Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 178
Текст из файла (страница 178)
Йе )г„ Тогда получим окончательно следующую систему безразмерных уравнений стационарного движения вязкого газа: + —,', ~р (ф+ —,"')1+ —,', ~р ( — ',"; + —,",'Я вЂ” -', —,', (р б)'У)~, ,/, дь', дм, де' дх' ду' дг' (33) , дв', дм', до' ! ! др' дх' ду' дг' АМ' дг' + ~ 1р ( + )1+ [и ( + )]+ д /,дм'! 2 д + 2 — (р' — ) — — — (р' б)у' У') ), дг' дг' 3 дг' 750 ГЛ ХЧ ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА д(рчк) + д(и'ы) д()ям') дх' ду' дг' б (и' ((Ю' ( 6' + -" — — ' М' 'Е" 1 — ' р' огай' ~ —" + (й — 1) М'. Р'~— — М р' ( го('У')с$" — — $" с(пв Ь™)) =О, Йе 3 Р =йР )А =((и) ° К этой системе уравнений присоединяются безразмерные граничные условия, о которых было в общих чертах сказано раньше. Для рассматриваемого случая обгекания зета эти граничные условия приведутся к заданию в безразмерном виде уравнения поверхности, равенства нулю на ней величины скорости, заданию распределения безразмерной температуры нлн нормальной ее производной, а также безразмерных значений скорости, давления и температуры на бесконечности, равных при раисе выбранных масштабах единицам.
Безразмерная система уравнений и граничных условий движения вязкого газа представляет некоторый самостоятельный интерес, так как позволяет изучать не только отдельное единичное движение, но одновременно весь класс движений, отличающихся от данного масштабами линейных размеров тел, скоростей, температур и т. д. Вместе с тем безразмерная система уравнсннй позволяет установить необходимгяе условия подооия двух движений газа.
Предположим, например, что рас. сматриваюзся два геометрически, кинематическн и динамически подобных сгационарных обгекання вязким газом тела нлн системы тел, причем влиянием объемных снл можно пренебречь. 1раницы оотекаемых тел в обоих движениях должны бьггь геометрически подобны и подобно расположены по отношению к набегающим потокам, что входит в определение геометрического подобия, представляющего часть условий общего подобия явлений. При наличии геометрического подобия безразмерные (т. е.
отнесенные к масштабам длин в сравниваемых потоках) координаты в сходственных точках будут выражаться одинаковыми отвлеченными числами. Безразмерные граничные условия будут также одинаковы; одннаковымн окажу)ся и безразмерные величины скоростей, давлений, температур в сходственных точках потока, представляющие решения безразмерной сис~емы уравнений (33).
Следовательно, одинаковы должны быть и саян безразмерные системы уравнений. Как видно из структуры системы (33), при этом в двух подобных системах должны иметь одно и то же значение величины: йе„, М, я но; если задана температура на поверхности обтекаемого тела, то нз безразмерных граничных условий для температуры будег еще вытеказь одинаковость отношения размерных температур на стенке в каких-нибудь сходственных точках к температуре па бесконечности. Э1о озношение Т.(Т температуры на стенке обтекаемого тела Т к температуре набегающего потока Т называют температурным фактором. Отсюда следует прямая теорема подобия: если два стационарных движения однородного (недиссоциированного п неионизованного) вязкого газа при отсугсгвии объемных сил и лучеиспускания подобнымежду собой, го соогввтсгвуюи(пв этим движениям числа Йе, М, Я, о и Т,(Т одинаковгя для обоих рассматриваемых движений.
Естественно, возникает вопрос об установлении достаточных условий, т. е, условий, обеспечивающих подобие двух гидроаэродинамических явлений. Однако решение этого вопроса упирается в необходимость строгого доказа. тельства теоремы о существовании и единственности решений уравнений. 5 НЗ ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОН В ГАЗЕ 751 В более общем случае наличия объемных сил, например сил веса, пришлось бы еще вводить число Фруда, а при нестационарности движения — число Струхала. В вопросах динамики вязкого газа наряду с теорией подобия с успехом применяется и теория размерностей во всех тех ее направлениях, о которых говорилось в $ 88, 1О1.
Прн этом, конечно, надо иметь в виду расширение числа параметров, определяющих движение среды. й 143. Ламинарный пограничный слой при движении газа с большими скоростями Для вывода основных уравнений ламинарного движения вязкого газа в пограничном слое применим прием, ничем по существу не отличающийся от ранее уже использованного для несжимаемой жидкости. Удовольствуемся рассмотрением плоского стационарного движения при отсутствии объемных сил. Уравнения динамики (20) и баланса тепла (27) в этом случае приводятся к виду риа +р а а+за("а) зах~ра)+а("а) а (" х)' (34) дх ду — ~ри (л + — + — ) — р — ( — + — — + — ) — ро — + — ри — 1 + Р А — 1 — = — й р А > —,", =~© Перейдем к безразмерной форме этих уравнений, выражая все величины в характерных масштабах, но, в отличие от предыдущего, примем заранее во внимание различие в пограничном слое масштабов продольных и поперечных координат н скоростей.
Поэтому сохраним для х и и масштабы: Ь (какой-то характерный для обтекаемого тела размер, например хорда крыла) и (7 (скорость набегающего потока), а для у и о примем свои, пока еще не определенные масштабы У и К Сохраняя остальные обозначения, как в $ 142, и вынося масштабы, будем иметь, используя, как н ранее, штрихи для обозначения безразмерных величин: дх' 1х ду' Ь дх' 3 Ьз дх' (, дх' Р~~~ у,, дх' Р "",, д~' Р до' и~17~ д /, д»' 1 — р'и' — + — р'о' — + , ~р' —,1+ дх' 1х ду' У ду' Ь1х дх' (, ду' ) ГЛ.
ХЧ ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА ?52 Р„и„а(ри) Р„У д(ри) + —" — О, дх' У ду' дх''1и 3 2 2, У ду' з у ду'! У ду' ~ 1 2 2/ У ду' ~ и 2 3 2) 1. дх' 2 Р,и 1' ,, ди' 1 3 дх' .1 Разделим обе части первых трех уравнений на постоянные комплексы масштабов, стоящие при первых членах слева в этих уравнениях, а обе части четвертого уравнения на р с( й /х.. Тогда, принимая во внимание выражения безразмерных комплексов масштабов через числа М, ке„и й, уже ранее примененные в $ !42, получим такую систему безразмерных уравнений: , ди' ЬУ,, йх' 1 (.и др' ! (-и д (, ди' д (р'и') 1.У д(р'и') — + — =О, дх' Уи„ау (36) '1 (р'и' ~ГГ' + (А — 1) М„~ — + ~,~ — "~ ) ~— ,О 1 5У Г,,ди' 2,, дм1 Ке Уи ~ ду' 3 ду' ) 1.
д (У,,~й, ~х(их ~~' и'~1 1 1, д ГЬ' l и'х 4 У' и'х 1 Яе У ду' (а " '1 2 з и'„2 ) 1 яе и (, дх' 3 дх' Р'=Р'ГГ', 11'=)(й'). 4 143 лАминАРнып поГРАничныя слои В ГАзе тзз Используя полученные выражения У и У, приведем предыдущую систе- му уравнений к виду дх' ди' ! др' 4 ! д /, ди' ду' АМ' дх' 3 ае дх' (, дх' ди' ! др' д /, ди' ду' АМЗ ду' дх' ~ ду' Р'и' — + Р'Р' дх' д (Р'и') д (Рчи) — + =О, дх' ду' (38) д (р'и' ~/5'+ (Л вЂ” «М'„( — и+ — ' — "1|в ! яе ду' 3 ду' / + — ~Р'Р' ~/2' + (/2 — !) М'„( — + — — )~— ! ае д З д ) Р'=Р'К и'=1(ь'). Перейдем в этой системе к пределу при Ре — ие или, что все равно, откинем в ней величины первого и высших порядков относительно малой величины 1/Ре . Это даст , ди',, ди' ! др' д /, ди' дх' ду' АМ" дх' ду' 1 ду' (39) др' О д (Р'и') д (Р'и ) О ду' ' дх' ду' % 25 — 5457 Пользуясь произволом в выборе масштабов У и У, подчиним их условию, чтобы безразмерные поперечные координаты и скорости, так же как и составленные с их помошью производные от скоростей по координатам, были нулевого порядка по отношению к изменению рейнольдсова числа, т.
е. стремились к конечным величинам при Ре -+.оо. Это приводит к двум условиям, которые, если включить в определение масштабов У и У не зависящие от Ре коэффициенты пропорциональности, могут быть записаны в виде /У ! // А2 и„ вЂ” =1, — ~ — ~ =1 или У= —, У= " . (37) У(/ ' яе ~ У )/яе ' )/ае ГЛ. ХЧ. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА — [р'и' (Ь'+ — М и"Д+ — [р'о'(Ь'+ М'„и'Д = = — [р' — ( — + М и")~, р'=р'Ь' )х'=1(Ь'). р'и' — (Ь'+ М' и') + р'о' — (Ь'+ — М' и'А) . (40) Таким образом, получим следующую первую основную форму безразмерных уравнений плоского стационарного ламинарного пограничного слоя в вязком газе при больших скоростях: ,ди',, ди' ! йр' д /,ди'! дх' ду' АМ' дх' ду' (, ду' / ' д (р'и') д (р'ь') дх' ду' (41) р и — '(Ь + ' ' М'„и")+ р о — д (Ь + ' ' М'„и") = — [ (Ь' '-" Л'( ') ( ) р'=р'Ь', )х'=1(Ь').
Введем в рассмотрение величину знтальпии адиабатически и иззнтропически заторможенного газа, илн полную энгальпию газа ЬВ=Ь+ (42) 2 В случае вязкого газа величина Ь, уже не будет постоянной, как в идеальном газе, а представит некоторую неизвестную функцию координат. Относя ее к знтальпии набегающего потока Ь, получим А, А из А ()' их А„ А„ 2А„ А„ га„ и'„ ' Принимая во внимание, что Ь„=а'/(Ь вЂ” 1), найдем 2 (43) Первой основной форме системы безразмерных уравнений погра- ничного слоя (41) можно, следовательно, придать вид , ди',, ди' ! йр' д Г, ди' ') дх' ду' АМ' дх' ду' 1 ду' / ' д (р'и') д (р'ь') дх' ду' (44) даь даь д /, да '! ! д да ркию 6 1 рр 0 рг ь +( ]) (рг ) Р = Р Ь (А' =1(Ь ) Заметим, что в силу второго равенства можно произвести замену др'/дх'=с(р'/с(х'! кроме того, пользуясь третьим равенством (уравнением неразрывности), перепишем левую часть четвертого равенства (уравнения баланса тепла) в виде З!43.
ЛАМННАРНЫЙ ПОГРАННЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗЕ 755 Предыдущее равенство переходит при этом в такое; , дй',, дй' й — 1, йр' р'и' — + р'о' — =: и' — +(й — 1) М 9'( — ) + — — ~)А' —,) . дх' ду' й 4(х' (, ду') а ду' ~ ду' (46) Имеем, таким образом, вторую основную форму системы безразмерных уравнений плоского стационарного ламинарного пограничного слоя в вязком газе, движущемся с большими скоростями: , ди' ,, ди' 1 4(р' д / , ди' т д (р'и') д (р'о') дх' ду' АМ' дх' ду' (, ду' ) дх' ду' (47) , дй',, дй' й — 1, йр' , / ди' !х ! д т , дй' т р'и' — + р'о' — =:и' — +(й — 1)М )4'( — ) + — — ~)х' — ), дх' ду' й йх' (~ду' ) а ду' ~ ду') р' =Пй').
Третье уравнение этой системы выражает в явной форме баланс между безразмерными конвективным изменением энтальпип (левая часть уравнения), мощностью сил давления (первый член справа), теплом, возникшим за счет диссипации механической энергии (второй член справа), и теплом, отводимым путем теплопроводности (третий член справа). Нетрудно теперь вернуться и к размсрнои форме тех же уравнений. Вспоминая выбранные в начале параграфа масштабы, получим системы уравнений в размерных величинах. Первой основной форл4ой уравнений будет ди ди йр д / ди 4 д (ри) д (ри) ри — + ро — = — — + — ()А — ), ' + =О, дх ду дх ду (, ду) дх ду (48) Вторая основная форма представится в виде ди ди йр д / ди'4 д(ри) ри — +ро — = — — + — (р — ), — + дх ду 4!х ду (, ду) дх дй дй йр /дити ! д I ри — +ро — =и — + р ( — ) + — — ()А дх ду йх ' 1,ду) а ду (, й — 1 р ( й ) д (ри) ду дй) (49) Вторую основную форму безразмерных уравнений пограничного слоя получим из системы (41) путем простых преобразований третьего уравнения этой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
