Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 148
Текст из файла (страница 148)
стн, плотности, температуре и др. Рассматривая, например, установившееся осредненное турбулент. ное движение в плоской трубе (рис. 232), представляют себе линии то. ка осредненного движения в виде прямых, параллельных оси трубы, Это в стратификация по скорости. При установившемся движении во всех сечениях трубы имеет место одинаковый профиль осредненных скоростей и(у). Форма профиля зависит от свойств турбулентного движе. ния и будет в дальнейшем определена.
Линии тока пульсационного дви. жения пересекают линии тока осредненного движения, проникают из одного слоя осредненного движения в другой и создают при этом перемешиванне жидкости сквозь площадки, расположенные вдоль линий то. ка осредиенного движения. Такого рода перемешивание — его называют турбулентным или мо. лярнь1м перемешивание»1 — сопровождается, подчеркнем еще раз, переносом сквозь границу между слоями импульса, энергии и других механических илн термодинамическнх параметров осредненного движения жидкости, тепла, а также заключенных в жидкости примесей (напри.
мер, дыма илн пыли в воздухе, ила нлн песка в воде и т. п.). Перенос количества движения (импульса) создает турбулентное трение между слоями, перенос тепла обусловливает турбулентную теплопроводность, перенос примесей — турбулентную диффузию этих приме. сей. Мехати1зл1 турбулентного перемешивания одинаков как для трения, так и для теплопроводности или диффузии; разница заключается лишь в особых свойствах переносил1ой пульсационным движением субстанции — количества движения, тепла или примеси.
$ г22. пеРенОс импульсА, теплА и пРимесей 825 В 1877 г. Ж. Б у се и песк '), опираясь на аналогию между ламинарным движением вязкой жидкости и турбулентным осредненным ее цввжением, предложил получившую широкую известность формулу для цасательного напряжения т, между слоями осредненного движения (рве. 232) г!и тг=А— оу (43) Это равенство по своему внешнему виду напоминает формулу Ньютона (1) гл. Х. Разница лишь в том, что, вместо динамического коэффицвеита обычной (молекулярной) вязкости )г, в формуле (43) стоит существенно больший динамический коэффициент турбулентной (малярной) вязкости А, получивший вначале наименование коэффициента турбулентного перемешиеания (Ацз)ацзс)гцгоззе по Прандтлю), а под а подразумевается осредненная скорость турбулентного движения жид. кости.
Подобно тому как динамический коэффициент вязкости представляет физическую константу жидкости или газа при данных их термодицамических состояниях, коэффициент пропорциональности А также вначале рассматривался как постоянный, совпадающий по размерности с р коэффициент. Расчеты турбулентных движений жидкости, произвецепные в этом простейшем предположении о постоянстве величины А, показали, что для согласования результатов этих расчетов с опытом величина А должна на много порядков превосходить )в. Как исторический курьез можно отметить, что известный специалист по динамике атмосферных движений воздуха Ричардсон сравнил динамический коэффициент турбулентной вязкости воздуха А с аналогичным коэффициентом вязкости )в сиропа, а кинемагический коэффициент А)р с кинемагнческим коэффициентом ч вязкости сапожной ваксы.
Объяснение этоиу на первый взгляд аномальному обстоятельству дал, по-видимому, впервые Г. А. Л о р е н ц '), указавший, что в турбулентных движениях трение — турбулентная вязкость, в отличие от обычной вязкости, обусловливается переносом сквозь слои движущейся жидкости количеств движения не микроскопических частиц, а перемешнвающихся конечных объемов среды. Эта идея Лоренца получила свое дальнейшее развитие в период !915 — 1925 гг. в работах Тейлора, Ричардсона н Шмидта' ), создавших до появления работы Прандтля (см. далее) модель турбулентного перемешивания и указавших роль понятия «пути перемешивавия».
Выведем общую формулу турбулентного трения в простейшем случае установившегося ил ос кого прямолинейного осредненного движевия, представленного на рис. 232. Рассмотрим элементарную площадку йб=йх 1, параллельную линии тока осредненного движения и находящуюся на расстоянии у от твердой стенки. Через эту площадку проходят линии тока пульсационного движения и переносят количества движения (импульсы) смежных слоев, расположенных как сверху, так и снизу от площадки на некотором расстоянии )'/2, причем скоростью переноса служит Поперечная к осредненному потоку пульсационная ско- ') В о ива ! пев 9 з.
Евва! внг !а Гпеопе бев еапк сопгап1ев.— Ратно Мепюггев ргевеп1еев раг Шчегвев вачап1в а 1'Асаб. б. Вс!., 1877, ч. 23. ') ).о ге п12 Н. А. Чогвсп!айеп бег А)габ. чоп ЧЧе1епвс)!арен.— Агпв1егбапт, 1897, Вд. б. ') К ел л е р Л. В. Теория конвекпин н турбулентной атмосфере по Тэйлору, Ричардсону и Шмидту.— Изн. Гл. Геофизической обсерватории, !931, № 4, с. 3; там же обширная библиография. 626 ГЛ.
ХН». ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ рость о'. Касательное напряжение турбулентного трения и =п„„для краткости обозначим через т, и определим как среднюю во времени проекцию на ось Ох отнесенного к единице площади переноса количества осредненного турбулентного движения через площадку, расположенную вдоль линии тока. Понимая под т»йо силу трения, приложенную от верхнего слоя, где осредненные скорости больше, к нижнему, будек считать количество движения, прошедшее из верхнего слоя в нижний, приобретенным, т.
е. положительным, а количество движения, перене. сенное из нижнего слоя в верхний, потерянным, т. е. Отрицательным. Тогда, обозначая чертой сверху среднюю во времени, найдем т»йо=ро' ~и (у+ — ) — и (у — — ) ] до нли, заменяя приближенно — l р ай и (у .+ — ) = и (у) ~= —— 2 2 йу и произведя очевидные сокрашения, получим — —,, йи т, = — риЪ' = ро'1'— иу (44) Сравнивая равенство (44) с (43), получим выражение для коэффициента турбулентного перемешивания А (р — константа) А = ро'1', (45) (46) где а и Ь вЂ” зависящие от структуры турбулентного движения скаляры, Š— тензорная единица, компоненты которой равны символам Кроне- кер а б»». Сравнение (46) с выражением (43) для простейшего вида ос- редненного движения дает а=2А, (47) а приравнивание линейных инвариантов слева и справа в формуле (46) позволяет заключить, что Ь = — — р (о,' + о,,' +. о,') = — — р (о,' + о', + о,') = — — р/г, (48) где, по-предыдущему, й представляет собой приведенную к единице придающее благодаря наличию скорости о' и Г этой эмпирической величине внутренний, связывающий ее с механизмом турбулентного перемешивания смысл.
Конкретизированная выражением (45) формула Б у с с и н е с к а (43), выведенная для простейшего прямолинейного сдвигового движения, в полной аналогии с рассуждением, изложенным в начале гл. Х, обобщается на случай любого пространственного движения. Введем допущение о локальной изотропносги механизма турбулентного перемешивания. Это означает, что коэффициент А является скалярной величиной. Предположение об анизотропии этого механизма привело бы к резкому усложнению математической стороны задачи, вы. званному тем, что величина А стала бы в этом случае тензором четвертого ранга.
Будем иметь, предполагая связь между тензором рейнольдсовых напряжений П [см. (17), (18)] н тензором скоростей деформаций в осредненном движении 5 линейной, П =а5+ ЬЕ, $122. пеРенос импульсд, тепла н пРнмесеп 627 кассы кинетическую энергию пульсационного движения 1 И = — Пгэг. 2 (49) В дальнейшем остановимся на общепринятых обозначениях А=рг, — =уь А (50) Р гйе р, и у,— соответственно динамический и кинематический коэффицип)ты «турбулентной вязкости». Тогда придем к следующей форме обоб. п)енной гипотезы Б у с с и н е с к а: П = 2)ыЯ вЂ” — рйЕ, 2 3 а в прямоугольной декартовой системе пц = — роги) = 2р131) — — рйбг) = рг ) — + — '! — — р (п~п,„) бО. (52) 3 ), дх) дхг ! 3 Величину — пмпм = Рг 3 (53) важно было бы назвать «турбулентным давлением», а равенству (52) придать форму — )' д., д.. ') Пг! = — рпгп) = 111 | — '+ — — Р1611Т ! (, дх; дхг ) (54) ') См.
по этому поводу содержаший много интересных замечаний исторического характера курс: Форхгеймер Фл Гидравлика/Пер. с нем — Мл Лх ОНТИ, 1936. 1) Цитируем по монографии: Х и н ц е И. О. Турбулентность.— Мх Физматгиз, !963, с. 607. и правой части аналогичную обобщенному закону Ньютона вязкой жидкости (!О) гл. Х. Формула Б у се и не ск а в своем начальном виде (43), а в дальйейшем и в обобщенной форме (51) или (52) получила широкое примейенне в гидравлике, метеорологии, океанологии и других областях техники и естествознания. При этом делались различные допущения о характере изменений в потоках величин )г, и у„от постоянства которых вскоре отказались').
Как заметил сам р В у с с и н е с к, и это потом было подтверж- 37 к йеио опытами, )г, и у, изменяются по сечению, нормальному к потоку в трубе или в пограничном слое, возрастая от нулевого значения па обтекаемой твердой поверхности до некоторого максимума, после чего убывают до мнпнмального значения на оси трубы или на и 7Р пд зп аа уп па внешней границе турбулентного пограничного слоя. О резком возрастании )г,=А с удалени- Рис 233 ем от твердой поверхности. можно судить по 3 ис.
233, изображающему результаты опытов ж. Лауфера по трубам (кружки на графике) и Г. Шубауера (крестики) по пограничным слоям '). По оси абсцисс отложено расстояние от твердой стенки, отнесенное к имеющей размерность длины величине У)ш, гДе ш=~т ~Р, а ти — напРЯжение тРениЯ на стенке. По оси ординат для сравнения с обычной молекулярной вязкостью нанесено взз гл, к~ ~к тл вглентныг движения нгсжнмаемоп вязкоп жидкости отношение !г,/!с=А/!г. Можно заметить, что при приближении к твердой стенке коэффициент турбулентной вязкости быстро убывает. В метеорологии и океанологии часто рассматривают величину А=!г, как возрастающую функцию расстояния точки измерения от поверхности Земли или дна океана. Формула Буссинеска исторически явилась крупным шагом по пути замыкания уравнения переноса импульса (16), позволив выразить шесть неизвестных рейнольдсовых напряжений через одну неизвестную !го но все же ие дала полного решения проблемы замыкания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
