Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 182
Текст из файла (страница 182)
Крокко, интеграл переписать в виде Т И вЂ” 1 о / и !а и — — М„( — ) +а — +Ь. т 2 "(и) и„ Используя очевидные условия Т=Т„при и=О, (84) (83) Т=Т„при и=У определим а и Ь; окончательно найдем следующую связь между распределениями температур и скоростей (интеграл Крокко) Т И вЂ” 1 о / и тв Т тм й 1 о ! и Тм — — Мм ( — ) + (1 — — + — М ! — + —.
(85) Обозначая, как и ранее, значком нуль температуру, соответствуюшую адиабатически н изэнтропически заторможенному газу, будем иметь для любой точки пограничного слоя Т,=т(1+ ' 'М ) =Т(1+ ' ' "* ) = и, следовательно, на внешней границе слоя (и= У„) и на поверхности пластинки (и=О) будет т„,=т„(1+ — '' М'„), Т.,=Т.. 2 Переписывая (85) в форме т+ м'„т„( — ) т т„(1+ м'„) — т м а н а,— Мз ИЛ, 1955.
К сожалению, обзор доведен только до 1948 г. и посвящен по преимушеству зарубежным работам. Обзор советсиих работ примерно за этот же промежуток времени можно найти в статье: Лойця иски й Л. Г. Пограничный слой.— В инл Механика в СССР за ХХХ лет.— Мл Гостехиздат, 1950, с. 300 — 320. См. также монографию. Лойцянский Л Г. Ламинарный пограничный слой.— Мл Фиаматгиз, 1962, с. 3!9 — 352. 770 ГЛ. ХЧ.
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА получим равенство т„— т „ (86) з — = — 2ий ' (и), АЯХ (87) причем предполагается, что Й(и) заменено его выражением согласно (85). Исследование случая о=1 связано, таким образом, с интегрированием уравнения (87). При этом уже не используется преобразование Дородницына, так как координата у не входит в число аргументов. Из первого уравнения системы (61), переписанного в преобразован- иой форме ( — "' + ф) р" = о, и очевидных соотношений ф"ФаО, ф=О при и= — 0 следует граничное условие — =0 при и=О.
(88) Йч Кроме того, из определения з следует З=О при и=!. (89) Следовательно, точка З=О, и= 1 является особой для нелинейного уравнения второго порядка (87). Полагая в правой части уравнения и= = 1 и замечая, что при этом по (85) будет й= 1, составим приближенное уравнение 5555 з — = — 2, 5!А5 служащее обобщением на случай движения совершенного газа при больших скоростях известного уже нам по гл.
Х!! соотношения подобия (227). Согласно (86) можно утверждать, что в любом сечении слоя при о=! и произвольном показателе степени л в законе зависимости вязкости от температуры поле перепадов температур газа, адиабатически и изэнтропически пересчитанных на покоящийся газ, подобно полю скоростей. Разыскание в этом случае профиля скоростей по сечению пограничного слоя, а вместе с тем по (85) и профиля температур, представляет некоторую трудность. Эту трудность надо избежать до проведения численного интегрирования нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, к которому сводится задача. Для составления указанного уравнения исключим ф из совокупности первого уравнения системы (6!) и результата дифференцирования того же уравнения по Ь (й.— ф")'+ рр"=О, (й.-'ф")"+ рр"'+ р'р"=О.
Умножим с этой целью первое из этих уравнений на ф'", второе на ф" н вычтем почленно одно из другого. Получим (й"-'ф")" р" + р р-* — (й"-'ф-) р" =О. Примем во внимание, что безразмерная энтальпия й является, согласно интегралу Крокко (85), известной функцией безразмерной скорости и; кроме того, вспомним, что функция ф(ь) была выбрана из ус- 1 ловия и= — ф'(ь). Полагая и"-'и'=з, перепишем предыдущее уравне- 2 иие в форме 771 4 ыч ламинлгныя погплничныя слоя на пластине интегральные кривые которого совпадают с искомыми интегральными кривыми точного уравнения (87) вблизи особой точки и=1, 3=0. Определение интегральных кривых приближенного уравнения не составляет труда. Имеем (А — постоянная интегрирования) — — — — — ~ — 1 = — 41п(Аз), йи оиз з ои ~ пи / откуда при помощи подстановки — !п(Аз) =г' и использования граничного условия (89) можно получить (ег! — известное уже нам по предыдущему обозначение интеграла ошибок) — — ~ 1И вЂ” ЯТач1 ч —.
2А 2А Задаваясь различными значениями произвольной постоянной интегрирования А, выберем такую интегральную кривую, чтобы, выйдя из особой точки по этой кривой и продолжая ее затем численным методом интегрирования точного уравнения (87), прийти, со!р гласно граничному условию (88), в точку, йп. 43 г где и=О, с(з|г(и=О. Такой метод часто 43 приходится применять при решении краевых задач пограничного слоя. Результаты йг только что описанного расчета при отсутствии теплоотдачи и показателе степени и д в законе зависимости коэффициента вязкости от температуры, равном 0,76, были уже приведены на рис.
292 и в соответствующем месте текста обсуждены. Высокие температуры стенки (при М =10 г более чем в 20 раз превышающие абсо- г' лютную температуру внешнего потока) й объяснялись отсутствием охлаждения по- а верхности пластины. Если, например, потребовать, чтобы за счет сильного охлаждения было Т.= — Т, то расчет приведет к кривым, показанным на рис. 298. Можно заметить, что при этом максимумы температур сместятся с поверхности пластины внутрь пограничного слоя и значительно уменьшатся по сравнению со случаем отсутствия теплоотдачи.
Толщины скоростного и температурного пограничных слоев будут опять совпадать, так как 6=1. При решении задач теории ламинарного пограничного слоя в газе при больших скоростях, в частности в случае пластины (с(р!с(х=О), можно с успехом пользоваться переменными Мизеса или Крокко, описанными в гл. Х1! (9 107). В настоящем общем курсе мы не имеем возможности останавливаться на этом вопросе и отсылаем читателя к ранее цитированным специальным обзорам по теории ламинарного пограничного слоя в газе при больших скоростях или к нашей монографии').
Заметим, что изложенное исследование поведения интегральных кривых уравнения (87) вблизи особой точки проводилось приемом перехода к скорости как независимому переменному, близким к применению переменных Крокко. Рис. 293 ') Лойпа нслий Л. Г. Ламинарный пограничный слой.— Мл Физмаггнз, !962, с. 334 — 346. 772 ГЛ. ХУ. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА 9 145.
Ламинарный пограничный слой на конусе в продольном сверхзвуковом потоке Можно заметить некоторую иналогшо пограничного слоя на продольно обтекаемой пластине и на конусе'). Предположим, что угол полураствора конуса О, соответствует при заданном числе Маха М„в набегаюшем потоке случаю присоединенной к вершине конуса ударной конической волны. За этой волной движение идеального (невязкого) газа будет потенциальным ч «коническим», т. е. все параметры газа должны сохранять постоянные значения вдоль любой конической поверхности, соосной с обтекаемым конусом, имеюшей общую с ним вершину и расположенной между ним и ударной волной. В частности, давление в этом движении идеального газа должно сохраьять постоянное значение на поверхности обтекаемого конуса, а следовательно, по известному свойству пограничного слоя, давление будет постоянным и во всем пограничном слое в вязком газе.
Этот факт сближает движение в пограничном слое на конусе со случаем продольно обтекаемой пластины. Можно показать, что между этими двумя движениями существует простое соответствие. С этой целью сопоставим уравнения пограничного слоя на конусе в сферических координатах д (ри) ! д (ро) 2ри 0 дг г дв (90) и соответствующие им граничные условия (О„)0,— условный угол, представляющий границу слоя) и=О, В=О, И =И (или — =0) при О=Ого дА и — »и„И вЂ” И, при О- О с уравнениями пограничного слоя и граничными условиями на пласти- ') К а г го а п ТЬ, Та ! е и Н 8. Воопдагу !ауег !и согпргеаа!Ые Оыд — )оогп, Аегоп.
Зе!., !938, у. 5. а) Н а и( а а с Ь е тУ., 1У е и д 1 Н (пе !апппаге Сггепг "сыгы ап е!пего пп1 ОЬег. аеьа!!яеасьа!пд!яке!1 апее»1гогп1еп гцсш апяе»1е!Пеп Кеяе! — «аьгьпеЬ !941 пег )Зеп1. аеЬеп Ьп!1(аьгг!огаеьппя, 1 — 77. Как показано в только что цитированных источниках, применение переменных Крокко позволяет снизить порядок системы уравнений (6!), в частности, в случае линейной связи между коэффициентом вязкости и температурой; вместо первого уравнения системы (65), являющегося уравнением третьего порядка, можно получить уравнение второго порядка КК" + 2 г) = О, где К=2т)гйе й/(р (('). а штрихи означают дифференцирование по переменной г)=и('(7 .
Несмотря на внешнюю простоту, уравнение это не может быть разрешено в квадратурах, а требует применения численных методов интегрирования. Г!ервьгй случай применения переменных Мизеса к задаче о ламинарном пограничном слое на пластине в продольном газовом потоке был опубликован Карманом и Ченем ').
$ ||В. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЪ|Й СЛОЙ НА КОНУСЕ 775 а второй— 1 †, -з — 2т, (Ь) ( р>и>г ) ~тмдх > — р на что при равенстве величин и. и и, приводит к высказанному ранее за- 2 ключению. Точно в таких же о|ношениях у3 и — 73 находятся местные з и средние коэффициенты теплоотдачи. К тем же результатам можно прийти с более общей точки зрения, применяя к уравнениям пограничного слоя на продольно обтекаемом конусе преобразование Манглера '), заключающееся в переходе от координат х, у, отсчитываемых вдоль меридианного сечения поверхности тела вращения и по нормали к нему, к координатам х, у в соответствующем плоском пограничном слое по формулам (т,(х) — радиус поперечной кривизны тела вращения) х=~ '(9)д$, у="(х)у.
(10! ) е Все остальные параметры потока сохраняются: и=и, и>=и>, з)г=з(з, (102) Р=р р=р, й=й, р=р, кроме поперечной скорости с, которая преобразуется согласно равенству г (х) о = — + — уи. 3 го (103) (105) ') Ма п 8|с г вг. 2пзапипепьапн ивмсЬеп еЬепеп ппд го1аиопааугпгпе|изсьеп бгепззсысЬ|еп |п Ьоп|ргезыыеп Е)йзз|ехе1(еп — 2еизсЬг. !. апнеяг. Мань и. Месь, 1948, Вд 28, 5. 97. Преобразования (101), (!ОЗ) совпадают с преобразованиями Е.
И. Степанова ($118). Составим уравнения пограничного слоя на теле вращения при продольном его обтекании газом в координатах х и у, причем используем то приближение, о котором шла речь в $ 115 при выводе системы уравнений (165) гл. ХП; тогда получим (для общности в первом уравнении сохранено слагаемое, определяемое перепадом давления) д (гни) + д (гаро) (104) дх ду р(и — +о — )= — — (р — )+р( — ) Введем функцию тока зр(х, у) равенствами | еи = ° га" = р ду р дх удовлетворяющими второму уравнению системы (104). Применяя преобразование (!01), согласно которому — = г'е = + го (х) у = > — = го =, д з д ' д д д (106) дх дх ду ду ду ГЛ. Хх'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
