Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 151
Текст из файла (страница 151)
Подставляя величину 1 из формулы (72) в (62) и (61), получим А =х'р ( "/ "), т=х'р ( " (73) (~„/буа)т (лтгг/Сут)а Формулы (73) были из других, значительно более сложных сообра. жений выведены впервые Карманом '), который исходил из предположе. ') К а гго а и ТЬ. Мес!гап)всие лип!!сыгец нпд Тнгбн1епг.— Масиг.
д. Оеаепаси, б'. Ъ!авеп. гн Сго!1!пяеп, Мане РЬуа. К1., 1930 (имеетсн руссниа перевод в ранее цитированном сб . Проблемы турбулентности.— М: ОНТИ, 1936, с. 2?1 — 286). П 12«СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ 635 ппя о подобии полей пульсационных скоростей в различных слоях сдвигового турбулентного потока. Формулы Кармана (72) и (73) типичны для локального подхода к изучению турбулентных движений.
Формула Прандтля (60) в этом смысле менее типична, так как остающаяся неизвестной величина пути смещения 1 оставляет открытой возможность использования для ее определения других подходов, о чем можно будет судить из излагаемых далее примеров применения формул П р а н д т л я и К а р м а н а. Остановимся на двух примерах, содержащих прямое использование теории П р а н д т л я с некоторыми дополнениями интуитивного порядка относительно закона изменения пути смешения. Обращение к этим интуитявным соображениям предполагает, кроме того, введение некоторых постоянных, значения которых определяются путем обобщения эксперинентальных данных. Это лишает теорию Прандтля строгой внутренней замкнутости и вынуждает отнести ее к области так называемых полузяпиричгскик теорий. Следует подчеркнуть, что количество подобных теорий не только в механике жидкости и газа, но и в других областях паук гораздо больше, чем это принято считать.
В настоящей и следующей главах будем широко пользоваться термином «полуэмпирическая теория». 9 124. «Свободная» турбулентность. Затопленные струи. Дальний след Переходя к применениям полуэмпирических методов расчета турбулентных потоков, выделим особо два класса движений: 1) свободные, происходящие вдалеке от твердых поверхностей и подчиняющиеся закономерностям так называемой свободной турбулентности, и 2) пристенные, в отличие от предыдущих развивающиеся вблизи твердых поверхпостей и описываемые закономерностями пристеночной турбулентности. К первому классу относятся всевозможные случаи распространения турбулентных струй в неподвижной жидкости и в спутных потоках, образования следа за телом и др.
Особенностью свободной турбулентности является отсутствие в движениях этого класса взаимодействия молекулярных и малярных процессов переноса. В этих случаях приходится иметь дело с чисто турбулентными движениями и только малярными процессами переноса, что значительно упрощает расчет. Наиболее простыми в этом случае оказываются и приемы задания коэффициентов переноса и пути смешения. Практическое значение теории турбулентных струй в современной технике( реактивные и ракетные двигатели, камеры горения парогенераторов, отопительные и вентиляционные системы, аппараты химических производств и др.) настолько велико, что эта теория давно стала самостоятельным разделом прикладной гидродинамики и ей посвящены обширные монографии'). Удовольствуемся поэтому лишь изложением некоторых наиболее интересных с теоретической стороны результатов с целью иллюстрации применений полуэмпирических методов к этому разделу общей гидроаэродинамики.
Начнем с примера непосредственного применения формулы Прандтля (60). Рассмотрим осредненное турбулентное движение в пограничном слое, образующемся в области смешения струи очень большого диаметра с Окружаюи(ей ее жидкостью той же плотности. ') Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй.— Мл Физматгиз, 1960 н вышедшее вод его редакцией в 1984 г. новое издание этой книги; Ги не вскнй А. С. Теория турбулентных струй и следов.— Мг Машиностроение, !969; Коробко В.
Н. Теория иеавтомодельных струй вязкой жидкости. Ч. Н,— Изд. Саратовского ун-та, 1977. 686 гл хгп тхрвхлентные движения ннсхснманмон вязкон жидкости Выбор осей координат показан на рнс. 234. Диаметр струи принят бесконечно большим, так что движение в пограничном слое можно рассматривать как плоское. Уравнения осредненного турбулентного движения в пограничном слое струи могут быть выведены нз уравнений Рейнольдса (15) точно так же, как уравнения ламинарного по- граничного слоя из уравнении Навье— Стокса.
Получим, отбрасывая черточки как обозначение осреднения в буквенных обозначениях, ди ди 1 дт ди до и — +о — = — —, — + — =О. дх ду р ду ' дх ду (74) у-уг ~=- В этих уравнениях в связи с отсутствием твердых, ограничиваюших поток Рис. 934 поверхностей (влияние стенки трубы вниз по потоку за точкой О не учитываем) опущены вязкие члены; кроме того, пренебрегаем производной р ди'а/дх по сравнению с дт/ду, а давление принимаем постоянным во всей области.
Следуя Прандтлю, будем счи- тать величину! постоянной по поперечному сечению области смешения струи с окружающей жидкостью и изменяющейся от сечения к сечению. Уравнение (74) представится в форме ди ди ди даи ди Ю и — +о — =га(х) — —, — + — =0 дх ду ду ду' дх ду илн, если использовать функцию тока ф(х, у) осредненного движения, — — — — — =ге (х) — —. дЕ да$ до дасг даф дав (75) ду дхду дх дуа дуа дуа Составим граничные условия.
Считая скорость в невозмушенной час- ти струи равной (у„будем иметь') Усу, — У, при у ~, х)0, до ду (76) — =сг' при х=О, у)0. дв ду Форма границы остается пока неизвестной. Недостающее третье граничное условие составляется на нижней границе (у-~ — оо) и будет, очевидно, иметь вид 8$ — -е. 0 прн у - — оо, х) О, ду (77) — =- 0 при х = О, у ( О, 8$ ду ') То!1го1еп %. Вегесьпппя 1пгьо1сп1ег АпаЬгс11ппдатогяапяе.— 2441асьг. йпяеп'. Мань и. МесЬ., 1926, Вс$. 6, 8.
468 — 478. так как область смешения граничит снизу с жидкостью, не имеюшей продольной скорости (и=О). Отметим, что вовлечение окружаюшей жидкости в струю (так называемая инжекция) имеет место н осушествляется благодаря наличию на нижней границе поперечной скорости и (рис. 234). Чтобы определить )(х) и выяснить, не является ли поставленная задача автомоделоной, т. е. не сводится ли в рассматриваемом случае урав- 6 !24 свОБОднАя туРБулентнОсгь. ЗАтоплепные стРуи 637 некие в частных производных (75) с граничными условиямп (76) и (77) х обыкновенному дифференциальному уравнению, применим рассуждееее, аналогичное тому, которое уже неоднократно использовалось в теории ламинарного пограничного слоя.
Обозначим через 7 совершенно произвольный, условиями задачи не определенный масштаб длин. В отличие от ламинарного слоя, где масштаб поперечных длин получался нз масштаба продольных длин делением последнего на УГе, в теории турбулентного слоя прн пренебрежении е уравнениях вязкими членами, а следовательно, и числом Рейнольдса, продольные и поперечные длинь! имеют одинаковый масштаб. Переходя, как обычно, к безразмерным величинам, убедимся, что уравнение (75) никакой связи между масштабами функции тока Ч' и длвн 7.
не даст, так как оно однородно относительно 4р. Из первого граничного условия (76) получим связь между масштабами функции тока, скоростей и длин ч =и,7.. Следовательно, решение уравнения (75) должно иметь общий вид (64трихи временно приняты для обозначения безразмерных координат и функции тока) 4Р'=4Р (», У ) елн ф=и,7.ф ( у) Но масштаб Е отсутствует в постановке задачи, следовательно, ему нет иеста н в решении.
Отсюда заключим, что функция 4р' должна иметь форму ф' =х'4Р (» ф=и. р(' — "1=и;р(ч); ч= — ". ~ху х (78) Определим теперь вид функции !(х), при котором такое решение уравнения (75) возможно. Вычисляя производные (далее штрих — сим- вол производной по Ч) — =и.р'(ч), — =и.-ч"(ч), — =и.— р"'(ч), д4», д44Р ! „д44Р ! ду ду4 х ' д»4 х2 д4р — =иь('Р(Ч) — Ч4Р (ЧН вЂ” = — — Ч4Р (Ч) др и, дх дхду х е подставляя нх в уравнение (75), получим после простых преобразо- ваний 44 4»4Р = гу 4Р 42 (79) Согласно (78) величина гр является функцией только Ч; следовательно, в предыдущем уравнении переменная к должна отсутствовать.
Зто приводит к равенству 1=сх, (80) где с — эмпирическая постоянная, зависящая, как показывают опыты, от турбулентной структуры пограничного слоя, т. е. от предыстории потока. Действительно, прн этом масштаб 7. выпадает н размерная функция тока будет иметь вид 633 ГЛ. ХПЬ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Уравнение (79) сводится после этого к обыкновенному дифференциальному уравнению ф" (с'ф'"+1р) =О, распадающемуся на два: саф"' + ф = О, (81) р"= О.
(82) Уравнение (82) соответствует движению в невозмущенном ядре струи, т. е. двум первым равенствам (76), которые, согласно (78), мож. но теперь переписать в виде ф(Ч) = Ч, ф'(Ч) = 1. (83) Обозначим через Ч, наименьший положительный корень уравнения ф'(Ч) =1 и через Ч, наименьший по абсолютной величине отрицательный корень уравнения ф'(Ч) =О. Тогда, согласно (76), (77) и (78), равенства =1!1 и Ч= У (84) представят уравнения прямолинейных границ пограничного слоя смешения струи с окружающей ее жидкостью, а ширина струи Ь(х) определит- ся разностью 1,В Ь(х) = (Ч,— 11,)х. (85) аг Сравнивая (80) и (85), убедимся, ав что принятое ранее допущение о постоянстве пути смешения по сечению струи эквивалентно допущению о пропорциональности пути смешения ширине струи в данном ее сечении. Такое в предположение вместе с допущением -гл -ы -и1 о зависимости введенной постоянной с от предыстории потока, т.
е. от дви. Ряс. 233 ження до выхода струи в затопленное той же жидкостью безграничное про. странство, уже лишено того локального характера, как сама формула Прандтля (60). Интегрируя обыкновенное (задача автомодельна1) линейное дифференциальное уравнение третьего порядка (8!), получим общий его инте. грал в форме —,' чч! 1 з ф(Ч)=С,с "+е' (С,соз — аЧ+С,з!и — аЧ), 2 2 где а=с "' представляет единственную эмпирическую постоянную зада. чи. Для определения постоянных интегрирования С„С, и С„и граничных значений Ч, и Ч, имеем четыре уравнения ф (Ч ) =0 ф (Ч ) =1 ф(Ч ) =Ч ф (Ч-) =0 н одно дополнительное ф (11,) =О, выражающие условие плавности перехода скоростей к заданнь1м значениям на границах области смешения.
Опуская простые выкладки, связанные с вычислением этих постоянных, приведем результаты: С,= — 0,0062, С,=0,987, С,=0,577, ат1,=0,981, ссЧ1= — 2,04. На рис. 235 показаны кривые распределения продольных и поперечных скоростей в области смешения. Проведенные в лаборатории Прандт- $124. «СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ 639 дя опыты прекрасно подтвердили теорию и дали возможность определять значения постоянных с или а; они оказались равными: с=0,0246, а=11,8. Ширина Ь области смешения, согласно (85), при этом равна Ь = — 'х = 0,255х.
11,8 Изложенный расчет может быть применен при проектировании аэродинамической трубы с открытой рабочей частью, на границе которой образуется описанная выше область смешения '), Рассмотрим теперь затопленную осесимметричную незакрученную струю'). Примем ось струи за ось Ох. Обратимся к уравнениям Рейяольдса в цилиндрических координатах (21) и произведем в них упрощения, соответствующие общим положениям пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
