Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 181
Текст из файла (страница 181)
гл. ху. динамика вязкого глзл откуда следует Но по (66) (дй) = С [Ф" (0)[о; дь С 8 кроме того, в случае пластины (р=р ) по формуле Клапейрона будет р т р„т Используя выражение (72) для С, в размерных величинах принимающее форму т — т С=— Т.[г 8 [Ф (1)1 д1 о будем иметь дТч 1 — ) = — (Т,— Т.). "7() ~~, дрло 2 т где, как и в (231) гл. ХП, положено 7 (и) = = 0,664 у' о. (74) (75) Вводя число Нуссельта Ми, получим, подобно (233) гл.
ХП, Мы=в 0 л„(т — т„) о о Принимая во внимание, что коэффициенты теплопроводности находятся в том же соотношении, что и динамические коэффициенты вязко- 0 Кибела И. А. Пограничный слой и сжимаемой жидкости с учетом иалуче. ния.— ЛАН СССР, 1939, т. 25, № 4. Ту же примерно температуру (70) будет иметь поверхность ракеты, совершающей полет в атмосфере.
При больших М температура поверх- ности может превзойти допустимые с точки зрения прочности конструк- ции значения. Значительное при высоких температурах лучеиспускание способствует охлаждению поверхности '). Для того чтобы определить коэффициент теплоотдачи пластины, имеющей температуру Т=Т вычислим размерную производную от тем- пературы по нормали к пластине дТ[ду на поверхности пластины. Име- ем, переходя в правой части к размерным величинам, дй ! г дТ 2 ч /чоол Р„дТ д~= т„[г дп Т„АУ и„р др ' 4 144. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 765 сти, т, е. при и=! х т Т„ и выполняя, кроме того, интегрирование, получим Ми = Т(О) )Ле; Т вЂ” Т„ (76) входящая сюда величина Т, определяется по (70).
При отсутствии теплоотдачи Т =Т, и Ми=О. При наличии тепло- отдачи, но малых М„, т. е. при малых скоростях, когда влияние сжимаемости несущественно, Т,=Т„и, следовательно, ми = 7'(а) (Ле = 0,664 то~ )/Ре (77) Это совпадает с ранее полученной в гл. ХП формулой (234). Наконец, при 0=1 будем иметь Ми = 0,664 ~ ~ГРе Т (78) Обращаясь к вопросу о сопротивлении пластины, найдем сначала напряжение трения т,.
Имеем, переходя к размерным величинам, и„х ! Р, ди р (1) — — 4 ~à —" — — "-, У У р ду откуда следует 2 р~У х 2 причем 4р" (0) имеет то же значение 4р" (0) =1,328, что и в несжимаемой среде. Итак, если при и=! величины р и р в выражении рейнольдсова числа соответствуют параметрам в набегающем потоке, то коэффициент местного трения остается тем же, что и в случае несжимаемой жидкости 44~Р~У~ 0,664 !,328 т =0,332 ", с!= — ', Сг= — ' х ' р%е ' 1Яе (79) 2 1' Р~х,) Т 4 Как можно заключить из проведенных выкладок, для вычисления коэффициентов сопротивления и теплоотдачи нет необходимости иметь явные формулы связи между новым переменным ь н обычным у/ух, так как в окончательные выражения входят лишь значения величин при у= =0 или у=ее.
Сложнее решается вопрос о распределении скоростей и температур в сечениях пограничного слоя, так как полученные распре- и 1 деления скоростей — = — 1р'(Ь) и температур (энтальпии) (66) выра- У 2 жены через аргумент ь, связанный с обычными размерными координатами по формуле ГЛ.
ХЧ. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА Связь между ь и уТух определится интегральным соотношением и„у А о На рис. 285 и 286') приводим графики влияния числа М„на профили скоростей и температур при л=1, о=0,7 и й=1,4 для пластины, и Г-Г„ у г,у йз га йй йд йд МУ У гд йд йу йу гуу -Р- у я г Рнс. 286 Рис. 285 температура которой путем охлаждения поддерживается равной температуре набегающего потока. На рисунках обращает на себя внимание факт возрастания с числом М толщины скоростного и температурного пограничных слоев. Профиль скоростей с ростом числа М„ урезывается, становится более пологим. Температура при удалении от стенки сначала возрастает, а затем возвращается к прежнему значению, причем максимум отноше- Т вЂ” Т У г г 4' з ( г - — гг„ния " (Тр — температура адна- Т вЂ” Т батически и изэнтропически заторА. 14 моженного газа для набегающего у ', потока), следуя расширению погра' -„ вЂ" пичного слоя, отодвигается от стену ')г;„~ ки, но сохраняет неизменной свою величину.
Сравнение этих крввых с кривыми, показанными на рис. 287 и 288, соответствующими случаю искусственного охлаждения пластины (,Т = 1 = — Т„), говорит о некотором уменьшении толщин пограничных слоев. 4 На рис. 289 демонстрируется спрямление кривых распределения р ° р *.рр рь рь ри„,Ди рррр. р - .р.р--М ° др„, отсутствия теплоотдачн с поверхности пластины. Рассмотренное только что решение, справедливое при п=1, пригодно лишь при сравнительно невысоких температурах поверхности пла- ') Н а п1 аз сЬ е ртг., иге и д т Н. 1р!е 1апппаге тргерзгзсысщ бег еЬепег Р1ане тн ппд пыле %йгшейЬег1гайппк, ЛайгьнсЛ 1942 бег Вен1зсьеп Еп111аьг11огзсьипя, 40 — 51.
Из этой работы заимствованы лишь упоминаемые и несколько дальнейших графиков; изложенный выше метод расчета отличен от метода Хантше и Вендта. Рис. 287 в свою очередь зависящей от распределения температур, Дифференцируя по у, получим и„й„ ду 2 1р' ч х 81~) $ !44.
ЛАМИНАРНЫВ ПОГРАНИЧЫЫВ СЛОВ НА ПЛАСТИНЕ 767 стины. Можно без труда и при этом значительно повысить точность расчета, если вместо простейшего закона в безразмерной форме !А'=и' принять более близкую к действительности, также приближенную линейную формулу Чепмена — Рубезина (15), аппроксимирующую закон Саттер- лэнда (!2). Разница будет лишь в том, что в правой части уравнения т т 4! Ю и„ йе 4е ~(%% !6 8Е ДЕ ФЕ 8, ДЕ 4:~/ —," Рис.
289 Рис. 288 (54) на место произведения Мр (напоминаем, в безразмерных величинах) встанет не единица, а постоянная Чепмена — Рубезина С, равная в безразмерных величинах С= зйА, А +Аз где Ь»=Т«(Т„, а Т»=122 К. Все останется по-прежнему, если в масштабы поперечной координаты и функции тока ввести постоянный множитель !! С. Тогда для коэффициентов сопротив- 7 .Юс. ления вместо (79) будут справедливы формулы с! = — ' '1/С, СТ = — ' '1/С, (80) 0,664 1,328 ~ Яе» ' 1/%е ТО се)48е 3,4 бг йЮ при больших значениях числа Маха зна- ' 4т г 4 чительно приближающиеся к решениям Т дхт» на основе общей формулы Саттерлэнда, что подтверждается графиками УФ на рис.
290. На этих двух графиках, относящихся к низким температурам потока: 48 Т = — 86'С (полет на высоте 50 км) и Т = — 233'С (эксперимент в аэродина- /4Т мической трубе сверхзвуковых скоростей), но к высоким, резко возрастающим с ростом числа Маха температурам стенки штриховой линией показаны ре- Рис. 290 зультаты расчета по простейшей линейной формуле вязкости (79), а сплошными кривыми с отметками «Ч.— Р.» и «Сат.» — соответствующие результаты прн принятии формул: (! 5) — Чепмена — Рубезина и (12) — Саттерлэнда; пользование формулой Чепмена — Рубезина оправдывается. г М ГЛ.
ХЧ. ДИНАМНКА ВЯЗКОГО ГАЗА т сг ~/йа,=0,664 0,45+ 0,55 — + 0,09(й — 1)М„)уа (81) для общего случая задания температур пластины и набегающего газа и ~-л сг у'йе„=0,664 (1+0,365(й — 1)М" )/а) (82) для случая отсутствия теплооздачи (пластинчатьзй термометр) мало (в пределах !%) отличаются от теоретических решений для практически встречающихся значений а, и и чисел М„~10. Сравнение некоторых результатов теоретических расчетов') сопротивления при отсутствии теплоотдачи с эмпирической формулой (82) приведено на рис. 291. Сплош- 24 гс м иые линии соответствуют теоретическим расчетам, штриховые — формуле (82). Верхняя прямая относится к случаю п=!, когда, как было доказано в настоящем параграфе, произведение с,уке„ ие зависит нн ог числа Маха, ни от а.
7г с йс айте 47 и дг й йг г 74 г4 гг 447 с г 4 е г 7с м„ Рис. 291 Рис. 292 В заключение приведем еще один график для случая отсутствия теплоотдачи при а=!, п=0,76 (рис. 292) распределения температуры в сечениях слоя при различных числах М„=10. Обращает на себя внимание естественный ввиду отсутствия теплоотдачи (охлаждения) с поверхности пластины резкий рост с числом М температуры стенки и толщины температурного слоя. Сопоставляя этот график с распределением скоростей, помещенным на том же рисунке, отметим равенство толщин скоростного и теплового слоев, имеющее место при а=1.
Профили скоростей имеют перегиб, особенно заметный пои больших М„'). ') Цитируем по статье этого автора; Пограничные слои.— В иис Совремеяиое состояние аэродинамики больших скоростей)Под ред. Л. Х о у а р т а, т. 1, Мз ИЛ, 1933, с. 433. ') Численные методы решения уравнений пограничного слоя яа пластине применялись Эм м о и с ом и Бр ай иердом (см. Зонги.
о1 Арр!. МссЬ. А-108, 1941, ч. 8 и А-!, 1942, ч. 9). При современном развитии ЭВМ задачи этого рода ие представляют трудностей. ') Подробности, относящиеся к решениям задач о ламинарном пограничном слое в газе можно найти в подробном обзоре: Куар ти Г. Ламииариый пограничный слой в сжимаемой жидкости.— В ииз Проблемы мехаиияи/Под ред. Р. М иве с а и Т. К ар- Простые эмпирические формулы расчета коэффициента сопротивления пластины предложил Юнг '). Формулы эти 4 !44. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 769 Мы удовольствовались пока рассмотрением лишь одного простейшего случая интегрирования системы уравнений (61), а именно случая а=1, когда первое уравнение этой системы становится автономным и интегрируется отдельно от второго. Представляет интерес и другой также простой случай, когда число Прандтля о принимается равным единице (для воздуха О=0,72).
К этому случаю нам еше придется вернуться при рассмотрении более сложной задачи о ламинарном пограничном слое при наличии продольного перепада давления, а сейчас ограничимся лишь следующим обшим анализом этого случая. Обратимся к первой форме уравнений пограничного слоя, представленной системой (48). Полагая в третьем уравнении системы 0=1, получим линейное относительно Ьо уравнение в безразмерных величинах дао дао д I дло 1 ри — + ро — = — (р — ), дх ду ду т ду ) которое в случае с(р!с(х=О, в силу первого уравнения системы (48), имеет очевидный частный интеграл (а и Ь вЂ” постоянные) й,=аи+ Ь. Переходя к размерным величинам, можем этот, носяший имя итальянского аэродинамика Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
