Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 160
Текст из файла (страница 160)
Положив в основу интегральное соотношение импульсов (147) и выражая толщину потери импульса б в универсальных пере менных (<р=и/О., т)=ус./т, /г=(/„/п.): Вво ГЛ. Х!!!. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ буквой — производная по ф): 1 6" = — ~ 'Р (1 — ф ) т1!1 (ф ) . о (184) Величина т1-с(т1/с(ф в вязком подслое равна единице. В турбулентном ядре для определения и используем соотношение Кармана (вторая формула в равенствах (73)] (штрих означает производную по у) рхги' 1 и" (185) Знак минус появляется после извлечения корня в связи с тем, что ф"<О.
В равенстве (185) поменяем местами аргумент и функцию; тогда получим уравнение т1/Ч=х, из которого следует, что т! Се"'. (186) Если обозначить через / значение производной !(ф/бт) на границе вязкого подслоя т1=т1,=а (120), то равенство (186) примет вид е '"' — ече, / (187) где а в константа турбулентности, равная 11,5. Возвращаясь к равенству (184), заметим, что, строго говоря, интеграл в правой части этого равенства следовало бы разбить на два участка: 0<ф<а и а(ф(й, и в каждом из них подставить свое значение !1. Однако ввиду относительной тонкости вязкого подслоя, мало влияющего на значения интеграла (184), можно опустить первый участок, про. должив второй до стенки. Как показывают вычисления, при больших й заметной разницы в значениях интеграла не получается.
Таким образом, исключая т) из равенств (184) и (187), получим еле. дующее выражение для толщины потери импульса: 1 6- = ' ~й(1 — й) е !йт, /У а (188) где й=ф/й и/(/„. Величина нй, как это видно из ее определения, заметно превосходит единицу. В таких случаях удобно пользоваться следующим общим пред. ставлением интеграла, содержащего показательную функцию ~ е"Ае/(ф)бф = — ~/(ф) — — + —,, — ...1, (189) легко выводимым интегрированием по частям. В том случае, когда ряд в квадратных скобках не обрывается, эту форму можно рассматривать как ряд, выражающий значение интеграла при больших нй.
н — константа турбулентности, равная 0,4. Принимая допущение о постоянстве напряжения трения поперек слоя т=т и переходя к универсальным координатам, получим (штрих теперь означает производную по т1) Ч~" Ф 3 !30. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ 681 Выполняя в (188) интегрирование с помощью ряда (189), получим выражение для толщины потери импульса б" = — ехь (1 — — ) (! 90) Найдем еще выражение для формпараметра Н=б "/бх*.
Способом, аналогичным показанному выше, можно найти следующее выражение для толщины вытеснения: /хчт Составляя отношение б*/бь', получим выражение для Н х= = (! — 5 )/ — ') 9 130. Интегральные методы расчета турбулентных пограничных слоев Среди далее излагаемых полуэмпирических методов расчета турбу. лентных пограничных слоев видную роль в свое время сыграли интегральные полуэмпнрические методы, основанные на применении теории пути смешения Прандтля. которое при числах Рейнольдса 10' — 10' дает значение Н=1,3, хорошо согласующееся с опытом. Возвращаясь к выражению (190), заметим, что прн вычислении толщины потери импульса можно пренебречь вторым слагаемым в скобках по сравнению с первым.
Как показали расчеты, при больших значениях хб ошибка, получающаяся в вычислении коэффициента трения при таком п иближении, является незначительной. риняв для толщины потери импульса такое приближение, подставим ее выражение в интегральное соотношение импульса. После простых преобразований получим следующее уравнение: е хх и„х — йтг1 (е"") = Ы Ре„; йе„= /х' Беря интеграл от обеих частей этого уравнения и используя граничное условие йе.=О при О.=со, т. е. и О, будем иметь в том же приближении е-ха — Ь'Ехь = ХЕ„. /х~ Логарифмируя обе части этого равенства и возвращаясь от переменной й к с, по равенству 8=~2/сн получим формулу Кармана — =А+ В!8(йе„с!), (191) )/с где А и В выражаются через постоянные х и а.
С опытными даннымн лучше совпадают близкие к ним значения: А=1,7; В=4,15. Полуэмпирическая формула Кармана представляет неявную зави. самость между местным коэффициентом сопротивления с, и рейнольдсовым числом ке . Для коэффициента полного сопротивления трения пластины длины В уже была ранее указана также логарифмическая форму. ла Пр а ндтл я — Шл и хти ига (154). Э!Зс СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛА, ДВИЖУЩЕГОСЯ В ЖИДКОСТИ баЗ Принимая два условия при в)=0 и одно при в)=1, будем иметь — '=1 — в)'+6ч(! — в)) ( — 2<8( ).
т, Многие другие профили т, в том числе двух- и трехпараметрические, приведены в цитированной монографии К. К. Федяевского, А. С. Ги- невского и А. В. Колесникова. Путь смешения 1 также представляется различными приближенны- ии выражениями, из которых отметим следующие: а) по Прандтлю: 1= ху и — = 0,14 — 0,08(1 — — ") — 0,06~! — — ); б) по С. С. Кутател адзе и А.
И. Леонтьеву: 1 ху — = — — (2х — Зу)~ — ] +(х — 2у)( — ~, х=0,39, (=0,14; /у~' ~в б б ~6! ~61' (198) в) по работам Стэнфордской конференции (см. сделанную ранее сноску): г) по Чи и Чангу: — =0,4 У вЂ” 0,6 ( — ") + 0,2 ( — "); д) по Э скудье и Сполдингу: -'='-" Г'--"-(-')-"1 -'= —" ~(-')~-")-"1 $131. Сопротивление тела, движущегося в жидкости, Профильное сопротивление. Сопротивление трения. Сопротивление давления Расчет турбулентного пограничного слоя лежит в основе определе.
нвя сопротивления тела при его движении в вязкой жидкости. Примем следующую терминологию. Полное сопротиелсние — его называют еще Библиографические ссылки см. в цитированной на с, 682 монографии. В выборе профилей т и 1 для сечений пограничного слоя заключается некоторый произвол, смягчаемый иногда дополнительными интуитивными соображениями. Задавшись распределениями т/т и 1/6, подставляют их в основное уравнение Пр а ндтля (192); после выполнения интегрирования полу. чают распределение скоростей и/(/ в функции от у/6 и параметра после чего находят 6*, 6** и Н как функции 3. Разыскание 3(х) представляет собой последний этап, в котором для этой цели используют ин. тегральное соотношение К а р м а н а (144).
В том случае, когда для отношения т/т выбирают многопараметрические представления, прихо. датся наряду с (!44) применять следующие за ним интегральные соот. ношения (энергии и другие). Вот почему изложенный только что интегральный метод называют «методом интегральных соотношений». Удовольствуемся этим кратким обзором, отсылая за деталями н примерами к цитированной монографии, в которой интегральному мето. ду уделено значительное место. аз4 гл.
хин ттгвулентные движения нзсжимлвмоп вязкои жидкости лобовым — складывается из профильного сопротивления, в свою очередь состоящего из сопротивления трения и сопротивления давления, и индуктивного сопротивления. Последний вид сопротивления обусловлен конечностью размаха тела (неплоским характером обтекания), вследствие чего местная подъемная сила может давать отличную от нуля проекцию на направление общего набегающего потока Я 78). Индуктивное сопротивление по самой своей природе отличается от первых двух составляющих н рассматриваться здесь не будет. Сопротивление трения определяется как проекция на направление движения главного вектора касательных сил, приложенных со стороны жидкости к поверхности тела, а сопротивление давления соответственно аналогичной проекцией главного вектора нормальных сил.
Остановимся подробнее на этой второй составляющей профильного сопротивления. Согласно общему для ламинарного и турбулентного по- Ф граничных слоев представ'рихи пению, вне области погра- пичного слоя поток может ври~ .с — —,— — — — 'ое — 1 рассматриваться как движуд — — вел щаяся безвихревым образом ь~'ае сааре идеальная, т. е. лишенная еее ' со 'Ъ Солрап7нвление давления Вязкого трения, жидкость, две'; — — — -+ — ~ь ' — ~ При достаточной тонкости Ф„ пограничного слоя и известном его свойстве передавать по сечениям слоя на поверх.
ность тела давление внешнего по отношению к пограничному слою потока главный вектор нормальных сил, согласно парадоксу Даламбера ($ 73), равен нулю, а следовательно, и сопротивление давления не должно отличаться от нуля. Это было бы близко к действительности, если бы пограничный слой не возмущал внешний безвихревой поток.
На самом же деле линии тока вследствие подтормаживающего влияния стенки оттесняются от поверхности крыла; такое искажение картины течения приводит к нарушению идеального распределения давлений по поверхности крыла. Пограничный слой не только управляется внешним потоком, но в оказывает на него обратное влияние. Строго говоря, даже нельзя задавать наперед распределение давлений или скоростей во внешнем потоке, так как это распределение в свою очередь зависит от развития погра. пичного слоя, а следовательно, является функцией рейнольдсова числа, шероховатости поверхности и других факторов; однако практически, если тело обтекается без срывов и рейнольдсовы числа достаточно велики, то пренебрежение обратным влиянием пограничного слоя на распределение давлений и скоростей во внешнем потоке оказывается допустимым.
Обратное влияние пограничного слоя на внешнее обтекание проявляется особенно сильно на участках пограничного слоя, где слой наиболее толст, как, например, вблизи точки отрыва. На рис. 258 показаны для сравнения кривые зависимости коэффициентов профильного сопротивления и сопротивления трения серии симметричных профилей Жуковского от относительной их толщины. Ка диаграмме сила сопротивления отнесена к миделевому сечению крыла, а не к плошади в плане; этим объясняется, почему при уменьшении относительной толщины коэффициенты профильного сопротивления и сопротивления трения возрастают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
