Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 150
Текст из файла (страница 150)
Более того, характеризуя соотношения между молярными (посредством конечных объемов) переносами, на много порядков превосходящими молекулярные переносы, турбулентные числа Прандтля и Шмидта лишь слабо зависят от своих яолекулярных значений, Если, скажем, числа Прандтля (молекулярные) для вязких масел и жидких металлов разнятся в миллионы раз, то турбулентные числа Праидтля в подобных движениях столь физически друг от друга отличающихся сред близки друг к другу. «Носителями» переноса различных субстанций являются одни и те же «вихревые» массы, но процессы их смешения с окружающей средой могут быть различными для разных субстанций.
Отвлекаясь от активно- 632 ГЛ. Х1Н. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОИ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ сти этого процесса на пути перемещения «носителя» из начального слоя в конечный, т. е. считая субстанцию пассивной, можно полагать, что ко. эффициенты переноса должны быть равны между собой, а следователь. но, по (67) турбулентные числа Прандтля и Шмидта равны единице, На самом деле переносимая субстанция не полностью пассивна, а имеет место некоторая разница в активности твпломассопереноса по сравне. нию с переносолг импульса (трением).
Это приводит к тому, что турбу. лентные числа Прандтля и Шмидта отличаются (не слишком сильно) от единицы то в одну, то в другую сторону. Существует обширная литература по экспериментальному определе. нию турбулентного числа Прандтля, особенно для такого «крайнего» случая, как турбулентные движения жидких металлов, в которых молекулярная теплопроводность очень велика по сравнению с вязкостью (числа Прандтля в ламинарном движении имеют порядок 10 ' — 10 '). Однако и в этих случаях турбулентное число Прандтля оказывается близ. ким к единице, оставаясь в пределах 0,5<Рг,<2'). В исследованиях по турбулентному теплообмену в газах чаще всего полагают Рг,=! или 0,7. К сожалению, результаты экспериментальных работ по определению средних величин турбулентного числа Прандтля из-за многих усложняющих обстоятельств (определение производных от скоростей и темпера.
тур, заданных неточными экспериментальными кривыми, загрязненность поверхностей и др.) мало точны, а иногда даже противоречивы. Так, например, по опытам Людвига (1956) ') Рг, возрастает от стенки к оси трубы, а по опытам Сляйхера (1957) '), наоборот, убывает. Теоретическая сторона этого вопроса плохо поддается изучению даже в полуэмпириче.
ской постановке. Некоторые шаги в этом направлении все же сделаны как в Советском Союзе' ), так н за рубежом '). Простейшим и практически часто достаточным является допущение о пассивности переносимой субстанции и, следовавательно, о равенстве чисел Рг, и 5«, единице. Это допущение с успехом использовалось в исследованиях теплоотдачи со стенок труб и в других случаях пристеночной турбулентности, но оказалось непригодным для движений в условиях свободной турбулентности (струи, следы за телом). Возвращаясь к теории Праидтля, можно отметить сходство введенно. го в ней понятия «пути смешения» с длиной свободного пробега молекулы, фигурирующей в кинетической теории газов. Отдавая должное теории «пути смешения», нельзя не заметить ее ограниченности, заключающейся в применимости только в той области потока, где йи!йуФО.
При приближении к оси трубы или внешней границе пограничного слоя, где с(й/йу=0, роль первой производной от осредненной скорости исчезает. Равенство ее нулю по формулам Прандтля (59) означала бы равенство нулю пульсацнонных скоростей и', и', что не отвечает действительности. Необходимость замены в формуле Прандтля входящей в нее первой производной стар!ними по порядку производными была, в частности, указана самим Прандтлем, но не получила свое- ') Обзор исследований этого направления можно найти в монографии; Кутателадзе С. С., Бори!панский В. М., Новиков И. И., Федынский О.
С. Жнд. кометаллическне теплоносители.— М Атомнздат, 1967. ') Еоб и ге я Н. Вез!!пггпнпя без Т!егьа!!п)ззез бег Анз)апзсыгоеН!Меп1еп Иг 'йгагпте ппб !гпрп!з Ье) 1нгЬп!еп1еп Огепззсмсыеп — Хеизсьг. 1. Г!нянг)зз., 1956, Вб. 4, Н.
112. ') 5! е ! с Ь с г С. Екрегппеп!а) че!оспу апб 1егпрега1нге ргоРПез 1ог а!г гп Гнгйн1еп1 р!ре Вов — Рарег А5МЕ, 1957, № 57-НТ-9. ') Воскресенский К. эд, Турнлина Е. С вЂ” В кнд Теплопередача и тепловое моделирование — Мд Изд-во АН СССР, !958, с. 87. ') О т«уе г Е. О. Еббу ггапзрог1 !п !!Чн!б-гпе!а) Ьеа! 1гапз)ег.— Аптег, !п»1, СЬепк Епяпг. эопгпа), !963, ч.
9, № 2, р. 261 — 268. ЕЗЗ В МЗ ТЕОРИЯ ПУТИ СМЕШЕНИЯ» ПРАНДТЛЯ Акр'( — ") ( — ") (68) ') Л о Я и «и с и и Я Л. Г, О некоторых ~ онложсниях метода подобия н теории тур. булснтности.— Приял. иат. п иех., 1935, т. 2, нып. 2, с, 180 — 206. ю практического развития '). Это заставляет ограничиваться в применении теории пути смешения только пристенными областями турбулентных движений жидкости или, во всяком случае, удаленными от точек потока, где дй1ду=0 (ось струи или следа).
Формулы Прандтля (60) и (61), опубликованные в 1926 г., выдержалн испытание временем и до сих пор с успехом применяются в расчетах разнообразных турбулентных движений. В условиях чрезвычайной сложности хаотических движений и взаимодействий отдельных «вихревых» объемов формулы Прандтля смогли выделить главные определяющие факторы явления турбулентного переноса. Эти крайне простые и наглядные по виду формулы и поныне являются фундаментальными в теории турбулентных движений. Что касается сохраняющейся в формулах Прандтля единственной неопределенной величины — пути смешения, то, как указал в последующих своих работах сам Прандтль, эта величина поддается убедительноку интуитивному определению, по крайней мере, в ряде простейших случаев, о которых пойдет речь в дальнейшем.
Это позволяет в некотором ограниченном смысле признать за теорией «пути смешения» Прандтля значение теории, замыкающей уравнения переноса импульса, тепла и вещества (массы). Теория Прандтля, так же как и лежащая в ее основе теория Вуссивеска, относится к числу локальных теорий турбулентных движений, основанных на предположении, что турбулентное смешение в данной точке потока полностью определяется физическил1и константами р, 1х, у н осредненным движением в непосредственной близости к этой точке. Аналитически это выражается в зависимости коэффициентов переноса от совокупности производных с(й!с(у, ачй/ду' и т.
д. Сама скорость й(у) не должна входить в число этих аргументов, так как, соединяя с частицей жидкости, перемещающейся с постоянной вдоль данного слоя скоростью й(у) поступательно движущуюся систему координат, мы должны были бы в такой инерциальной (галилеевой) системе отсчета наблюдать те же динамические явления, что и в неподвижной системе, какова бы ни была скорость й поступательного движения. Приведенный ранее вывод формулы Прандтля (60) и других связанных с нею формул сохранил стиль изложения теории пути смешения близким к стилю цитированной выше оригинальной статьи Прандтля. Если положить в основу вывода локальный характер теории пути смешения, то, основываясь на методе размерностей, люжно прийти к той же формуле Прандтля (60). По свидетельству лиц, сотрудничавших с Прандтлем в то время, сам Прандтль вначале пришел к своей формуле вз соображений размерности, а только потом уже подвел под нее тот физический образ, о котором шла речь в настоящем параграфе.
Примем, что уже в небольшом удалении от стенки коэффициент турбулентного перемешивания А настолько превышает 1с, что влиянием обычной молекулярной вязкости на турбулентную вязкость можно пренебречь. Иными словами, рассмотрим процесс турбулентного перемешиввния без учета влияния на него молекулярной вязкости, хотя такое влияние на самом деле имеет место, о чем будет сказано далее. Тогда втот коэффициент чисто турбулентного перемешивания А может быть представлен одночленной степенной зависимостью (со — знак пропорциональности, коэффициент пропорциональности безразмерен) 63г ГЛ. Х!П ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕН11Я НЕСЖИМаЕМОИ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ' Попытаемся удовольствоваться сначала зависимостью только от плотности р и первой производной от скорости г(и/г(у, положив АОоре ( — и) . (69) Замечая, что в физической системе размерностей масса — длина— время (М, 1., Т) (А)=~='~=~ ~ Т~=(МТ:Т-), (1,) (М1-а) ~ ~и и( (Т-г) ь лу з убедимся, что из равенства (69) при сравнении показателей степеней при М, 1.
и Т вытекает невыполнимая система равенств а=1, За=1, Ь=!, т. е. формула вида (69) невозможна. Дополняя ее множителем, содержа. щим некоторую степень длины, т. е. полагая а А р1 ~ — ), (11=!1), гну~ получим, приравнивая показатели степеней при М, 1 и Т, систему урав- нений а=1, — 1= — За+я!, Ь=1, которая имеет единственное решение а=1, лг=2, Ь=1, что, согласно (?О), приводит к формулам (коэффициент пропорциональности включаем в определение 1) йи г /й 1 с!и ии А =р1' —, Т= А — =р1' ( — ) = рТ' — —, г/у г!у '!нуг г/у йу совпадающим с формулами Прандтля (60) и (61). Примем теперь во внимание роль второй производной с('й/с(у', для чего положим (Ли) ~~н~) (71) В этом случае нет необходимости дополнительно привлекать длину, так как отношение (с/и/с(у)/(г/'и/с/уа) имев~, очевидно, размерность длины и, следовательно, должно быть н (г/и/г/у) (72) лги/г/ут здесь х — некоторая безразмерная константа, а знак в правой части выбран так, чтобы вблизи твердой стенки, где г/й/с(у>0, с(ем/с(у(0, величина 1 была положительной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
