Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 143
Текст из файла (страница 143)
ределения закона осреднения (6) свойствами, можно получить дифференциальные уравнения Осредненного движения несжимаемой жидко. сти. Следует лишь предположить, как это и сделал Рейнольдс, что действительное (актуальное) движение, несмотря на всю его иррегуляр. ность н влияние на него случайных обстоятельств, связанных с пред. историей потока, все же строго описывается уравнениями Навье— С т о к с а.
В этом простом, но далеко не очевидном допущении заклю. чается основная идея общего подхода к описанию турбулентных дви. жений, выдвинутая Рейнольдсом. Надо заметить, что сушествующие попытки создания чисто статистической теории турбулентных движений, не опирающейся на уравнения Навье — Стокса, не привели к сколько. нибудь существенным результатам. Положив в основу дальнейшего это принципиальное положение, обратимся к составлению уравнений для осредненных по предыдущему приему скоростей и давлений.
Для этого уравнения Н а в ь е — С т о ко а в актуальных скоростях и давлениях (опускаем объемные силы и под. разумеваем суммирование по дважды повторяемому в одночленах индексу 1) Х~! до, др дЬ! Р— +Ро) — = +)г д! дх) дх! дх дх! «Ь/) — ) = О (!' = 1, 2, 3), дх) ') Термин «момент связи» был впервые введен А. А.
Ф р и д м а но м и Л. В Келлером в их основоиолагаюгцем докладе «Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости», сделанном на Первом международном конгрес. се по прикладной меканяке в Дельфте (Голландия) в 1924 г. (см. Ргосеед. о(1ЬеР1га1 1п1егп. Сопят. 1ог Арр1. МесЬ.— Эе!11, Но1!апд, 1924, р. 395 — 405). Э 120 УРАВНЕНИЯ РЕИНОЛЬДСА ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 609 нспользуя последнее уравнение, перепишем в виде 6'2 6 (888~) д» 628.
Р д1+Р +" дх. дх8 дх.дх. ) (12) Й~. — ' = О (! = 1, 2, 3). д», Произведем в этой системе уравнений замену актуальных скоростей 8, н давлений Р на осредненные ГА р и пульсационные о', Р' по (5) о =ог+о. (1=1, 2, 3), Р=Р+ р . Тогда, замечая, что о2О1 = (о. + О2) (о; + о)) = о8о; + о2о~ + о)о,' + оо,'э е осредняя обе части равенства по времени согласно (5), будем в соответствии с принятыми правилами (7) — (! 1) иметь ОЮ; =О;О;+ О2ОП (13) Осредняя по (б) обе части уравнений 1-!авье — Стокса и используя (13), получим 6 (";")) дР 6 88 д Р +Р = +Р— + ( РО2о)) д) дх; дх, дх,дх,.
дх,. (14) 68. — '=О, дх,. елн, используя последнее уравнение системы (14), д»2 — д»2 6~> д288 6 Р + РВУ = + Р + ( РО2о2) «Ч дх. дх2 дх,.дх. дх,. l ! ! (15) др. = О. дх. ! Заметим, что из последних равенств систем (12) и (15) непосредственно следует равенство д», — '=О, (! 6) ах) 20 - 8482 выражающее условие несжимаемости жидкости при пульсационном движении. Уравнения Р е й н о л ь д с а (15) можно рассматривать как первые в общей системе уравнений переноса турбулентных характеристик потока, а именно как УРавнеииа пеРеноса количеств движениЯ Р»ь или, как еще говорят, переноса импульса, и, соответственно этому, уравнения (15), содержащие в качестве искомых неизвестных у, (1= =*1, 2, 3) и р, называть «уравнениями моментов первого порядка», Отметим положение, которое будет далее подтверждено в более общем случае: уравнения (!5), служащие для определения иь содержат в своем составе «моменты второго порядка» о2о;, делающие эту систему незамкнутой.
Как вскоре будет показано, уравнения, которые должны определять входящие в уравнения (15) «моменты второго порядка», окажутся содержащими «моменты третьего порядка» и т. д. 61О ГЛ. ХНЬ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Так уже с самого начала установления уравнений переноса турбулентных характеристик потока обнаруживается незамкнутость системы уравнений переноса. Проблема замыкания этих уравнений не получила до сих пор рационального решения и требует в каждом отдельном случае введения дополнительных, имеющих только приближенный характер, допущений. Вспоминая общие уравнения динамики жидкости «в напряжениях» дог др,г р — + Рот — = ' =7)Ь,Р (г'=1, 2, 3), дг дг, дг1 можем сказать, что уравнения осредненного турбулентного движении (15) отличаются от уравнений Н а в ь е — С т о,к с а наличием дополнительного тензора турбулентных напряжений — Ро — ро о — ро ь з з 1 3 П вЂ” Ро, ь, — ро — Рь „ь.„ Розге Розов Роз (17) с компонентами Йг1 = Ригиьз (!8) Тензор П, очевидно, симметричен; компоненты его (18) называют рейнольдсовыми напряжения,ии.
Рейнольдсовы напряжения имеют физический смысл компонент осредненного переноса количеств пульсационного движения (импульса) пульсационнымн скоростями. Вот по. чему первое уравнение (15), содержащее в правой части производные рейнольдсовых напряжений, носит еще наименование уравнения переноса импульса (количества движения) пульсаций скорости. В дальнейшем будем придерживаться краткого наименования первого уравнения (15) как «уравнення переноса импульса». Будем называть тензоролг полного (суммарного) напряжения тензор Р, равный Р = — РЕ+ 2р5+ П и имеющий компоненты (19) г' диг до,.
з Ри= Рбгт+р ~ — + — ) +1 — Роеог) (20) дхт дзг ) Опуская аналогичный предыдущему вывод, выпишем уравнения переноса импульса в цилиндрических координатах 1 ди, до, ов до, — до, оз1 дг дг г де дг г, др (дзо, 1 ди, 1 дзо, дзо, ь', 2 до 1 д * 1 д ° ° д ° 1 + — — ( — гро, ) + — — ( — ро,о,) + — ( — ро,о,) — — ( — ро,), г дг де дг г 1 див — дое ое дов — дов огиз 1 Р ~ — '+., — '+ — ' — '+; — '+ — '~ = дг дг г де дг г др 1 д'ов 1 дое 1 д'оз дзоь ов 2 до, 1 — +1з ~ — + — — + — — + — — — + — )+ г де, дг' г дг гз де' дгз гз гз де ) д «1 д ' д ° 2 + — ( — ро,о,) + — — ( — ро, ) + — ( — ро,о,) + — ( — ро,о,), (21) дг г де дг г У СМ УРКВНВНИЯ ВВИНОЛЬДСЗ ОСЕЕДНЕННОГО ДВИжвНИЯ В1! (дг, — до, Р, дгг дс,') +Ог + +Ог )= ~ д! дг г дг дг ) дР 1Р"Рг ! дсг 1 дег дсг! 1 д = — — +р ~ — + — — + — — + )+ — — ( — р ..)+ дг (.
дгг г дг гг дгг дгг ) г дг 1 д " д + ( Роеог) + ( Рог )~ г дг дг д — 1 д — д — (го,) + — — (гог) + — (го,) = О. дг г дг дг Компоненты полных будут: дс, р„= — р+ 2р — '— дг напряжений в цилиндрических координатах (! дог Рог ~ рех= Р+ 2!г1 + ) Рог| !г де г) де, Ргг = — Р + 2!г — Рог, дг (22) ( й~ ! д~, Ргг = !х ! + — ) Рог!!а, 1 дг г дг г ) Тот же прием осреднения, что и при выводе уравнения (16), но приневенный к уравнению (174) гл. Х, позволит получить следующее ураввевне распространения тепла в турбулентном движении: абдт — дТ вЂ” дТ вЂ” дТ 1 д I дТ рс, ~ — + и — + о — + го — ) = — [ Х вЂ” — рс и'Т') + ~ д! дх ду дг) дх, дх + — ~! — — Рого'Т') + — ~ Х вЂ” — рога'Т') .
(23) ду 1 ду ) дг ~ дг Здесь действительная (актуальная) температура Т представлена суммой осредненной температуры Т и пульсационной Т'. Физические коистанты: плотность р, коэффициенты теплоемкости с и теплопроводности к предполагаются постоянными. Вектор д с компонентами Дх = — Реги'Т', Д„= — Рого'Т', уг = — Рс,иг'Т' (24) выражает турбулентный поток тепла. Уравнение (23) в цилиндрических координатах будет иметь вид ! дТ дТ Рг дТ дТ ! 1 д ( дТ рср1 — +о. — + — — +о* — ) = — — 1Хг — — рс,го,Т') + '1 д! дг г де дг ) г дг (, дг + — — ( — — — рого,Т') + — () — — рс„о,Т') .
(25) г дг (, г де ) дг (, дг Заменяя в уравнении (23) удельное теплосодержание (энтальпию) с,Т на концентрацию примеси некоторого вещества с, получим ураввение турбулентной диффузии этого вещества 1дс — дс — дс — дс1 д Г дс р ~ — + и — + о — + го — ) = — ~р0 — — ри'с') + (д! дх ду дг) дх ~ дх + — ( р0 — — ро'с' ) + — [ р0 — — рго'с' ), (26) ду(, ду ) дг, ог ЯЗ ГЛ ХН1. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ где 0 — коэффициент обычной молекулярной диффузии вещества в смеси, а вектор т= — ру"с' с компонентами т, = — Ри'с', п1У = — Ро'с', п1, = — Ри~'с' (27) является вектором турбулентного потока вещества. Можно заметить, что уравнение (26) отличается от (23) заменой с,Т на с и Х вЂ” на р(х; по такому же правилу получим из (25) уравнение турбулентной диффузии в цилиндрических координатах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
