Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 155
Текст из файла (страница 155)
Взяв производную от обеих частей (114), получим 7'= ( — Р) = — = 0,218. (120) Таким образом, проведенный упрощенный теоретический анализ позволяет уловить основные закономерности распределения скоростей пря турбулентном движении в круглой трубе. Необходимость использования двух эмпирических констант сохраняется и в дальнейшем изложении, хотя природа самих констант изменяется. Отмеченная связь между движениями около безграничной плоское.
ти и вблизи стенки круглой трубы, приводящая к совпадению простых теоретических формул скорости (115) и «дефекта скорости» (118) с опытными данными, говорит об идентичности локальных свойств турбулентного движения в этих областях. Можно заметить, что «дефект скорости», вычисленный для плоской трубы с конечным расстоянием 28 между плоскостями, дает худшее совпадение с опытом.
Используем действительные распределения полного напряжения трения т по сечению При логарифмическом масштабе абсцисс, принятом на рис. 244, этому профилю будет соответствовать не показанная на рисунке цепная линия, переход на которую с прямой (116) и намечается при малых значениях !дт). Расположение этой цепной линии будет показано далее.
Заметим еще намечающееся отклонение экспериментальных точек вверх от прямой (116) в правой ее части, зависящее от влияния отличия движения в круглой трубе от рассмотренного упрощенного случая плоского движения вблизи безграничной плоскости. Может вообще возникнуть вопрос о правомерности сравнения теоретических результатов, относящихся к идеализированному движению в безграничной области (рис.
243), с результатами экспериментов в круглой трубе, проведенных Ни кур адзе. Ответом служит соображение, что рассмотренное плоское движение можно представить как предельный случай движения в трубе, если при фиксированном расстоянии у точки потока в трубе от ее стенки устремить к бесконечности расстояние между плоскостями в плоской трубе или радиус в круглой цилиндрической трубе. Правильность такой трактовки будет подтверждена ниже.
Имея в виду некоторое различие между теоретическим логарифмическим профилем скоростей (114) и кривой Никурадзе (рис. 244) вблизи оси трубы, все же применим равенство (114) к оси трубы, где. у=а, и=и,„, и из полученного результата почленно вычтем (114). Тогда придем к следующей формуле «дефекта скорости», как называют разность и „вЂ” и, З 125. ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 655 плоской трубы высоты 2И =т.!'1 — -'= „-, И!' "И ' (121) где у — расстояние точки до стенки, а г — от оси, легко выводимые при установившемся движении из условия равновесия элементарного объе- иа жидкости между двумя сечениями трубы, и формулу К а р м а н а для напряжения турбулентного трения (73), справедливую вне вязкого подслоя (у»б,) (штрих означает производную по у) рх' —,=т (1 — — ).
Уравнение это может быть переписано в форме (знак минус в пра- вой части выбран в связи с тем, что и"(0) и" х 1 и' о. вуг у И легко интегрируется н дает первый интеграл — — =2 — й у ! — — "+С. 1 х .вг у и' о, И Следуя Карману' ), примем и'=Со при у=О, что приближенно соответствует в действительности очень большой вели- чине наклона кривой скорости вблизи стенки.
Отсюда следует 2УИ, о, ! С= — —, и'(у) = — ' о„' 2УИ 1 — ~ГТ вЂ” у!И Интегрирование последнего уравнения приводит к содержащему лишь одну константу х распределению «дефекта» скорости = — — ~!п ~! — )/ 1 — Я+ ~/ 1 — — "1 . (122) На рис. 245 приводятся для сравнения теоретические кривые (122) (сплошная линия) и (118) (штриховая линия) при значении х=0,4; там же в виде вертикальных отрезков нанесены границы экспериментальных данных Н нкур адзе в диапазоне ке от 4 !О' до 3,24 10'. Как видно нз графика, простая формула (! 18) при х=0,4 удовлетворительно пред- ставляет действительное распределение скоростей; формула (122) при том же значении х дает несколько заниженные значения «дефекта ско- рости».
Пользуясь соотношением (122), можно следующим образом интер- претировать формулу (118). Фиксируем в плоской илн круглой трубе значение ординаты у и устремим ширину И или диаметр 51 трубы к бес- конечности. Прн малых у/И в этом случае получим вместо (122) и~в„— и 1 И = — 1п —, о, х у т. е. при И=а (а — радиус трубы) формулу (118).
Итак, действительно, рассмотренное П р а н д т л е м течение пред- ставляет предельный случай плоской нли круглой трубы, если полуши- рину И илн радиус трубы а устремить к бесконечности, а расстояние гочки от стенки трубы фиксировать. Профиль дефекта скорости (118) в '! К И ггн в и ТЬ. МесьвиимЬе ДЬп11«ЬИе1! ииб ТнгЬЕ1еик, 1Чвсьг!сЫеп бег ОевеП- всьвй бег %!ввепвоьв!1еи вн Оо!1ШКеи.— Мвбе РЬув., К!., 1930. Русский перевод см. в кнв Проблемы турбулентности.— Мс ОНТИ, 1936, с.
274 — 276. 4 122. ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 667 итал аа и„' а„ Ю г0 гг г4 гд г0 00 гг 44 гг 40 40 зг 44 40 Рис. 248 1 = — — ~ 1и ( ~ ) ~1 — У ) с! ( — ") = 4,08. (125) о Принятое в правой ча- 60 сти численное значение этого отношения 4,08 не- 00 сколько превышает вели-„—, и чину 3,75, определенную интегралом, но ближе к опыту. 00 Эта формула связи между максимальной (на оси трубы) и средней скоростью по сечению трубы хорошо подтверждается еа опыте, как это видно кз рис. 248.
В отличие от 44 ламинарного движения в круглой трубе, при кото- ог ром и ~и„=2, в турбулентном движении это от- 0г ношение уменьшается с ростом рейнольдсова числа от 1,3 при малых его значениях (ке ж 5000) до 1,15 при сравнительно больших (йеж 3 10'), Это говорит о резком от- 0« Дг 00 яФ Д0 00 47 40 00 (0 у/а Рис. 249 Т=О, где определение ! по формуле (124), в которой при Т=О числитель и знаменатель обращаются в нуль, не точно. Определим среднюю скорость в трубе и„как О г и,р — — — ~ и 2п (а — у) 4(у.
а Совершая указанное осреднение над обеими частями формулы (118), получим при к=0,4 а ~пи» иср ! у = — — ~ 1П~ — ~ ° 2п(а — у)4(у= р, хха» г а е 858 ГЛ. Хп!, зУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ личин формы профиля скоростей в турбулентном движении от параболы скоростей в ламинарном движении. На рнс. 249 профили скоростей нанесены в координатах и/и „у/а н это отличие отчетливо видно. Можно заметить, что турбулентные профили располагаются значительно выше илн, как принято говорить, более заполнены, чем ламннарные, причем степень нх заполненности возрастает с рейнольдсовым числом.
Экспериментальные точки соответствуют цитированным выше опытам Никурадзе. 9 126. Логарифмические и степенные формулы сопротнвлення гладких н шероховатых труб ррсгр Лр=) —— !г 2 (126) от рейнольдсова числа Ре=и„п/у. При равномерном установившемся течении жидкости в трубе двигссг жущий перепад Лр — уравновешивается сопротивлением трения т пг/ Ь, 4 гсср! так что из равенства Лр — = т.пй /.
следует 4 4В Лр= — т. !г Подставляя полученное выражение Лр в формулу (126), получим Ррср г„, =)г 8 нли, вспоминая еще определение величины динамической скорости В, =б:ъ х г. о = — пср 8 отсюда следует "ср 21' 2 (12Л Для вывода искомой формулы сопротивления, т, е. связи между коэффициентом сопРотивлениЯ )с и Рейнольдсовым числом Ре=и,рп/У, воспользуемся одним нз следующих двух приемов: применим формулу скоростей (116), выведенную нз условия сращивания турбулентного ядра потока с вязким подслоем, к осн трубы (и=и, ус а) нли формулу скоростей (119), при выводе которой использовано граничное условие на оси трубы, к границе вязкого подслоя.
И в том н в другом случаях Выведенные формулы распределения скоростей содержат неизвестную заранее величину о., связанную с напряжением трения на стенке трубы. Чтобы сделать задачу определенной, необходимо найти дополнительную связь между величинами о. и и,г или и„. Такая связь задается формулой сопротивления трубы турбулентному движению жидкости. Располагая формулами распределения скоростей и выражением для толщины вязкого подслоя н скорости на внешней его границе, легко выведем н искомые формулы сопротивления. Задача сводится к определению зависимости коэффициента сопротивления /с, входящего в известную по гл.
Х формулу (Лр — перепад давления на участке трубы длины /., й — диаметр трубы, и„— средняя скорость) 689 ГЛ. ХН1. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОН ВЯЗКОН ЖИДКОСТИ и диаметру находим и„, а следовате1)ьно, и число Рейнольдса йе= и„й/у. После этого по (129) находим коэффициент сопротивления Х, а затем н перепад давления Ьр на заданном участке трубы длины 1. !. 9 пер лр=л — —. г) 2 По величине Лр найдем е т =- — ри,р 8 .,ге ул — = =и.Р.
р 2г'2 Остается воспользоваться формулой скоростей (116), чтобы задача могла считаться полностью решенной. Наряду с выведенными полуэмпирическими соотношениями — логарифмическим профилем скоростей и логарифмическим законом сопротивления — большую роль до сих пор продолжают играть чисто эмпирические степенные соотношения. К числу последних относится только что упомянутая формула Блазиуса (130), которая представляет частный случай общего степенного закона сопротивления Л = с/йе'". (131) Как показывают опыты, с возрастанием рейнольдсова числа показа.
тель степени гп и коэффициент с изменяются, причем пг убывает. Пользуясь экспериментальной формулой Блазиуса, Карман' ) из соображений размерности показал, что степенному закону сопротивления (130) соответствует степенной профиль скоростей и/и „= (у/а)'l, получивший наименование закона одной седьмой. Точно так же общей формуле (131) соответствует степенной закон скоростей и/и = (у/а)". (132) Чтобы найти связь между показателями степени и и л, применим тот же способ, что и при выводе логарифмического закона сопротивления из логарифмического профиля скоростей.
Используя (132), найдем л 1 — = — ~2п(а — у) ( — ") йу= 2~ (1 — — ")( — ") й ( — ") = 0 е Применим теперь формулу (132) к границе вязкого подслоя, поло. жив У у=б,=а —, и =и,=ао,. Будем иметь откуда, согласно (127), после простых преобразований следует лл+г лм-и е Л— 2 «+г а «+ 1 1(п + 1) (л + 2) ) «+ г (133) аел+ ' ') Каггпап ТЛ. ОЬег !апппаге ппа !пгЬп!еп1е Не!Ьппя.— Ее!!асьг, 1. апяеж Мане п.
Месь., 1921, Вг). 1. $ Мб ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЕВ! Сравнивая это выражение со степенной формулой сопротивления (131), получим (134) 2« тп= —, и+ ! ь~н.а а(л-О с= 2 а а ' 1(п+ 1)(п+ 2))"+'. (135) Отсюда сразу следует, что закону сопротивления Блазиуса (130), в котором т принято равным '/„соответствует закон одной седьмой для профиля скоростей. Приводим графики Никурадзе (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
