Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 144
Текст из файла (страница 144)
Возвращаясь к системе (15) уравнений неразрывности и переноса импульса, заметим, что в совокупности этих четырех уравнений имеется десять неизвестных (о„ р, нв, 1, /=1, 2, 3). Уравнения (15) не представляют, таким образом, замкнутую (определенную) систему уравнений, а поскольку избыток неизвестных относится к рейнольдсо. вым напряжениям не= — ро1о1з естественно попытаться вывести из уравнений Навье — Стокса уравнения переноса рейнольдсовых напряжений и тем самым замкнуть систему уравнений (15).
Составление уравнений переноса не не представляет труда. Обратимся к первому уравнению системы (12) и выразим в нем каждую актуальную величину как сумму осредненной и пульсирующей величин. Результат этой замены можно представить в виде д — — др д1Р1 д р + р — (о1о~) + — — р — + — (ро1о1') + д1 дх дх1 дх дхг дхдо; д — ° — ° др' дхе1 + р — '+ р — (о1о~+ о1о1)+ — — р д1 дх. дх1 дх.дх1. д ° д — — ( — ро1о;) — — (ро;о1) = О.
дх~ ' дх,. Замечая, что, согласно первому уравнению (14), первая строка равна нулю, придем к следующему уравнению для пульсаций скорости: де1 д — — др' р — + р — (о1о;+ о;о) + — = д~ дх. дх1 д У = — ~ р — ' — ро1о;+ ро1о1] (1'=1, 2, 3). (28) дх, ~ дх~ Меняя в этой системе уравнений «свободный» индекс 1 на и, получим аналогичное (28) уравнение для о„' р — + р — (о,о; + о1о,) + — = ы'х д — ° — ° др' д~ дх, дх„ / де„ = — ( р †" — ро„о1 + ро,о1) (и = 1, 2, 3). (29) дх~ (, дх. Умножим обе части (28) на о„'.
а обе части (29) на о,' и сложим результаты. При этом примем во внимание вытекающее непосредственно из последнего уравнения системь1 (15) равенство д ° — — д (О1ОхО1) — О1 (О1Ох) ~ дхз а также заметим, что д ° д д о1 — (о„о1) + о, — (о1о1) = — (о1о,о;). дх. дх, дх $ МЦ УРАВНЕНИЯ РЕИНОЛЬДСА ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 613 Группируя в полученных равенствах члены и деля обе части на р, получим — (сусп) + оу' — = ( оуоу — + опо( — )— д! дху ( дх.
' дху дьу дсп р Удип дьу ! д ° ° 1 д — 2У вЂ” —" + — ( —" + — ) — — (оуо„о;) — — — (о„р')— дх. дху р [ дху дхп ) дх. ' р дху 1 д, ~ дьуьп д ° ° д 1 — — — (оу ') + ' " + оп — (огоу) + оу — (спс,'), (3(1) р дхп дх,.дх. дх. ' дх. 1 где! — «немой» индекс, У, л=1, 2, 3. Введем обозначение для двойной одноточечной корреляции, или асиента второго порядка, 1 стоп = туп = — — пуп ° (3! ) р Проведем операцию осредненпя (6) над обеими частями уравне- ппй системы (30), используя правила осреднения (7) — (1!); тогда по- лучим искомую систему уравнений дУи дтуп У дпп дсу '1 йпу й~п — + оу —" = — ~туу — + тпу — ) — 2у — — + дУ дху ~ дх. ' дх. ) дх, дх.
у р (, дху дхп ) дх,. р дх~ 1 д ', д туп — — — (о;р') + т '" (32) р дхп дх,.дх,. плн, объединяя последние четыре члена в правой части и используя очевидные равенства (би — символы Кронекера) д °, д — (опр') = — (бууопр'), дху дху д °, д — (оур') = — (бпуоур'), дхп дх. приведем уравнения (32) к виду дУ дху ~ дху дх. ) дху дх,. дх,. / Останавливаясь на этой форме уравнения переноса корреляции пульсаций скорости т,.= оуо„, поясним физическое значение слагаемых входящих в уравнение (ЗЗ). Слева стоит индивидуальная производная т по времени, складывающаяся из локальной и конвективной производных, причем последняя соответствует переносу т,. осредненным потоком. Обычно явление, выраженное этой частью уравнения (33), именуют адвекцией. Уравнение (33) представляет собой баланс адвекции со стоящей справа суммой слагаемых. Первое из них содержит отнесенные к единице массы компоненты тензорных произведений тензора гурбулентньух напряжений П на дифференциальный тензор поля осредпенных скоростей.
Совокупность этих произведений естественно тракто- в14 гл хн!. Туевулентные движения несжнмхемой вязком жидкости вать как мощность, затраченную полем осредненных скоростей на образование рейнольдсовых напряжении. Сообразно с этим первое слагае мое справа называют генерацией, нлн порождением турбулентности. Эти два члена уравнения (33) имеют наглядное значение и подда. ются измерению. Второе слагаемое справа, как содержащее кинематический коэффициент молекулярной вязкости и осредненную сумму по. парных произведений компонент дифференциального тензора поля пульсационных скоростей, представляет «скорость дисснпации».
Менее р ~~л ~! наглядным и трудно измеримым является слагаемое — ~ — + — ~, р (, дх! дх„ »~' имеющее смысл корреляции пульсаций давления с тензором скоростей деформации поля пульсационных скоростей. Наконец, последняя груп. па слагаемых, стоящая под общим знаком дифференцирования д(дхь представляет «дивергентную» часть, имеющую смысл диффузии как за счет пульсаций скоростей н давлений, так и за счет вязкости. Из уравнения (ЗЗ) легко выводится уравнение переноса отнесенной к единице массы и осредненной обычным образом кинетической энергии пульсационного движения 1 ° 1 I! = — о;о, = — та. 2 2 (34) Для вывода этого уравнения положим в уравнении (ЗЗ) и=! и сохра. ним правило суммирования по повторяющемуся дважды в одночленах индексу.
Непосредственно получим д» ! — д»н дй! д,'. д.,' — "+ о! —" = — 2тн — ' — 2у — ' — ' + д! ' д»! ' дх,. дх! дх! + 2 Р— ' — — ( о»о»о»+ — о,'р' — ч — и) р дх! дх. ~ р ' дх./ ! илн, принимая во внимание обозначение (34) и замечая, что, согласно (16), третий член справа равен нулю, придем, сокращая на множитель 2, к искомому уравнению переноса кинетической энергии пульсаций дг — д!» ~! др! К д ! (»!»р! р' 1, дя 1 — + о, = — тц — ' — У вЂ” — — !(о! ~ — + — (! — т — !. (35) д! ' дх. дх! дх! дх.
дх. ( (, 2 р ( дхг ) I Уравнения (33) и (35) получат применения в следующей главе и вместе с уравнением переноса скорости диссипации, вывод которого опустим, послужат основой современных методов расчета турбулентного пограничного слоя. Все только что упомянутые уравнения переноса, а также и другие (уравнения переноса пульсаций вихря, коэффициента турбулентной вязкости и др.) обладают основным недостатком; кроме искомых, они содержат еше дополнительные характеристики турбулентности (тройные корреляции пульсаций скорости, корреляции этих пульсаций с пульсациями давления и др.), причем по мере присоединения к системе уравнений переноса новых уравнений возникают и новые неизвестные корреляционные члены. Так, при составлении предыдущим методом уравнений переноса тройных корреляций пульсаций скорости появляются четверные корреляции и т.
д., причем доказано экспернменталь. но, что двойные, тройные и следующие по порядку корреляция пульса. ций скорости растут по абсолютной величине, что препятствует сходи мости методов. 615 й !2!. О ВНУТРЕННЕП СТРУКТУРЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ Так возникла основная в теории турбулентности проблема замыкаанд системы уравнений турбулентного движения, уже давно привлекавщая внимание исследователей, но пока еще далекая от своего разрешения. На пути решения этой фундаментальной проблемы созданы иногочисленные приближенные методы статистического подхода к репению задач теории турбулентных движений и, в частности, достаточю достоверные методы расчета турбулентных пограничных слоев, о чем будет идти речь в дальнейшем.
Все эти поиски сводятся к выра- кению входящих в уравнения переноса сложных корреляций через боже простые, относительно которых легче выдвигать дополнительные п)ображения, замыкающие постановку задачи. На этом пути достигнуты большие успехи, подкрепляемые широкими возможностями методов численного расчета на ЭВМ, которые день ото дня совершенствуются. В задачи настоящего учебника не может входить изложение этих чрезвычайно разнообразных, подчас идейно схожих между собой методов, одно перечисление которых заняло бы много места.
Отошлем читателя к нескольким монографиям и обзорам по этому вопросу'). 9 121. Некоторые сведения о внутренней структуре турбулентных потоков Изложенные в предыдущем параграфе уравнения переноса носят общий статистический характер, но отражают в какой-то мере физиче. скис процессы, происходящие в действительности. Понимание этих процессов требует проникновения во внутреннюю структуру т) рбулентннх движений, которую мы сейчас вкратце осветим. Как уже упоминалось в 99 119 и 120, турбулентный поток обладает сложной вихревой структурой, содержащей разнообразные вихревые образования, разнящиеся как по форме, так и по размерам.
Говоря о размерах вихрей, подразумевают их некоторые средние размеры и при этом различают мелкомасштабные и крупномасштабные вихревые системы. В процессах переноса количества движения и кинетической энергии пульсаций, а 'также рейнольдсовых напряжений и других турбулентных характеристик, участвуют вихри разных масштабов. Особое кесто занимают крупномасштабные, «большие» вихри. Изучением их взаимодействий занимается сравнительно новый раздел теории турбулентности, посвященной так называемой когерентной турбулентности' ), которая образуется в турбулентных струях, «следах» за обтекаемыми телами, в предотрывных областях «пристенных» турбулентных пограничных слоев, а также в природных условиях (смерчи, циклоны) ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
