Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 187
Текст из файла (страница 187)
Ламинарный пограничный слой в сверхзвуковом потоке смеси реагирующих между собой газов Во многих областях современной техники, таких, как авиационная, космическая, энергетическая, лазерная, химическая технология и многих других, возникают и используются неоднородные, многокомпонентные газовые потоки смесей химически взаимодействующих газов.
Неоднородные по составу среды, все составляющие которых принадлежат к одному и тому же жидкому или газообразному состоянию, носят наименование гомогенных или однофазных. В зависимости от числа входящих в них компонент различают деухкоипоненгные, трехкомпонентнгие и т. д.
среды. Неоднородные среды, включающие вещества в разных агрегатных состояниях (фазах), называют гетерогенными или, по числу входящих в них фаз, двухфазными, трехфаэными и т. д. Механика и термодинамика неоднородных сред основаны на предположении о возможности перехода от систем дискретных частиц к сплошным средам, что достигается процессом осреднения по множеству частиц. Отличие от кинетической теории газов заключается в том, что эти частицы по своим размерам далеко превосходят молекулы.
Такой статистический переход, конечно, требует присутствия в элементарном объеме осреднения достаточно большого числа частиц. Основные трудности, возникающие при изучении динамики и термодинамики среды, связаны с большой сложностью механизмов межкомпонентных и особенно межфазных взаимодействий, сопровождающих движения таких сред.
') Алексеев Б. В. Пограничный слой с химическими реакциями.— Мг Вычислительный центр АН СССР, 1967, с. 19. $!49 ЛАмннАРнып пОГРАннчныи слон В сВеРхзВукОВОм пОтОке 799 В настоящем параграфе внимание будет сосредоточено лишь на ыногокомпонентных смесях газов '). Отправляясь от общего приема статистической механики, постулируем существование так называемой функции распределения частиц, образующих систему, по их положению в пространстве и скоростям. Характеризуя положение отдельных частиц их вектор-радиусами г в данный момент времени ( и векторами скорости 17, введем функцию распределения !(г, 17, () как коэффициент пропорциональности в выражении вероятного числа ЬУ частиц, расположенных в окрестности (г, г+бг) данной точки пространства и движущихся со скоростями, находящимися в интервале (Р, Р+ЬР): 611 ='((г, Р, О(бг)(ЬУ), (189) где символы (Ьг) и (617) обозначают элементарные Объемьг в геометрическом пространстве координат х, у, е и пространстве скоростей и, О, и, которые выберем равными (Ьг) =Ьхбу ба и (6!7) =Ьибвбш.
Эти ооъемы сохранят далее обозначения (бг) и (6$'), как это принято в кинетической теории газов. Из определения функции распределения (!89) следует выра кение полного числа частиц в системе М =(г, у', ()(Ьг)(б)г) (190) а затем и вероятную плотность распределения частиц в пространстве в данный момент и = ') 7' (г, у', () (617). (192) Умножая эту плотность на массу т частицы, расположенной в данной точке пространства, получим массовую плотность, или, короче, плотность р сплошной среды в данной точке и в данный момент времени р=пт. (193) Рассматривая сплошную неоднородную среду как систему частиц, состоящую из определенного числа подсистем — компонент «(-го сорт໠— с частицами одинаковой массы, примем для каждой из них свою функцию распределения )го(г", 'уч',().
Вводя вместо скоростей отдель- ') По общему вопросу о движениях ггтгроггнчых сред отсылаем к наиболее распространенным монографиям: Н и г м а т ули н Р. И. Основы механики гетерогенных сред.— Мг Наука, 1978; С о у С. Гидродннамика многофазных систем: Пер. с англ.— Мг Мир. См. также обзор, составленный Р. И. Н и г м а туп иным в соавторстве с А. Н.
Крайко, В. К. Старновым н Л. Е. Стерниным, «Механика многофазных сред» (Итоги науки и техники, Гидромеханнка, т. б, ВИНИТИ, 1972). Неноторое представление о трудностях, возникающих при рассмотрении динамики и термодинамики неоднородных сред, можно получить, ознакомившись с содержанием $ 13 пре. дыдущего (пятого) издания настоящего учебника, как объемного интеграла по областям изменения положений и скоростей частиц системы.
Равенство (190) выражает принятую нормировку функции распределения. Относя вероятное число частиц (!89) в объеме (Ьг) (ЬУ) к общему числу частиц (190), можно придать функции распределения смысл вероятности нахождения частиц в только что указанном элементарном объеме, и тогда условие нормировки (!90) заменится обычным условием равенства единице суммы вероятностей всех возможных положений и скоростей частиц системы. Относя вероятное число (!89) к объему (бг), получим вероятную плотность распределения частиц по скоростям в интервале (У, У+617) ба= — =1(г, )г, ()(б~), (! 91) (бг) гл.
хк динкмикх вязкого гьзл воо ных частиц )что сорта У" средние скорости Уи) в данной точке простран- ства, занятого частицами )-го сорта, и принимая за «вес» осреднения функцию распределения )", найдем — ~( )и'гю (бк(о) к(о ) ~)(ок(о(б(ти>) сш > ~ >())(аггю) (194) Для определения средних величин в точках сплошной среды в целом (смеси компонент) примем обычные «формулы смешения» по л(ассе для плотности р= Япа)п>и) — 'Яри) (195) и> и) и по количеству движения для скорости рк' =,~ ~ра>Р", к' = (,~ ~р(о~").
(о о (о (196) Отношение плотностей в данной точке ри) па)т>о () " т,и> '~~Р пи)ти) (в') (197) В дальнейшем придется встречаться только со средними скоростями Ф'> и К в связи с чем условимся опускать черту над К Разность ско- ростей (198) можно трактовать как среднюю скорость распространения 1-й компоненты сквозь сплошную неоднородную среду в данной точке и назвать скоростью диффузии (-й компоненты.
Уравнение неразрывности (-и компоненты будет иметь ту же форму (12) или (13) гл. 111, что и в случае однородной среды, с той лишь разницей, что вместо р и У будут стоять соответственно ри' и У(ь, а под Х(Я> условимся понимать отнесенную к единице обьема скорость прироста массы )-й компоненты за счет реакций перехода от /-й компоненты к Рй.
Очевидно, ,7'о = ~,7(н),,'5',.7(о =;5, '.7(ш= О. >и (о ил) Уравнение (13) гл. 111 при этом переходит в уравнение неразрь(вности )-й компоненты: ( р ю р ( ) ) ) ( ) ) Я ~ ( ~ ) > д) (и Суммируя обе части этого уравнения по всем компонентам, получим, согласно (195) н (196), уравнение неразрывности для смеси в целом ~ + (11ч (рк ) = О. (201) д( (200) определяет «концентрацию» си' частиц )-го сорта в данной точке сплошной неоднородной среды. Согласно (197) будет ~>~ с()) — > ~~ ри) — 1 (о Рю $!<к лАминАРныи погРАничныя слОЙ В сВеРхзВукОВОм потОке 3<<< В уравнении (200) можно освободиться от средней скорости У(о движения отдельной компоненты, выразив ее, согласно (198), через среднюю скорость среды в целом У и скорость диффузии компоненты У'"', получим д (" + <11~ (р(О (1 ' ' + У)1 = 7", д< (202) или, вводя по (197) концентрацию с(ч =р(*'/р, + б!у [рею (у 'о + У)) = .((~'. д< (203) Комбинируя члены дс((< си<1 др + <11У(рУ)1 1 рд~ + рр .яга(1с(о,7<о л(ч(рс(л)г <О) <.
д< .< д< и используя уравнение неразрывности смеси (201), окончательно получим р — + рог ягаб сю =,7(о — (11У (рс~Ч'""). (204) д< Это уравнение носит наименование уравнения концентрации компоненты. Левая часть уравнения представляет совокупность локального и конвективного изменения концентрации (чй компоненты в потоке смеси, правая — характеризует возникновение <-й компоненты за счет физико- химических превращений 1-х компонент в 1-ю и диффузию (распространение) <-й компоненты в смеси.
В этом уравнении средняя скорость смеси 1г, величины 1(А( и их сумма 7(О=,)Р~,70', скоростидиффузии У*"' так (и же неизвестны, как и концентрация с"'. В так называемом диффузионном приближении скорость смеси в уравнении (204) определяют из уравнения динамики однородной среды со значениями физических констант, соответствующими смеси.
Как будет далее показано, это эквивалентно отбрасыванию в точном уравнении динамики смеси нелинейного члена, характеризующего суммарный эффект диффузионных движений компонент. Такое отбрасывание допустимо при сравнительной малости скоростей диффузии. Скорость диффузии У*(ч связывают с градиентом дга(1 с(о концентрации <-й компоненты по закону Фика, а скорость образования этой компоненты Л'=~З1 выражают через физико-химичес(<и (!( кие параметры, входящие в уравнении кинетики процесса образования компоненты. Такой приближенный «диффузионный» подход, линеаризующий уравнение (204) по отношению к концентрации с'", оказывается во многих случаях достаточным для изучения движений гомогенных газовых сред. При требуемом практикой более строгом подходе — это относится в первую очередь к гетерогенным средам — приходится обращаться к рассмотрению уравнений динамики в напряжениях и уравнений баланса энергии как для отдельных компонент, так и для смеси их в целом.
Вывод этих уравнений применительно к отдельным составляющим смеси основан на тех же принципах, что и в случае однородной сплошной среды, отличаясь лишь учетом взаимодействий компонент между собой и возможного наличия физико-химических превращений одних составляющих смеси в другие.
Уравнения динамики и баланса энергии смеси выводится из уравнений отдельных ее составляющих путем почленного суммирования этих уравнений по всем компонентам. ГЛ. ХЧ. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА а дчя смеси в целом по уравнению (201) — (ри) + — (ро) = О. д д дх ду (206) Динал(ическое иравнение пограничного слоя для смеси газов примем тем же, что и для однородного газа с плотностью и коэффициентом вязкости, соогвегствующиии смеси газов, а именно ди ди др д (' дич ри — + ро — =- — — + — (р — ~ дх ду Вх ду(, ду (207) Грубая оценка коэффициента вязкости смеси возможна по формуле Р щ Ри( й' ти' "' (О т(О где введены обозначения: р, 1(, т — соответственно плотность, динамический коэффициент вязкости и молярная масса в данной точке смеси, а р", 1х"', т(п — то же для рй компоненты (р(п — плотность при парцпальном давлении р" компоненты); с(п=р"/р — массовая, или весовая, концентрация 1-й компоненты в данной точке смеси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
