Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 183
Текст из файла (страница 183)
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА 773 к системе равенств (105), получим ! дф ! гдф ! оиг гоп= — го=, гоп= — — го = — Го(х)У вЂ” = ° р ду р дх р ду (107) откуда следует о хо(х) ! д~р о= — + — ', уи= — — = го х' р дх ! дф и=и= — =, р ду' (108) Применяя к первому и третьему уравнениям системы (104) преобразования (106) и используя для второго уравнения той же системы равенства (!08), получим по (!02) следующую систему уравнений в новых переменных: р и=+и= =ри,=+= р= — + =О, д (ри) д (р й) дх ду (109) совпадающую с уравнениями пограничного слоя в плоском газовом потоке; совпадут и преобразованные граничные условия.
Пользуясь этим общим преобразованием в рассмотренном в начале параграфа частном случае конуса (г,(х) =ах], будем иметь по первому равенству системы (101) х = — а'хо, у = аху, 3 (110) где а=з(пО. (8,— половина угла раствора конуса). Сравним между собой, например, напряжения трения для конуса т и для пластины т„. По второму равенству системы (10!) получим в соответствующих точках (х, у) и (х, у) общее соотношение то~ — Рв ( ) — )го~( — ) ( ) — твго — тоах (111) ду и о ду й=о ду ы=о Вспомним, что Хантше и Вендт провели сравнение т„ и т. при одинаковых значениях абсциссы на образующей конуса и вдоль пластины; по (1!О) это означает, что надо положить х= — а'х' или ах= )/3.
г 3 Возвращаясь после этого к равенству (! 11), получим т =)'Зт в полном соответствии с предыдущим результатом. Аналогичным образом можно получить и остальные соотношения. В ранее цитированной нашей монографии по теории ламинарного пограничного слоя можно найти многие другие примеры расчета пограничного слоя в газе при отсутствии продольного перепада давления. 4 1еа. лАминАРнып погРАничнын слон ПРи БОльших скОРОстях $146. Ламннарный пограничный слой прн большых скоростях н наличии продольного перепада давлений Изложим сначала наиболее простой приближенный метод расчета ламннарного пограничного слоя в газе прн наличии заданного продольного перепада давлений '), справедливый, как далее будет указано, прн не слишком больших значениях числа Маха, например М 2.
Рассмотрим случай теплоизолированной поверхности, т. е. примем, что поток тепла через поверхность равен нулю н, следовательно, имеет место граничное условие — =О прн у=О. дт (112) ду Удовольствуемся также предположением а=1.
Тогда, как легко убедиться, частным интегралом уравнения баланса тепла (третьего уравнения системы (48)), удовлетворяющим предыдущему граничному условию, будет Ье=сопз( нлн, если вспомнить (42), Ь+ =Ьое 2 (113) где Ь,— постоянная для всех точек пограничного слоя величина. Последнее равенство эквивалентно следующему (Тм так же как Ь„одинаково для всех точек пограничного слоя): т=т,~1 — — "' ). Замечая, что вне пограничного слоя поток потенциален, а давление поперек пограничного слоя не меняется, получим для всех точек слоя известное нзэнтропнческое (гл.
Ч) соотношение (114) (115) (117) ') Дородницын А. А., Лойцянский Л. Г. К теории перехода ламинарного слоя в турбулентный.— Прикл. мат. и мех., 1945, т. 9, вып. 4. га -ахат где и,— скорость на внешней границе слоя, а р, — давление в аднабатически н нзэнтропнчески заторможенном газе, одинаковое для всех точек внешней границы пограннчного слоя. По закону Клапейрона найдем соответствующее соотношение для плотности (р„— плотность аднабатически н нзэнтропическн заторможенного газа): ге-г (-Ю Р= „е (116) 1 —— 2йе Пользуясь принятой ранее степенной связью между динамическим коэффициентом вязкости и абсолютной температурой, получим "=" ( —:.)'='('- — ".)' Приняв во внимание, что интеграл (113) уравнения баланса энергии уже найден, остановимся на первых двух уравнениях пограничного слоя 778 ГЛ.
ХМ ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА в размерных величинах р (и — + о — ~= — — + — ()» — ), — + — =0 ди ди! т(р д ! ди! д (ри) д (ро) (118) дх ду) Ых ду(, ду) дх ду и, введя для краткости обозначения и е $~26т 1' 2ла (1! 9) $= 1 Р Г(х=~ (1 — а') 'с(х, 1 Ро Заметим, что а д р д дт)д -еатд дт)д — = — — + — — = (1 — а ) — + — —, д» рт д5 дхдч дй дх дп (121) а д р д (1 — ст')» ' д ду рт дп ! — аа дп кроме того, по первой из этих формул и соотношению (115) а Й+1 д~т а а-т др й а а-т — =(1 — а') — = — ра (1 — а') ' 2аа'= т(х д$ й — 1 Ь.1 ает — — (1 — а')~'ики, = — р, (1 — аа)~'и,и;1 (122) Аа й — 1 штрих здесь и далее означает дифференцирование по $.
Подставляя полученные выражения в первое из равенств (118), преобразуем его к виду ди — дн ! — ит д Г а «-т дн 1 и — + о — = -и,и, +та — ~(1 — а')" д$ дп ! — ат дт! ~ дт)~ (! 23) где положено для краткости о= " + ! — аа (1 — аа)~т (124) дх Из уравнения неразрывности следует а —, а-тдтР дт! дтР— а-) дс дх дт! дтР р дтР д ри = — =- — —, ро = — — = — (! ду ра дч дх или ! дтР р, дч ! дтР и дч ро дй — „д» (1,„»)а-т ! дтр о= — —— ра д$ ') Л о р ол н н пы н А. А. Пограничный слой в сжимаемом газе.— Прннл. мат.
н мех., 1942, т. б, выл. 6. совершим над уравнениями (118) стоящем случае имеющее вид » к а Вводя опять скорость у по ( ства в виде и=— 1 дтР Ра дп преобразование Дородницына '), в на- у т! =. д! — 4(у = ! 4(у. (120) Ра 1 — а~ !24), перепишем последние два равен- ГЛ. Хе'. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА тао После подстановки этих выражений в (128) получим е 1 аа ч + е ч Н(е) Умножим обе части этого уравнения на 1 — а* и приведем его к виду «* )н~()-")б,- -= В А (2+На, 2 е)$~ то ие то(! — а ) Теперь можно заметить, что роль формпараметра играет величина иеач 1= то (! — а') (131) так как при этом выражение, стоящее внутри фигурных скобок, будет являться функцией только формпараметра ). Предыдущее уравнение приводится к виду е! ~(! — ао)о )1 ! — ао или, после выполнения дифференцирования в левой части, хе х ие ,! и, — =Рф — 1и +) — 1п цоо )/ =о д (! ао)о (132) Таково основное уравнение однопараметрической теории, представляющей собой простое обобщение теории гл.
ХП на разбираемый случай движения газа с большими скоростями. Входящая сюда функция Р(0 =2(И) — [2+ Н (1) И (133) ничем не отличается от соответствующей функции у для несжимаемой жидкости. Вернемся теперь к основной переменной х; будем иметь, сохраняя штрих для обозначения производной по х, — =г'((') — 1п +1 — 1п А ° (134) йх е(х '1/ ! ао е(х о +в (! — ао) А-о и после простого интегрирования уравнения (134) получить х ие (! а ) о (135) где положено А Ь т=2+ — —— А — ! 2 (136) Из сделанного ранее предположения о независимости формы профиля (129) от числа М следует, что вид функции Р()) должен быть тем же самым, что и в случае несжимаемой жидкости (М„=О).
Это позволяет, так же как и в случае несжимаемой жидкости, заменить функцию Р()) ее линейным приближением ~У) = — б| 4 нб. лАминАРнын пОГРАничныи слон пРи БОльших скОРОстях 73! Для воздуха (я=1,4) при Ь=5,75 будет т=2,63. Формула (135) может быть преобразована к виду к 1=а» " „!га '(1 — а') 'дх, а'(1 ак)" „! О (137) более удобному для расчетов. Для пересчета заданного распределения коэффициента давления с„(х) по поверхности профиля на распределе- с -йе -(е -Ье -гп -де с, Рис.
294 ние а(х) при различных М„(М„Р служит предлагаемая на рис. 294 сетка кривых. Сделанное ранее допущение заставляет считать отрывное значение), при больших докритичесяих скоростях не зависящим от М„. Вспоминая, что возрастание числа М„в докритической области вызывает резкое увеличение разрежения, а следовательно, и уклона и,'(х) за точкой минимума давления, за- М= ключим, согласно (135), что это повлечет бсе за собой убывание х„т. е. перемещение «точки» отрыва вверх по потоку. Отсюда Псе следует, что сжимаемость жидкости при докритических скоростях предваряет от- ' м рыв ламинарного пограничного слоя, т.
е. ухудшает обтекание тела. Расчеты подтверждают это соображение. Так, напри- Птс мер, точка отрыва ламинарного слоя с / г л 4 е е т е'Те йе верхней поверхности крылового профиля Ь)АСА-4412 при с„=0,146 и М„=О лежит Рис. 295 примерно на 11% хорды от передней кромки, а при М =0,4 перемещается в точку, лежащую на 5»!с хорды от носика. Наглядным подтверждением явления смещения точки отрыва вверх по потоку с ростом числа М„могут служить результаты опытов Ферри над кризисом сопротивления шара. В связи с ухудшением обтекания шара при росте М„можно ожидать, что для улучшения обтекания шара, ГЛ, Хте. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА ри — ' -1- ро — ' = — — ()х — ') — ( — — 1) — ()хи — "), (138) й — 1 й Рй =Р=Ре )т =)сета(Х), где положено Т А Х= — = —, Тео Аео (139) а Ь, представляет собой переменную полную энтальпию (42); в рассматриваемом сейчас общем случае, конечно, Ь,чайно Входящая в последнее равенство системы (!38) функция а(Х) выражает некоторую общую зависимость коэффициента вязкости от температуры (энтальпии).
По определению параметров адиабатически и изэнтропически заторможенного газа будем иметь а ,о)а-т Р = Ре = Рео (1 ае) р = рео 1 ае = ие()ее 2)тес. (140) Х Применим к первым трем уравнениям системы (138) общее преобразование Дородницына х У ' т!х, т)= ) р т(у; о о (141) найдем д Ре д дт) д д р д + дх Рео дй дх дт! ' ду р,о дт1 (142) ') До роди яцын А. А. Ламинарный пограничный слой н сжимаемом газе.— В инх Теоретические работы по аэродинамике, 11АГИ,— Мл Оборонгиз, 1957, с. 140- ! 73. происходящего при кризисе обтекания, потребуются тем большие рейнольдсовы числа, чем больше число М .
Наблюдения Ферри над обтеканием шара при разных М, результаты которых приведены на рис. 295, хорошо подтверждают это предположение. С возрастанием числа М„ от 0,3 до 0,7 условное значение йе„,, соответствующее с„=0,3, возрастает от 400000 примерно до 740000. Явлением более раннего отрыва вследствие сжимаемости газа объясняется также уменьшение с„,„с ростом М при докритических реживтах. Перейдем к рассмотрению общего случая произвольных (на самом деле не столь больших, чтобы следовало принять во внимание характерные для высоких температур газа явления его диссоциации и ионизации) чисел М„ и чисел Прандтля, не равных единице '). В этом случае интеграл (1!3) уравнений движения и баланса энергии отсутствует, и необходимо решать полную систему уравнений (48), которая после простых преобразований третьего уравнения системы может быть переписана в форме ди ди дре д l ди) ри — + ро — = — — + — ()т — ), дх ду дх ду (, ду) ' д (ри) д (рп) — + — =О, дх ду т!Ео.
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЯ ПРИ ЬОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 783 кроме того, по (140) (штрих — производная по $) 1 е(ре Рв е(ре «Ре ' А-! — — иеие (1 — ае) е Рео Е(о « ! «ее и, следовательно, ое.! дре рео (1 ае) иеие. дх (143) Применяя преобразование (!42) к первому равенству системы (138) и используя (143), получим Ре ди !'дЧ р «ди р — и — + р( — и+ — О) — =- Рео д» ( д» Рео ° дЧ = рео (1 — а,) и,и, + — рм — ~а (Х) — — ~, т»-! р д Г р ди1 Рео дЧ Рео дЧ откуда, деля обе части равенства на величину е«е р, (! фо! Р =Рео Рео Х (144) где положено А о= — — и+ — — о=(1 — а',) и — + —, рео дп р рео о:! дт) о Ре д» Р во Ре д» Х (145) и (Х), Рео ~е о Ь(Х) = тео=, Хе= = 1 — !Хе. Х ' Р„ ' т„ Вводя функцию тока тр при помощи равенств дт)т р дЧ! ри= — = — —, дУ Рео дЧ дту Ре дт(т дт) дв Ре дт(т дт) рр реои дх Рео дев дх дЧ Рео д1 дх ПОЛУ ЧИМ ! дЧт — 1 дтр и= \ О= — —— Э Рео дЧ Рво до (146) так что будет — + — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
