Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 184
Текст из файла (страница 184)
ди т«е д$ дт) (147) Наконец, преобразуем аналогичным образом третье уравнение системы (138) — уравнение баланса энергии. Введем вместо полной энтальпии «, ее безразмерную величину «о о ! — =Х+а». «ео «ео 2«ео (148) придем к следующему выражению для первого (динамического) уравнения: ди -ди Х д Г ди1 и — + 0 — = ИеИе + тео ~Ь(Х) — 1, д$ дЧ Х дЧ !. дЧ .! ГЛ.
Хе. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА Применяя к третьему уравнению системы (138) преобразование (142), получим Ре дд Г дп ро тдд ри — — +р ~и — + — ~ — = Рее д$ ~ д» Ре ~ дп после чего, разделив обе части на рр,/р„, окончательно установим следующий вид уравнения баланса энергии в переменных Дородницына: и — +о — = — ' — ~Ь(Х) — ~ — ~ — — 11т„— ~Ь(Х) — ~ . (149) дд дд тее д Г дд1 Г! ~ д Г д(ае)1 д$ дч о дч ь дч з 1о ) дч ~ дч 1 Совокупность уравнений (144), (147), (149) и граничных условий и=о=О при т)=О, и = ие ($) пРи т1 = оо, дд дч — = О при 9 = О (если поверхность тела теплоизолирована) е б =б ($) при т) =О (если температура поверхности задана), 6=1 прн т1=оо представляет собой искомую постановку задачи о плоском ламинарном пограничном слое на крыловом профиле в газовом потоке больших скоростей прн заданном распределении давления на внешней границе пограничного слоя.
Рассматривая полученные уравнения, можно заметить, что левые части первых трех основных уравнений задачи, составленных в переменных Дородницына, совпадают с соответствующими уравнениями плоского ламинарного пограничного слоя в потоке неГе Бдд А сжимаемой жидкости. Однако правые части этих уравнений содержат явное влияние Бд Г "Здд сжимаемости через величины Х/Х, и Ь (Х). При использовании зависимости коэффициента вязкости от температуры (энтальпни) в форме Чепмена — Рубезина (15) будем иметь Ь(Х)=1. Действительно, по (15) СА Рео Саее Э > 1ее Ае 1ее Ае так что Б(Х) Бю =а(Х) =ХЬ(Х) = — =Х. рее Аее В только что цитированной работе А. А.
Дородницына наряду с приближенной формулой (15) принимается другая, также близкая к формуле Саттерлэнда, но уже нелинейная формула, отвечающая значению функции Ь(Х) Ь(Х) =1+9,З(1 — Х). Соответствующая этому закону на графике (рис. 296) штриховая прямая располагается между кривыми Саттерлэнда для Т,=ЗЗО К и Т,=666 К, показанными сплошными линиями.
% ие. лАминАРный пОГРАничныи слои пРН БОльших скОРОстях 765 (150) (и,бе)' = — Ь (Х ) 17 О ~ в ~дп /ч-е где приняты следующие обозначения: 6 =~~1 — — ") дц, б-=~ — "(1 — ")дц, е е (151) бе = 1 — (1 — О)с(т), ие е бе Не= бее 6 е = ~ (1 — 6) е(Ч, е Н=— 6 * При условии тепловой изоляции поверхности тела (дб/дт)=0 при 71 =0) второе интегральное соотношение сводится к уравнению (и,бе) =0; интегрируя и имея в виду условие в лобовой критической-точке и,=О, заключим, что вообще в этом случае будет бе =О. Предположим теперь, в отличие от ранее принятого допущения, ограничивающего рассуждение небольшими значениями М„и М„что профили скоростей и температур в сечениях пограничного слоя могут быть представлены выражениями ие (152) где роль параметров играют следующие величины: 1) формпараметр и б' 1= — ' ч,еХ (153) аналогичный рассмотренному в начале этого параграфа; При наличии такого рода связи между 1А и Т, для значения о=14/19, справедливого для двухатомных газов, и в предположении об отсутствии теплоотдачи А.
А. Дородницыным было проведено численным методом определение неизвестных функций и и О для трех случаев задания и,(5): !) параболического распределения и,Д) =сД+сД', 2) для продольного обтекания пластины и,=сопз1; 3) односкатного профиля и, Д) = Ь,— ЬД. Пользуясь этими классами решений последовательно для конфузорного участка пограничного слоя, для области минимума давления и диффу- зориого участка слоя, А. А. Дородницын построил приближенное одно- параметрическое решение рассматриваемой задачи, которое является обобщением решения, изложенного в начале параграфа для случая огра- ниченных значений числа Маха набегающего потока.
Составим два основных интегральных соотношения (штрих — про- изводная по 5) 6"'+ ' (2 — а'+Н вЂ” Не)6"= — "Ь(А' ) ( — 1 "е(~ ае) гл, хч. динамики вязкого глзх 786 2) местное число Маха М„ связанное с а, соотношением а — 1 — М' Г сси = е 1+ — М' е (154) 3) число Прандтля о. Тогда, подставляя выражения (152) в интегральные выражения (15!) и первое нз интегральных соотношений (!50), придем для определения формпараметра ! к тем же уравнениям (134) и (135), что и в предыдущем простейшем случае.
Разница будет лишь в выражении функции тс, которая уже будет зависеть от параметров а„о и примет форму тс(!'; сс., о) =2~ — 2!'(2+Н вЂ” Н*); (!55) при этом приведенный коэффициент трения ь также будет другим, а именно ~= — д(Х.) ~ — ') (156) Как показали расчеты, в интервале изменения М, от нуля до 2,378 и при о=14/!9=0,74, что близко к значению числа Прандтля для воздуха, вид функции Г(!"; сс„о) слабо зависит от а,. Это подтверждает -дл' У ддд йг -йя у дат дт 1 Рис. 297 Рис.
298 сделанное в начале параграфа упрощающее допущение о независимости с от М, при не слишком больших числах Маха и позволяет вновь воспользоваться линейным представлением функции Р(1) и получить значение !(х) в форме (137) при тех же зназьениях констант а и Ь, Точно так мсе и ь(1; а„о) при о=14/19 слабо зависит от а, и может определяться по обычному графику или таблице, как для несжимаемой жидкости. Напряжение трения т, согласно определению ь (156), выразится как Таким образом, при числе М, доходящем примерно до значения 2,4, динамические величины рассчитываются просто. На рис. 297 и 298 при- т =р ! — ) = —,.
ь())(1 — О Г ди 1 РеРе и ь-1 (157) 1,ду)„с б" причем Ьии вычисляется заранее по известному уже !'(х) и формуле (!53), переписанной для переменной х в виде йс-1 2Ди У (158) а 147. пРеОБРА30ВАние УРАВнении лАмннАРноГО пОГРАничнОГО слОЯ 787 водЯтсЯ зависимости т =Т„)Т„Н Не от ) пРи Различных аа в пРеделах от 0,1 до 0,6. Как видно из приведенных графиков, влияние параметра М, на эти величины существенно.
9 147. Преобразование уравнений ламинарного пограничного слоя в газе к форме уравнений для несжимаемой жидкости Несколько модифицируя преобразование Дородницына, можно прв некоторых ограничительных условиях привести первое (динамическое) уравнение системы (138) к точноагу совпадению с соответствующим уравнением для несжимаемой жидкости '). Рассмотрим сначала случай О=1, п=1 и отсутствия теплоотдачи (теплоизолированная поверхность).
Обозначим через а скорость звука и заменим для краткости индексом 1 предыдущий индекс е0, отвечающий адиабатически и изэнтропически заторможенному значению величины на внешней границе пограничного слон. Тогда по известным формулам (гл. Хт) будет 1 х, — ' ( — ') =((-(- — м,') =(((- — — ' . ((59( 1 где под символом 1), понимается величина а, сг)е = — ' иг. ае (160) Кроме того, по тем же формулам найдем 1 Произведем в первых двух уравнениях системы (138) преобразование координат и скоростей, предложенное К.
Стюартсоном: Х У 1 Ре ае Х = 3! — — ((х )' = — ~ — (1у, 1) = — 'и, ч' = — 'о, (162) Р, а, (161) 2 па Х 2 а* г 1 (164) 2а~ Ке 2 а 1 2аг Хе ') 81е чч а г1 а о и К. Согге!а1е(! 1псогпргеаМЫе а(М согпргеаМЫе Ьопп()агу 1ауега — Ргос. 11оу. 8ос., 1949, ч, А200, р. 84 — 100. где выражение У приводится ниже (167). При помощи равенств (!59) и (161) преобразование (162) может быть переписано в виде с еа-1 Й+1 У Х=~Х',"" с(х, г'=Хи" и 1 Р с(у, ()=Х,ми, )г=у,хо. (163) Ре е о При принятых ограничительных условиях третье уравнение системы (138) — уравнение баланса энергии — может быть заменено своим очевидным интегралом который при принятых обозначениях запишется в виде т, А !а,' 1+ 11),* А-11)а 1 а-1 1)* 788 гл.
хч. динймикй вязкого гйзй Формулы преобразования к новым переменным будут зй-з й+1 дх дХ дх д1е д» р, д!е (165) Заметим, что из равенств й р РТ Ре»й-з — Хе р, р,т, р, следует й — = Хс ИР ь-з !ззрз В силу (165) и полученного только что соотношения перепишем первое равенство системы (138) сначала в форме зй-з й+1 дХ ~ дх р,!А зй-з ей+1 =Р Хе ис — + — Х з!й-з! "»е Р й-з !ззрз дз» НХ р, р д!ез ' зй-1 а затем, разделив обе части на Х~~" р, еще так: д» д» Рс е!»е И дз» и — + и — = — и, — + Х, тз —, дХ д7' р дХ д7ез (166) где введенная ранее величина 6 определяется выражением зй-1 й+з з<й-и ~ д1' + р» з! о 1 дх р (1бе) Теперь используем преобразование компонент скорости. Будем иметь, согласно второй строке (163), вместо (166) уми — '(Хни) + Х.Ч'— "= — Т Хми, — "(Хии,)+ Х,т,~'~ дХ дУ Т НХ е д!ез найдем следующие два представления для выражения, стоящего во вто- рой круглой скобке в первом члене правой части (168): !) Х.и,и, '+ — 'х,'й,= х,и,и.' — й !ФУУ, '= =х,и,и,' ~ — — — —,~ - х,и,и,'; ~х, 2 а) Произведя дифференцирование и воспользовавшись (164), получим (штрих — производная по Х) Х (и — +1' — )+ — Х'из= дУ дУз ! дХ д!е) 2 = ~ — — = — ~ ('ъ.и,и, '+ — х,'и,) + х,, —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
