Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 179
Текст из файла (страница 179)
Имеем ,, дй', дй' р'и' — + р'о' — + (й — 1) М„и' ~ р'и' — + р'о' — ) = дх' ду дх' ду' ) = — — ~(А' — ) +(й — 1) М и' — !!)А' — ) +(й — 1)М р' ~ — ); (48) 1 д т , дй' 4 а ду' 1 ду' ) ду' ! ду' ) ду вместе с тем из первого уравнения системы (41) следует, что ,/,, ди',, ди' 4 1, йр', д /, ди'') дх' ду' ) йМ4 дх' ду' (, ду' / ГЛ. ХЧ. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА 750 При желании можно от энтальпии /з перейти непосредственно к абсолютной температуре Т.
Тогда третье уравнение системы (49) — уравнение баланса тепла — примет вид рс (и — +и — ) =и — ~+1х ( — ) + — д — (р — ) . (50) Совершая в системе уравнений (88) предельный переход Ре„- оз, мы пренебрегли тем обстоятельством, что в уравнении баланса тепла имеются члены порядка М'/Ре„, которые при сравнительно небольших Ре, но, конечно, таких, при которых вообще верна теория пограничного слоя (примерно Ре„!00), и значительных числах М (например, М„)10) уже перестают быть малыми, и откидывание этих членов становится неоправданным.
В связи с этим дадим физическую оценку порядка величины М' / /Ре . Для этого, наряду с ранее введенными характерными размерами тела /. и пограничного слоя б, рассмотрим еще основной молекулярный размер — среднюю длину 1 свободного пробега молекул газа между двумя последовательными их столкновениями. По известной формуле для динамического коэффициента вязкости 1а = — 0,499рр/, где б — средняя скорость свободного пробега молекул, выражающаяся через давление и плотность или скорость звука в виде (я=с,/с,.) получим 1=1,255 у% —. и Составим ') характерное для рассматриваемого явления отношение — = — — = 1,255 1/й — — = 1,255 ~% б б б а1. б и„г. о„б ' При больших значениях числа Рейнольдса Ре„=У„/./ч оправдывается соотношение б// =1/ГРе, так что — =1,255 1/й б Отсюда следует, что интересующая нас величина М /)%е имеет порядок отношения длины свободного пробега молекул газа к толщине пограничного слоя.
Таким образом, можно прийти к заключению, что уравнения пограничного слоя, выведенные в предыдущем параграфе, справедливы, вопервых, при достаточно больших рейнольдсовых числах и, во-вторых, при условии сравнительной милости длины свободного пробега молекулы по отношению к толщине пограничного слоя. Последнее условие означает, что газ не должен быть разреженным.
Если движение газа происходит при малых значениях рейнольдсова '1 Чень Х. Ш. Аэродинамика разреженных газов.— В кнз Газовая динамика.— Мд ИЛ, 1950, с. 310 — 357. э !43 ЛАМННАРНЫВ ПОГРАННЧНЫВ СЛОВ В ГАЗЕ 757 Пользуясь отношением 116 как основным критерием применимости уравнений пограничного слоя, можно приближенно наметить области со- отношения чисел Рейнольдса не и Маха М, для которых при данном й, сравнительно мало меняющемся от газа к газу, должны применяться те или другие методы расчета течений вязкого газа. На заимствованной из цитированной статьи Ченя диаграмме, показанной на рис.
284, нанесены в полулогарифмическом масштабе линии связи между М и Йе при трех задан- гдэзьэ„ ных значениях параметра !16: 0,01; 1; лом~- ' 10. Эти линии, конечно, весьма условно ~Де„' ггзэлэ- разграничивают области применимости 5 различных методов исследования газоМзж ю Магнат вых потоков. ° аиээлпзн Правая крайняя область характеризует совокупность значений йе„ и М , для которой справедливы уравнения Навье — Стокса. При больших рейнольдсовых числах в этой области мож- Рнс. 284 но пользоваться уравнениями пограничного слоя в газе при больших скоростях, если числа М значитель- но отличаются от нуля, и уравнениями пограничного слоя в несжимае- мой жидкости, если числа М мало отличаются от нуля.
Асимптотиче- кий ход ограничивающей рассматриваемую область кривой при очень малых рейнольдсовых числах показывает, что в этих условиях только при совершенно незначительных величинах М, т. е. при очень малых абсолютных скоростях движения, допустимо применение уравнений ги- дродинамики; это соответствует классической области «медленных дви- жений», задаче Стокса о шаре и т. п. Левая крайняя область значений М„ и ке„ относится к сильно раз- реженным газам, когда уже вообще нельзя говорить о газе как о непре- рывной среде. Это — область свободного молекулярного движения газа, описываемого статисгнческими методами кинетической теории газов.
В настоящее время эти методы заняли свое место в расчетах силовых и тепловых воздействий разреженной атмосферы на летящее в ней тело нри очень больших высотах полета (с4)перазродинпмика) *). Наибольшие трудности представляет промежуточная область. До сих пор нельзя еше говорить об установившихся методах расчета дви- жений в пограничных слоях в этой области значений ке„и М„, хотя во- 1увм1Л 112ы1 1!к=Да м гг м 3 г 22 -г -1 Р 1 а З 4 Д Д Г л гуйв„ ') В статье, помещенной в Асйапйй ацз йепз Аегоб.
!пай Аасьеп, !925, № 4, Карман заметил, что рейнольдсово число, как это сразу следует нз кинетических соображеннй, примененных прн выводе предыдущих формул, может быть представлено в визе Яе =((1 1э)(511). малость этой величины может иметь место в следующих случаях 1) й 1, (l «г (броуновское движение мелких частиц, взвешенных в жидкостн нлн газе); 2) !.»1, (! «р (обычные условия «медленного» движения тела в вязной жндкостн); 3) Е«1, (/ В (двнженне тел в сильно разреженных газах). т) Некоторое представление о задачах н методах этого раздела аэродннамнкн можно получить, ознакомясь с содержанием гл.
Х монографии: Х ей з У. Д., П ро бс тн н Р. Ф. Теория гнперзвуковых течений.— Мз ИЛ, 1962. 25- з4ат числа' ), то теряется само представление о пограничном слое. Можно сказать, что пограничный слой становится сравнимым по толщине с потоком в целом (6=1), и тогда, в отличие от только что составленной формулы для отношения 116 при больших рейнольдсовых числах, прн малых значениях Ре будет 1 1 — = — =1,255 )%— М 6 !. йе 758 ГЛ. ХЧ. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА просами этого рода для Общих движений вязкого газа еще во второй половине Х1Х века занимался Максвелл, а в начале нашего века Кнудсен, Милликен и др. Если говорить о той части рассматриваемой промежуточной области, которая граничит с крайней правой областью применимости уравнений Навье — Стокса, то здесь, по-видимому, можно удовольствоваться введением некоторых поправок в обычные методы механики жидкости и газа. Поправки эти идут в двух направлениях.
Во-первых, становится существенным введение дополнительных членов в уравнения Навье — Стокса, выражающих необходимость использования в этих случаях некоторых нелинейных законов, приходящих на смену линейным законам Ньютона, Фурье и Фика. Из кинетических соображений следует, что в рассматриваемой части переходной области, соответствующей слабо разреженным газам, наряду с обычными линейными членами в выражениях компонент тензора вязких напряжений, векторов потока тепла и вещества, должны еще входить нелинейные комбинации производных скоростей по координатам (Д. Барнетт' )).
Отношение этих дополнительных членов к основным, соответствующим линейным законам, имеет как раз порядок величины М' гке или, согласно предыдущему, квадрата отношения 178 — длины свободного пробега к толщине пограничного слоя. Кроме того, и это, быть может, имеет наибольшее принципиальное значение, коренному изменению подлежат граничные условия на поверхности твердого тела как для скоростей, так и для температур. Еше в 1878 г. Кундт и Варбург, проводя опыты над колеблющимся в разреженном газе диском, обратнлн внимание на уменьшение амплитуд затухания при снижении давления в окружающем газе. Этот факт, не укладывающийся в законы динамики ньютоновской вязкой жидкости, смог быть объяснен только при помощи отказа от основного свойства вязких газов вообще — «прнлипания» частиц газа к твердой стенке.
Было выдвинуто предположение о наличии «скольжения» разреженного газа по поверхности диска, причем в случае изотермического движения газа скорость и этого «скольжения» была принята равной ди им=Т вЂ”. ак ' Входящий сюда коэффициент Т получил наименование коэффициента скольжения газа. Кундт и Варбург на основании своих опытов показали, что коэффициент скольжения, имеющий, очевидно, размерность длины, пропорционален длине свободного пробега молекул и даже близок к ней по своей численной величине; этот коэффициент обратно пропорционален абсолютному давлению в газе.
Теория «коэффициента скольжения» была, дана в 1879 г. Максвеллом '), предложившим формулу у = 0,998 — 1, в которой величина ) выражает долю касательного к поверхности тела количества движения молекул, теряющегося при ударе молекул о поверхность тела. Эта доля близка к единице. Молекулы газа при встрече с твердым телом попадают на сложную по молекулярной структуре «щероховатую» поверхность тела. При этом ') В а г пе11 В Тке гнз)г!Ьп!!оп о1 гпо1есп1аг че!ос1!!ез апг) 15е гпеап гпо)гоп гп а поп-ппцопп яаз — Ргос. 1опг!оп Ма!пепз. Вос., 1935, ч. 40, р 382 — 435 См, также Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоинороинык газов: Пер, с англ.— Мл ИЛ, 1980.
е ) М а к ге е1! С вЂ” РЫ1оз. Тгапз о1 15е коу. Вос, о1 1опбоп, !879, ч. !70, р. 23!— 255 З !44. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ НА ПЛАСТИНЕ 769 только небольшая часть молекул непосредственно отражается от поверхности тела, а подавляющее число молекул «застревает», абсорбируется поверхностью и лишь затем диффузно, т.
е. независимо от направления падения на поверхность, испускается, реэмисснрует. Как показывают опыты, коэффициент 7' имеет близкие к единице значения при течении воздуха над твердой металлической поверхностью или над ртутью и несколько отличается от единицы при течении над стеклом или маслом. При неизотермическом движении разреженного газа граничные условия для скорости усложняются.
Кроме того, возникает необходимость изменения еще граничного условия для температуры на стенке. Подобно скорости, температура вблизи поверхности тела также претерпевает скачок, пропорциональный длине 1 пути свободного пробега молекулы, а именно Т Т =1,996 —" — — 1— а я+1 рс ду здесь а — коэффициент «аккомодации», введенный Кнудсеном и выражающий долю той части молекул, которые после соприкосновения с поверхностью при реэмиссии их приобретают среднюю энергию, аккомодированную (приспособленную) к энергии молекул, имеющих температуру поверхности тела Т;1 й=с,(с„, )с — коэффициент теплопроводности газа.
Таблицу коэффициентов аккомодации а, так же как и коэффициентов скольжения 7, можно найти в цитированной статье Ченя и в специальных руководствах по кинетической теории газов. Применение уравнений движения разреженных газов (уравнений Бариетта) к расчету конкретных потоков, в частности к пограничному слою, представляет пока еще непреодолимые трудности. В работах этого нового направления физической механики газа продолжают пользоваться уравнениями Навье — Стокса, но в качестве граничных условий принимают в том или другом виде условия скольжения и аккомодации. В настоящее время имеются специальные руководства по динамике разреженного газа '). 9 144.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
