Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 185
Текст из файла (страница 185)
(168) Пользуясь легко получаемой из (159) связью между Х,' и У,' й — ! з х = хеУеУ, а' 1 $1ЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 799 и после очевидных сокращений придем к уравнению аи аи аи, а и и — +у — =и,— +,—, дх ду ах ду» (170) полностью соответствующему уравнению пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Покажем, что преобразованные компоненты и и У удовлетворяют условию несжнмаемости жидкости. С этой целью введем функцию тока Ф, положив Р"=Р Ро Р дФ дФ ду 1 ах (171) Воспользуемся вновь формуламн преобразования (162) и дифференциальными соотношениями (165); тогда, получим и=Х-и =Х-и — "' Хм — "'— '" ='Ф р ' р„дУ д1' и аналогично по определению (167) приведенной скорости у еь-е У- -еае их-О ( дУ Н Рат Хе о = Хе Хе ~и + Хе )— дх ре) ае-е е»-1 -Н ЯЬ-О ( НдФ д!' И Г а».1 дФ дУ дФ 11 дФ =Хе Хе (Хе Хе [Хе + дУ дх ~ дХ дхдУ1) дХ Итак, имеем и= —, 'у=- — —, — + — = О, дФ .
дФ ди дУ дУ дХ дХ дУ (! 72) т. е. приведенные компоненты скорости и, У действительно соответствуют некоторому «фиктивному» потоку несжимаемой жидкости, и функция тока для этого движения в плоскости (Х, У) является одновременно и функцией тока рассматриваемого газового потока в плоскости (х, у). Уравнения пограничного слоя в плоскости (Х, У) могут быть записаны теперь в форме, аналогичной уравнению (15) гл. ХП аФ а р аФ а*Ф аи. а'Ф вЂ” — — — — =и — +у —. дУ дХд1' дХ дУе аХ дУ» ' (173) Граничные условия для системы уравнений (170) и (172) илн для одного уравнения (!73) также совпадают с обычными условиями для несжимаемой жидкости и= У=О при У=О, и- и,(Х) при У- оо или Ф= — =О при У=О, — и,(Х) при У дУ дУ а', Х, 2) Хеиеие + Хеие = + иеХе = Хе а,* (1 а 1и,*'1, а,' = — — ~ — — — — ~ х,'- — — х,'.
1~Х 2 ае/ е а 1 е 1 Умножая первое из этих представлений на первое слагаемое в первой скобке правой части (168), а второе — на второе слагаемое в той же скобке, получим вместо (168) х,(и — + У вЂ” )+ — х,'и = х,и,и,'+ — х,'и + х;,— аи аи1 1 ., 1, аи дХ дУ) 2 2 д)ее гл.
хч. динамика вязкого гхзх тво Напряжение трения на поверхности тела определится по формуле т-1 йй-1 т„=р,„( — ) = !г1Х,' ' ( — ) =р,у,~ ' ( — ) . (174) Основное затруднение, возникающее при практических расчетах по только что изложенному методу, заключается в том, что при наличии простой связи действительной скорости внешнего потока и, с продольной координатой х соответствующая ей связь и,(Х) в «фиктивном» потоке несжимаемой жидкости может оказаться достаточно сложной, не подходящей под известныи класс точных решений. В других случаях, наоборот, простая зависимость и,(Х) будет связана со сложным распределением и,(х). Остановимся, наконец, на более общем случае, когда число.
Прандтля а не равно единице и поверхность тела является теллоотдаюи!ей, но ограничимся вместе с тем допущением о линейности связи вязкости газа с его температурой или энтальпией. Примем для количественного выражения этой связи неоднократно упоминавшуюся ранее формулу Чепмена — Рубезина, введя входящую в эту формулу константу С множителем в первое из преобразований (163).
Введение этой константы не нарушит преобразования, которые были только что произведены, так что не стоит их повторять. Принципиальная разница лишь в том, что интеграл (164) в рассматриваемом сейчас случае оФ! и при наличии теплоотдающей поверхности уже не будет иметь места и в общей системе уравнений придется рассматривать и дифференциальное уравнение баланса тепла. Введем в рассмотрение тепловую функцию 5, положив Я= — ' — 1; Я-~-О при У-» оо. л, (! 75) Произведя в системе уравнений (138) указанное преобразование и переходя к приведенным скоростям и и г', придем к следующей общей системе уравнений ламинарного пограничного слоя: (176) — М,' л — ! —, «((и,) )) е иоз дЯ ч ( ! УЯ дХ дК ~ оду' (! 77) с граничными условиями и=1'=О, 5=3 при У=О, и и,(Х), В О пр У и=-и,(у'), я=я,р) прн х=х,.
Входящая в граничные условия (177) величина л1 Т, Т ~ 2 при заданных наперед числе Маха наоегающего потока М„и постоянной адиабаты л играет в случае газового потока больших скоростей роль «температурного фактора», о котором уже была речь в гл. ХП. Можно заметить, что в ранее рассмотренном частном случае о=! и при отсутствии тсплоотдачи с поверхности тела будет иметь место инте- 791 4 г48.
МЕТОД ОБОБЩЕНИОГО ПОДОБИЯ 9 148. Метод обобщенного подобия в теории ламинарного пограничного слоя в газовом потоке больших скоростей Введем в уравнения (176), согласно (172), функцию тока ф(Х, у) и перепишем их в форме д9 днр д9 д.9 дгт, дегР— — — — =(,ге — '1(1+5)+,—, д)е дХд)е дХ д)еа ' дХ д)еа д)' дХ дХ д)е а (д)еа дта 'ь'!Сг, д)е ) а) (178) ф= ~=0, д)е дгр — — (7е, д)е 5 = 5 при т' = О, 5- 0 при у'- оо, где принято 5 =сонэ! и используется дополнительное обозначение для <параметра сжимаемости» lг — 1 — М' е (179) х=! — Х,= 1+ — М' А — 1 е Что касается граничных условий в начальном сечении Х=Х„помещенных в последней строчке системы (177), то они в полном соответствии с приближенным приемом, изложенным в гл.
ХП для случая несжимаемой жидкости, будут сейчас заменены некоторыми интегральными условиями. Пользуясь уравнениями движения и баланса энергии в форме (176), выведем обычным, изложенным в гл. Х!1 приемом следующие два интегральных соотношения: ы~" р дХ и,' (180) дХ и, ') С оЬ еп С.
В, й еаЬ о!1! о Е 5!пг!1аг ао1пиоп 1ог йе согпргеаа!Ые !апипаг Ьоппдагу 1ауег !е!!Ь Ьеа1 !тапа!ег апд ргеааиге ягагиеп1 — МАСА Пер, 19бб, т. 1293. ') С оЬе п С. В, й е 8 Ь о1Ь о Е Тье согпрге881Ые )апипаг Ьоппдагу 1ауег м!й Ьеа) 1гапа!ег апд агЬцгагу ргеааиге я!ад!еп! — МАСА йер, 19бб, и 1294 грал й,=й„или, согласно (176), 5=0. Тогда система уравнений (176) упростится и сведется к ранее выведенной системе (170) и (172). Система уравнений (176) была использована Коэнам и Решатка ') для разыскания автомодельного решения, соответствующего степенному заданию (у,=сЛ'" и представляющего собой обобщение на случай газового потока известного уже нам по гл.
ХП решения Фокнера — Скэн— Хартри. Коэн и Решатка положили полученное решение в основу создания приближенного однопара,иетрического метода расчета ламинарного пограничного слоя в газе при произвольном распределении внешнеи скорости '), представляющего аналог метода Кочина — Лойцянского (гл. Х!1), относящийся к случаю газового потока больших скоростей. Как уже указывалось в конце гл. Х!1, последний метод является только локально-однопараметрическим, дает преуменьшенное трение и слишком ранний отрыв; этим недостатком обладает и метод Коэна — Решотко. Удовольствуемся поэтому приведенными краткими замечаниями по поводу этого метода и перейдем к изложению более точного метода.
4 мв. метод ововшенного подовия 798 Перейдем в уравнениях (!78) от независимых переменных Х, У и функции тока ф к новым переменным 5= —, 7 (л=1,2, ...) и Ф=В ф и б* е (186) Тогда, повторяя в точности те же преобразования, что и в 9 ! !3, получим следующую систему «универсальных» уравнений: '!" Ф вЂ” 'Ф+ — '[!+5 — (~)'~ = = — ~7, (((л — !) 7т + пг") 7„+ 7„,Д 1(в ! lдФ д'Ф дФ дзФ т в 1 8$ д1д7л д(л д$а У о 'Ф вЂ” + 2(о — !)и — ~ — — ) = г" + 2В д8 д г дФ дзФ т 2Ва д$ дс ~ д$ джаз) = — ~»', Ц(п — 1) 7з + иР) 7л+ Длез) ~ — — — — — ), (186) !дФ д8 дФ д8 т Вз ~ 81 ду„ ду„ дй ) ' Ф= — =О, 5=5„при 3=0, дф д$ дф — ь ! 5 — «О ири $-» оо дгз Ф=Фз($), 5=5з($) при ~,=0, ~а=О, Здесь под Ф,(9) и 5,(9) подразумевается решение задачи продоль-- ного обтекания пластины, уже рассмотренное выше (9 !08), а  — нормирующий множитель, выбираемый из условия, чтобы первое из уравнений для этой задачи имело обычный <блазиусовский» вид (точка обоз-- начает производную по $) Фе+ФзФа=О~ 5о+оФо5в+2(п — !) не(Фо+ФоФе)=0 Ф,=Фа=О, 5,=5 при $=0, Фв — +1, 5а-з-0 прн $-ь оо, (187) Оставляя в стороне вопрос о представлении решения системы (186) в виде степенных рядов '), рассмотрим результаты численного решения системы (!86) в однопараметрическом приближении, проведенного С.
М. Капустянским') по программе, разработанной Л. М. Симуни и Н. М. Терентьевым '). Особенно просто рассматриваемая система решается в случае одно- параметрического приближения при числе Прандтля, равном единице ') К анустннскнй С. М. Ламинарный пограничный слой в газовом потоке- больших скоростей.— Труды ЛПИ, 1965, № 248, с. 59 — 64. ') Капуста нский С. М. Однолараметричесное решение уравнений ламинарного пограничного слон в газовом потоке с произвольными внешней скоростью и пере-- ладом температуры.— Инж..фзз.
журнал, !965, т. 9, № 6, с. 768 — 774. '! Симуни Л. М., Терентьев Н. М. Численное решение однонараметрического уравнения теории ламинарного пограничного слон.— Труды ЛПИ, 1965, № 248,. с. 56 — 58. 794 Гл хт динАмикА ВяэкоГО ГА3А (о= 1). Система (186) приводится в этом случае к виду 1 (дф УФ дФ д'Ф А = — % Ви (, д1 дед!, д1, дР ) дс5 Е Ь21, д5 ! /дФ д5 дФ д51 — + ' Ф вЂ” = — Г'); д";и 2В' д1 В' (, д1 д1, д1, д9) ' (188) Ф= — =О, 5=5 при 9=0, д~ дФ вЂ” -«1, 5- 0 при $- со, д9 Ф=Ф,(9), 5=5,($) при 1,=0, где ), — аналог формпараметра однопараметрических методов Ц А«и У1 г в и Г9 вв дв вдв дг ввв в чвв ввв д/в 4/ в Вв ' -вув-ввв-ввв в 44 и ! г в 4 Рис.
299 Рис ЗОО На рис. 300 даны графики двух основных расчетных величин 9 и Н в функции от,",. Цифрами 1 и 2 обозначены кривые ~(!,) при 5.= — 0,4 соответственно по изложенному методу и методу Коэна — Решотко. Обращают на себя внимание преуменьшенные значения 9 и абсолютного отрывного значения параметра !и, рассчитанных по Коэну — Решотко, Останоьимся на некоторых результатах численного решения уравнений (! 88) . На рис.
299 приведены кривые зависимости: а) безразмерной скорости (//(у,=.дФ(д9 и б) тепловой функции 5 при трех значениях параметра !",: ! — !",=О, 2 — 1,= — 0,06, 3 — 1,= — 0,0646 и при значении температурного фактора 5.=0,4 (пересекающиеся стрелки показывают шкалы, по которым следует вести отсчет). 793 9 ми. мвтод ововщвнного полония по сравнению с однопараметрическим решением Капустянского, представляющим аналог более точного решения Хоуарта в несжимаемой жидкости. Цифрой 3 отмечена кривая ~(),) для значения 5„=0,4.
Можно заметить, что параметр 5„. сильно влияет на отрывное значение параметра 1,=1„, как это отчетливо показано на рис. 301. На рис. 300 цифрами 4 и 5 показаны для сравнения соответственно кривые Капустянского и Коэна — Решотко для Н((,) при 5 = — 0,4, а цифрой 6 — та же величина по Капустянскому при 5 =0,4. В аналогичной нумерации на рис. 302 приводятся графики функции Г(1,) и величины отклонения этой кривой от прямой е(1,): 4 — при 5 = — 0,4, 5 — при 5 =0,4. - аав г !г ааг ааа (а -аи и оир аав ов -ааг аар -дра ааг ага -аав аав '-ав-РР-аг а аг ал Рр, Р -арг-аав-ааа а ааа дава!2 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
