(=0,16 угол 8," не меняется и равен 180'. Затем, начиная с пшо момента, угол О,' убывает, что соответствует перемещению точки е!рива по контуру цилиндра вверх по потоку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
