Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 176
Текст из файла (страница 176)
5 4И. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА форме (21) гл. 1Ч l У44 р — ( с„Т+ — ) =рР У+йч(РУ)+р4! ЛГ 2) (23) и, аналогично тому, как это делалось в гл. Ч, перейдем от внутренней энергии с.Т к энтальпии Ь, связанной с нею известной формулой Ь=с Т=с,Т+ —. Р Кроме того, удовольствуемся рассмотрением притока тепла только через геплопроводносгь, т. е. положим р4)=йч(Х пгаг( Т), Можно указать и другие полезные формы уравнения баланса тепла. Вспомним уравнение изменения кинетической энергии (16) гл. 1Ч 1 У ') р1». У + л!ч (РУ) + 7474 лг(2) (28) где коэффициент теплопроводности Х будем считать функцией температуры Т и пропорциональным !4 согласно (17). Заменяя в уравнении (23) тензор напряжений Р его выражением (1О), получим р — "(Ь+ — '*)=рР У+ р — '( — ')+ + 2 4Ич(!АУЛ) — йч [(р+ — р 41!ч У) У~+ йч ( — Игаб Ь), 3 )! или, используя очевидное преобразование р — ( — ) = — — — — = — +У дга4!р+ рйчУ= — +41!ч(рУ) Л /Р'4 ЛР РЛР дР дп ЛГ !, р ) й р ЛЕ дГ дг и равенство (17), следующую форму уравнения баланса тепла р — ! Ь + — ) = рР У + — + ГИч (2рУЯ вЂ” — ИУ йч У + — Игаг( Ь) .
(24) Л/ У4~ дР ° / 2 ° 44 сп 2 дг 3 в Входящее под знак дивергенции в правой части произведение вектора скорости У на тензор Я может быть выражено через дифференциальные векторные операции над вектором У в форме УЗ =Игаг) ( — ) — — Ух го(У. гр'з 1 'х2) 2 Отметим основной для дальнейшего частный случай стационарного движения при отсутствии объемных сил. Используя (2!), получим р — (Ь+ — ) =р — (Ь+ — ) +рУ д4В41(Ь+ — ) йч [рУ( + — )1, и уравнение (24) преобразуется к следующему, как иногда говорят, сдивергентному» виду: сыч ~рУ (Ь.1- ~ ) — 2рУЗ+ — рУГИч У вЂ” !— ИГЕ41Ь~ =О.
(26) 2 ) 3 в Пользуясь выражением (26), можно представить уравнение (26) в следующем развернутом виде: йч [рУ (Ь + — ) — р дгаг( ( — + У') — р го1 У х У + — рУ йч У1 = О. (27) 2 2) в 3 ГЛ. ХЧ. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА Заменяя в выражении (17) гл. 1Ъ' мощности внутренних сил тензор Р по равенству (10), получим следующее выражение мощности внутренних сил: ИГМ = — 295'+ рйч У+ — р(йч У)'. 3 (29) Сравнивая его с соответствующим выражением йГы в случае несжимаемой жидкости, убедимся, что при наличии сжимаемости в выражении йГГз добавляются два новых слагаемых рйчУ + — р(йчУ)з; 3 первое нз них выражает секундную работу давления, а второе — сил внутреннего трения при сжатии газа.
Диссипируемая мощность, т. е. необратимая часть мощности внутренних сил с противоположным зна- ком равна !з'А„, = 295' — — р (йч У)'. 3 (30) или, комбинируя члены во второй скобке, й(д = 4Р (5'з+ 5зз+ 5зз) + — Р ((5зз — 5зз)'+ (5зз — 5зз)'+ (5з — 5м)з). 3 (31) Из последнего выражения сразу следует, что, кроме тривиального случая квазитвердого движения газа, о котором уже была речь в $93 гл. Х при рассмотрении движения вязкой несжимаемой жидкости, механическая энергия вязкого газа не будет диссипироваться в тепло и при изотропном радиальном расширении или сжатии газа, когда скорости сдвига равны нулю, а скорости относительных удлинений по любым направле. ниям в пространстве одинаковы: 5„=5„=5„.
Заметим, что при учете второй вязкости диссипируемая в тепло механическая энергия при радиальном расширении или сжатии газа уже не была бы равной нулю. Вычитая почленно обе части (28) из (23) и вновь переходя от внутренней энергии к энтальпии, получим после простых преобразований следующую форму уравнения баланса тепла: р — = — + 295 — — (з(д!ч У) + йч ~(здгад — ) . ЛИ ВР з 2 . з . l И И йГ зп 3 о) (32) Сравнив это уравнение с (43) гл.
Ъ' и приведенными там последующими рассуждениями, убедимся, что при наличии вязкости движение уже не может быть баротропным, а при условиях адиабатичности — изэнтропическим. Уравнения (24) или (32) замыкают систему уравнений динамики вязкого газа по крайней мере в той постановке, которая принята в'на- Выражение дисснпируемой мощности (30) в виде разности квадратов не позволяет судить непосредственно о знаке этой величины и об условиях обращения ее в нуль.
Покажем, что диссипируемую мощность можно представить в форме суммы квадратов. Имеем по (30) й(дзс = 21з (5зи + 5зз + 5зз + 251з+ 25зз + 25зз)— — — р (5зз+ 5з. + 5зз+ 25м5зз+ 25з,5зз+ 25зз5м) = 3 =- 4р (5зз + 5зз + 5зз) + — !з (251з+25зз+25зз — 25м5зз — 25зз5зз — 25зз5п) » НЕ ОСНОВМ4ДЕ"ЭХ»ХВНЙНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГЛЗА 745 чале настоящего параграфа. Более широкие постановки, учитывающие существенные при сверхзвуковых движениях теплоотдачу путем лучеиспускания, явления диссоциации, ионизации и др., требуют специального изучения, В число граничных условий, так же как и в несжимаемой жидкости, входит равенство нулю скорости на неподвижной твердой границе, а при движении тела в газе совпадение скорости частиц газа, прилегающих к поверхности тела, с соответствующими скоростями точек поверхности тела («прилипа44ие» частиц газа к твердой поверхности).
В разреженных газах условие прилипания газа к твердой стенке не имеет места; при этом наблюдается скольжение газа по стенке, которое можно считать пропорциональным производной по нормали к поверхности обтекаемого тела от касательной составляющей скорости. Не приходится и говорить о том, что условие прилипания совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах, когда длина свободного пробега молекулы становится сравни,иой с линейными размерами тела.
В этом случае газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду. Такого рода движения газа выходят за рамки механики в узком смысле слова и составляют предмет изучения кинетической теории газов. Заметим, что вопросы обтекания тел разреженными газами приобрели в последнее время практическое значение в связи с движением тел на больших высотах. В случае внешнего обтекания тел безграничным потоком газа в число граничных условий входит задание скорости набегающего потока или скорости движения тела по отношению к покоящемуся вдалеке от тела газу; при протекании газа сквозь каналы обычно задают секундный массовый расход, при изучении распространения струй — секундное количество движения и т.
п. Граничные условия для температуры могут быть также разнообразны. Наиболее часто встречается задание распределения температуры по поверхности обтекаемых тел или на стенках каналов, по которым происходит течение газа, и температуры набегающего газа. В других случаях задается распределение теплоотдачи, т.
е. секундного количества тепла, проходящего через единицу площади поверхности. Согласно закону Фурье последнее эквивалентно заданию производной от температуры по направлению нормали к поверхности обтекаемого тела или канала. В такого рода граничных условиях заложено предположение об отсутствии скачка температур между обтекаемой стенкой и прилипающими частицами газа. Эти граничные условия хорошо подтверждаются опытными исследованиями в неразреженных газах (точнее, при малой по сравнению с размерами обтекаемых тел или каналов величине длины свободного пробега молекул).
В случае же разреженных и особенно сильно разреженных газов указанные граничные условия теряют свой смысл, В разреженных газах наряду со скольжением газа образуется скачок температур, который, так же как и скорость скольжения, можно принять пропорциональным температурному перепаду в газе вблизи стенки. В сильно разреженных газах понятие температуры (так же как и скорости) нуждается в уточнении, которое дается в кинетической теории газов. В число граничных условий входит еще задание давления в какой- нибудь одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном сечении канала или др.
Начальные условия, как и в несжимаемой жидкости, представляют собой задание в начальный момент времени поля скоростей и температур, и, кроме того, давления в какой-нибудь точке. Вопрос об условиях существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса динамики вязкого газа упирается в многообразие ГЛ. ХН. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА 746 постановок задач и пока не получил своего полного математического завершения. Простейший пример точного решения уравнений Навье — Стокса динамики вязкого газа дает задача об одномерном стационарном движении газа в безграничной плоскости, сопровождаемом переходом сверхзвукового потока в дозвуковой при прохождении через скачок уплотнения (см.
$ ! !О предыдущего издания настояшего учебника). Однако решение это лишено физического смысла, так как толщина скачка имеет порядок длины свободного пробега молекулы, и, следовательно, в области, занятой скачком, модель сплошной среды некорректна, что исключает возможность использования уравнений Навье — Стокса.
В результате этого формального решения получается заниженное по сравнению с опытным значение толшины скачка. Заметим, что, несмотря на указанные обстоятельства, теория скачка уплотнения в сплошной газообразной среде была предметом многих исследований'). Среди поисков решений этой проблемы, глубже проникающих в сущность явления, но все же основанных на модели сплошной среды и тем самым иа уравнениях Навье — Стокса, следует особо выделить работы, учитывающие влияние термодинамической неравновесности движения газа в области скачка '). Время пребывания газа в узких пределах скачка настолько мало, что прирост кинетической энергии молекул газа (разогрев газа) не успевает равновесно распределиться по всем степеням свободы молекул двух- или многоатомиого газа.
Время релаксации поступательной и вращательной частей энергии молекулы сравнимо со временем прохождения газа сквозь скачок уплотнения, а колебательная часть имеет большее время релаксации. Это отражается на значениях физических констант газа и существенно изменяет процесс движения, влияя как иа толщину скачка, так и на распределение скоростей и температур в нем.
В настоящее время под руководством Г. Л и п м а н а разработана теория, основанная на кинетических соображениях. Толщина скачка, рассчитанная по этой теории, удовлетворительно совпала с результатами экспериментов '). Точные решения задач динамики газа были ранее малочисленны. Отметим принадлежащее Л. Г. Степанянцу') точное решение плоской задачи о движении вязкого газа вокруг вращающегося цилиндра и в полости между врашаюшимися цилиндрами без ограничительных допущений об изотермичности движения и без отбрасывания инерционных членов, а также численное исследование свободной конвекции газа в плоской прямоугольной области, опубликованное В.
И. Г1олежаевым '). ') Первые решения этой задачи (о=о, 3/4,; независимость р и )с от температуры) были уже давно даны Рэнкином, Рэлеем, Прандтлем, Тейлором и Гамелем. Более точное решение принадлежит Бекер у (Весйег и. 51оззме!)е ппб Пе1опа!Ь оп — 2е!1сьг. Йг Рьуз, !921 — 1922, Вб. 8, 5. 32! — 322). Уточнению решения Бекера (о=з/4, )х-)ГГ) посвящена работа Томаса (ТЬош аз Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
