Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 180
Текст из файла (страница 180)
Ламннарный пограничный слой иа пластине, продольно обтекаемой газом с большими скоростями Для исследования ламинарного пограничного слоя, образующегося на пластине при продольном ее обтекании вязким газом с большими скоростями, применим вторую основную форму (47) уравнений в безразмерных величинах. Примем во внимание, что в этом случае с(р'/44лх= =О, р'=сопз1=1; будем пользоваться степенньгм законом вязкости. Задача сводится к интегрированию системы уравнений , ди',, ди' д /, дп' 'т д(р'и') д(р'о') + — =О, дх' ду' ду' ~ ду' ) дх' ду' р'и' — +р'и' — =(й — 1)М )4'( —,) + — —,()х' —,), (51) , дй',, дй' дх' ду' !,ду') о ду' (, ду') 1 11 л й' А.
А. Дородницын ') указал общее преобразование координат, придающее уравнениям пограничного слоя в газе форму, близкую к уравнениям пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Преобразование ') Каган М. Н. Динамика разреженного газа.— Мх Наука, !967; Шидлов. с к и й В, П. Введение в динамику разреженных газов.— Мх Наука, 1966. ') Дород нииын А.
А. Пограничный слой в сжимаемом газа.— Принл. мат. а мех., 1942, т. 6, выл. 6. 25' 760 Гл. хтг. динАмикА ВязкОГО ГАЗА это определяется системой равенств к — т(х т! — т(у / Ро,1 Рт (52) где р, и р, — давление и плотность в адиабатически и изэнтропически заторможенном внешнем потоке. Используя в случае пластины (р=р„) вместо р, и р, величины р„ и р„, будем иметь (штрих — знак безразмерной величины) у' $' = х', т!' = ) р' т(у'. 0 С целью упрощения вида последующих формул откинем временно штрих в обозначении безразмерных величин; возвращение к размерным величинам будет в соответствующих местах оговорено.
Формулы перехода от дифференцирования по х, у к дифференцированию по $, Ч будут д д дт! д д д + ! =Р дх дт дх дп ду дч так как р и т! являются функциями не только у, но и х. Первое равенство системы (51) преобразуется к виду ди дч ди ди д / ди т ри — + ри — — + ро р — = р — ~ /хр — ) д$ дх дт! дт! дт! ~ дт! ) (54) (58) и после сокращения на р и принятия в расчет последних двух равенств системы (51) дает (55) Из второго равенства той же системы (уравнения неразрывности) вытекает наличие функции тока тр, причем дф дтз дтпл дту дт! дт1т рту дт! ри= — =р —, ро — — — — — — — — — — — —— и.
ду дн дх д$ дх дт! д$ дх Отсюда можно заключить о справедливости соотношений и= —, и — +ро= — —. дтг дп дтг дт! дх й$ Сравнивая с уравнением (55), видим, что если ввести обозначение и — + !то= о, (57) дх то уравнения (55) и (56) приведутся к виду ди — ди д т' х-т ди т дтг — дтг ди ди и — +о — = — ~й ' — ), и= —, о= — —, — + — =О. (58) д$ дп дп дп ) дп д$ д$ дп Аналогичному преобразованию подвергнем и третье уравнение системы (51) — уравнение баланса тепла; будем иметь дЛ дт! дЛ дЛ 1 д / дЛ~ , гди тт ри — + ри — — + ро р — = — р — !1ир — ) + (й — 1) М рр' ! — ) д5 дх дт! дт! о дт! 'т дп ) 1дч ) или, сокращая обе части на р, используя обозначение (57) и последние два соотношения в сисгеме (5!), д$ дт! Рдп ( дт!/ 1дт! / $ !Оо ЛАМИНАРНЫП ПОГРАНИЧНЫИ СЛОП НА ПЛАСТИНЕ 764 Как и в задаче о пограничном слое на пластине в потоке несжимаемой жидкости будем искать выражение для продольной скорости и($,т!) н энтальпии й(", т!) в функции от одного аргумента Ь, равного 1= ч 2 1' $ (60) Тогда, согласно второму равенству системы (58), получим и чло «Ъ ф=~и( " )йт1=2 уй ~ и ( ч )й( ч )=2 Д~и(ь) о О О Введем для краткости обозначение 2 ~и(ь)йь = тр(ь); о тогда будем иметь следующие выражения функции тока тр, скоростей и и Р, а также производных по Ь (обозначаемых в дальнейшем штрихом) от скорости и и энтальпии й ! (ьр' — ч), 2т'$ — =- р"'(ь), дт!о 8$ ! и = — чт' (ь), 2 ф= ттетр(ь) ди ! „ ди ! — = — — ~ч'(~).
— = — р (1) д$4$ дч 4 уоо дд !, да 1 — = — — ьй', — = — й'. д$ 25 дт! 2 г'е Подставляя эти выражения в первое из уравнений (58) и в уравнение (59), получим систему следующих двух обыкновенных дифференциальных уравнений, служащих для определения неизвестных функций ори й: (й" ' р")' + тгтз" = О, (61) (й" 'й')'+ — (й — 1) М"„й" 'тр"'+ о!рй' = О.
Отметим, что задача о ламинарном пограничном слое на пластине, продольно обтекаемой однородным газом, является, так же как и в случае несжимаемой жидкости, авгомодельной, что выражается в возможности использования в качестве единственной независимой переменной ь по (60). Граничные условия для ор будут те же, что и в случае несжимаемой жидкости: чт=О, тр' =0 при ь=О, (62) тр' =2 при ~= со. (63) й=1 при ~=Пи. Граничные условия для энтальпии й могут быть разнообразны. Если задана постоянная вдоль всей пластины безразмерная (отнесенная к Т ) температура Т„о то граничные условия в безразмерной форме будут й=й приь=О, 762 ГЛ. ХЧ. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА Если на пластине отсутствует теплоотдача, то граничные условия для энтальпии сведутся к следующим: [Га — =0 при [,=О, (64) Ь = 1 при й = ьь.
Интегрирование уравнений (61) в общем случае требует применения численных методов. Рассмотрим простейший случай, когда связь между коэффициентом вязкости и температурой линейна (п=1). В этом случае вместо (61) получим систему уравнений [р +[рч[ =О. (65) й" +о[рй'+ о (й — 1)М" »р"*=О. 4 Первое из этих уравнений, разрешаемое при граничных условиях (62), формально ничем не отличается от соответствующего уравнения задачи о погранично»и слое на пластине в несжимаемой жидкости.
Интегрируя второе уравнение системы (65), найдем й(ь) в форме » й(~) = — '(й — !) М' 6(1) — — ( ([р" (~))'д~+ С„ 8 8,! (66) где введено обозначение (68) Обозначим через Л, и Т, значения энтальпии и температуры пластины в условиях отсутствия теплоотдачи (64). В этом случае пластина может играть роль измерителя температуры потока — пластинчатого термометра.
Дифференцируя (66) и замечая, что по (67) будет 0'(0) О, найдем С=О, т. е. по (68) при й =»[[ получим пГ = 1 + — (я — 1) М-(т (0)» 8 (69) илн, переходя к размерным температурам, т, = т„~ !+ — '6(О) (й — !) М*„~, 8 (70) где, согласно (67), » 6 (О) = 2о ~ ([р" С)1'д~ ~ ([р" (~'))' [4Г (71) » »([[=2 1 [»' [[[['»[ [ [»' (['[[' (67) о а постоянные интегрирования С и С, должны быть определены из граничных условий (63) нли (64).
Полагая ь=оо, найдем значение постоянной С,=1; полагая ~=0, получим [по (63) ) ! - Ь + - (Е- 1) !Ч)»„О (О) С— 8)'ч'( 1 о 5 !44. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЯ СЛОИ НА ПЛАСТИНЕ Постоянную С в общем случае наличия теплоотдачи с поверхности ластины можно представить, согласно (68) и (69), в следующем виде: С= (72) 1 с в ,1 [~ [~)1 о Проанализируем полученные результаты.
Прежде всего, легко убедиться, что при М„О соотношения (66) и (72) в переменной ь совпадут с ранее выведенной формулой (226) гл. Х[1 для несжимаемой жидкости в переменной т[; полученное таким путем равенство ~ [ч (1)1'е1 1о о Т вЂ” т„ 1 [чо" (ьи'4[ь о дает распределение температур в пограничном слое на пластине, обтекаемой несжимаемой жидкостью при учете линейного закона связи между коэффициентом вязкости и температурой.
Возвращаясь к случаю газа, движущегося с большими скоростями, когда влиянием сжимаемости (числа М„) пренебрегать нельзя, будем предполагать, что функция 0(ь) уже затабулирована для различных о. Для дальнейшего особенно важно знать величины 0(0); приводим их значения при нескольких о (для газа не превышающих единицу): а = 0,6; 0,8; 1,0; Ь(0)=3,08; 3,68; 4,00. Обращаясь к формуле (70), видим, что она для случая п=1 представляет решение задачи об измерении температуры газового потока Т=Т„при помощи непосредственного замера температуры Т=Т =Т, поверхности продольно обтекаемой этим газом пластины, при условии, что тепло от пластины не отводится (нет теплоотвода через державку н проволочки измерительной термопары).
Как наглядно показывает формула (70), такой пластинчатый термометр будет вместо температуры потока Т показывать тем ббльшую температуру Т„чем больше число М„, что и естественно, так как пластина тормозит поток и вследствие диссипации механической энергии потока в тепло должна дополнительно нагреваться; это торможение связано с повышением энтропии. Однако, как это сразу следует из формулы (70), при а=! и 0(0) =4 термометр будет показывать температуру адиабатического и изэнтропического торможения (Т,~,,=Т„(1+ ' ' М'„) =Т;, 2 при значениях а 1 это уже не так, и Т,(Т,. Формула (70) может служить для вычисления поправок на показания пластинчатого термометра в газе с заданным числом о, отличным 1 от единицы. Величину — 0(0) называют коэффициентом восстановления. 4 Коэффициент восстановления в широком диапазоне изменения величины (к — 1)М' представляет собой функцию а, мало отличающуюся от уо, как в этом нетрудно убедиться непосредственной проверкой по приведенной только что таблице значений 0(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
