Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 154
Текст из файла (страница 154)
Тейлор ') предложил другую полуэмпирическую теорию турбулентного движения, получившую наименование «теории переноса завихренности». Согласно этой теории в случае прямолинейного осредненного движения с распределением скорости и=и(у) будет (т= — ри'о' — не зависящее от вязкости чисто турбулентное напряжение трения) дт дм ден !ди~ деи» ! ди! — =Ам — =А,— =р6, ~ — ~ —, А =21т.~ — ~, (104) ду ду дуе ~ду~ ду» ' ' ~ ду~ ГДЕ ПОЛОЖЕНО бт=ди(дУ, а 1т,— тЕйЛОРОВСКИй ПУТЬ СМЕШЕНИЯ, ОтЛИЧНЫй от прандтлевского.
Как заметил Тейлор, и это подтверждено экспериментом, коэффициент турбулентного переноса осредненной завихренности А„ в условиях свободной турбулентности совпадает по величине с коэффициентами переноса тепла А, и вещества А„, но не равен коэффициенту переноса импульса А,. Подробности вопроса о тепломассообмене в потоках со свободной турбулентностью можно найти в ранее цитированных специальных монографиях.
% 125. Двухслойная схема «пристенной» турбулентности. Логарифмический профиль скоростей Закономерности пути смешения и коэффициента турбулентного переноса при движении жидкости около твердой стенки принципиально от. личаются от закономерностей только что рассмотренных свободных турбулентных движений вдалеке от твердых поверхностей. Наличие существенного влияния молекулярной вязкости на процессы турбулентного переноса значительно усложняет изучение пристенной турбулентности. Чтобы подчеркнуть главную особенность турбулентного движения около твердой стенки, рассмотрим следующий идеализированный случай'), просто и наглядно поясняющий суть дела.
Предположим, что за- '1 Та у1ог О. 1. ТЬе !гав»рог! о1 чог!!сцу апб Ьеа! !Ьгопяь 1!пыв 1п !пгЬп1еп! тоноп.— Ргос. коу. $ос. Бег. А, !932, ч. б. Русск. перевод в кнс Проблемы турбулентности.— Мс ОНТИ, 1938. !! Р г а п б !1 1.. Ыеиеге ЕгяеЬп!вве бег Тпгьп!еп»1огвсьппя.— Ч01, !933, № б.
Русский перевод в ранее цитированном сб. «Проблемы турбулентности», с. 9. 4 125 двухслопнАЕ схемА пРистеннОЙ туРБулентнОсти 649 р — =О, — =О, й2и йр йу» йу откуда следует и = С,у+ С„р = сон з!. В рассматриваемом движении единственным граничным условием является и=О при у=О, что дает С,=О. Для определения С, примем в качестве заданной посто- янной напряжение трения на стенке т =р( — ) Тогда распределение скоростей и(у) в ламинарном потоке будет т и= — у, Р и профиль скоростей окажется линейны»и (рис. 243, слева), а напряже- иие трения между любыми слоями в осредненном движении постоянным и равным напряжению трения на стенке йи р — =сапа! =т, Ш2 (!05) Перейдем теперь к турбулентному движению, описываемому в настоящем случае уравнением Рейнольдса (т — чисто турбулентное трение) Л»и .
йт р — + — =О. йу2 Ку Интегрируя его, получим йи !А — + т = Сеи йу или, замечая, что напряжение турбулентного трения т= — ра'о' на стенке равно нулю, так как на стенке не могут существовать нормальные к аей пульсации о', получим С,=т, и, следовательно, и'и )2 — + т=ти,. еу (! 06) В непосредственной близости к стенке турбулентное трение т значительно меньше слагаемого !2ди/ду, соответствующего молекулярному тре- полняющая верхнюю полуплоскость жидкость совершает плоское стационарное осредненное движение (рнс. 243), параллельное безграничной твердой стенке, совпадающей с осью Ох, причем объемные силы отсутствуют.
При такой стратификации по осредненным скоростям любые два поперечные линиям тока сечения идентичны в кинематическом и ди- ' лам«нару Тузлу»«2»ил иамическом смысле, т. е. все произ- и® и(«2 водные по х равны нулю, а элемен- "ч ты движения могут зависеть только ,з от ординаты у. Такое движение является «установившимся». Сравним между собой ламинарное и осредненное турбулентноедви- Риа 243 2кения такого типа. Замечая, что а=а(у), О=О, р=р(у), приведем уравнения ламинарного движения к виду 1 !гд двухсловная схима .приствниои тирвилинтности 651 вязкости, изложено. Удовольствуемся пока схемой двух областей: вязкого подслоя и турбулентного ядра. Обозначим через 6, толщину вязкого подслоя и через и, скорость на границе между вязким подслоем и турбулентным ядром потока, общую для обеих областей.
Движение в вязком подслое характеризуется величиной напряжения трения на стенке т и физическими константами жидкости 1з и р. Рассматривая эти величины с точки зрения теории размерности, составим из них две возможные комбинации: (110) р )г тГр о, Первая из этих величин и. имеет размерность скорости, хотя по своей природе состоит нз динамических величин: напряжения и плотности; назовем ее поэтому динамической скоростью, Вторая имеет размерность длины и по той же причине может быть названа динамической длиной').
Для облегчения запоминания этих важных для дальнейшего выражений можно заметить, что если принять динамическую длину и динамическую скорость за масштабы длин и скоростей, то составленное при их помощи число Рейнольдса о.1./т будет равно единице. Легко убедиться, что определенные равенствами (1!0) выражения динамических скорости и длины могут отличаться только безразмерными множителями от любых других, имеющих размерности скорости или длины одночленных комбинаций величин т, р, 1з.
Действительно, предположим, что длина 6 может быть представлена в виде степенного одночлеиа, зависящего от физических констант 1з, р и напряжения трения на стенке т, гх)хаггь,гг где а — некоторая безразмерная константа. Составляя уравнение связи размерностей 1Ц= ~ — ~ ~ — ~ ~ — ~ и Т1. Ь 1.Тз сравнивая показатели степени при М, х'., Т слева и справа, получим систему уравнений а+Ь+с=О, — а — ЗЬ вЂ” с=1, — а — йс=О, имею!цую единственное решение ! 1 а=1, Ь= — —, с= — —. 2 2 Отсюда следует б=арр 'т ' =а =Ы,. .1/т /р Аналогично убедимся в том, что всякая одночленная комбинация р, р н т, имеющая размерность скорости, может отличаться от о.
только безразмерным множителем. Из доказанного следует, что толщина вязкого подслоя 6, и скорость иа границе подслоя и, должны быть пропорциональны соответственно динамической длине 1. и динамической скорости о.. ') В заграничной литературе для этих величин применяются термины: йсйпьзраппнпяиезсймшб!К!гец, 1г!сиоп-хе!ос!!у, 1пс!1оп-!епяш, затруднительные для буквального русского перевода. Мы обошли эту трудность, введя для этих «приведенных» скорости я длины эпитет «дииамические», так как они выражаются через динамические величины т и т.
652 ГЛ Хгг!. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Докажем, что коэффициенты пропорциональности у них одинаковы. Положим (111) б,=а1„=а —" =а "« "р/ тм/Р где а — безразмерная константа. Тогда по (105) будем иметь тм тм и и,= — Ь,=а— Р Р т/ЪlР т. е. действительно т„ и,=а ! — =ао, Р (112) Пользуясь полученными формулами, определим постоянную С в равенстве (109), которое теперь можно переписать в виде и= — '!пу+ С. н (113) На границе вязкого подслоя имеем и,= — о.!пб, + С, Х так что по (111) и (112) будет С=ао,— — о.!п 11а — ~=о. (а — — 1па/! — — о,1п — . Подставляя это значение константы в формулу (113), найдем 1 1 !р = — 1п т) + а — — 1п а, Х Х (114) где Ро Р ф= т)= — = о, т или, переходя от натуральных логарифмов к десятичным (15), гр= ' 1ят!+а — — '!да.
2,303 2,303 Х Х (115) И. Ннкурадзе') проводил опыты над турбулентным движением воды в длинных цилиндрических трубах круглого сечения с гладкими стенками в широком диапазоне чисел Рейнольдса Ре=и„а/т (и„— средняя по расходу скорость, й — диаметр трубы, т — кинематический коэффициеит вязкости) от критического нх значения до йе=3,24 10'. На рис. 244 приведены результаты его точных, систематически поставленных опытов по измерению скоростей в сечении трубы. Как это следует из графика, экспериментальные точки вполне удовлетворительно располагаются по прял!ой, соответствующей логарифмическому профилю скоростей — =ф=А!дт!+В=5,75!нг,+5,5=5,75!я ~' +55.
(115) Принципиальное значение имеет тот факт, что логарифмическая формула (115) сохраняет свою форму для всех рейнольдсовых чисел течения, или, как принято говорить, универсальна. В дальнейшем будут ') Л! ! й н г в б в е 3. беве1ппавв!Кйе!1еп бег 1пгЬи1еп1еп 51гбпгппк !п и!апев Й5Лгеп.— Чг»1, Рогвсьипивье!1, 1932, Вб. 356. Русский перевод см, в неоднократно цитированном сб. «Проблемы турбулентности», с. 75 — 150. $ !25 ДВУХСЛОИНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 666 введены степенные формулы для скорости, не обладающие свойством универсальности. Структура логарифмических формул такова, что влияние рейнольдсова числа, т. е.
вязкости, полностью входит в масштабы длин 1. и скоростей о.; это н делает формулу (116) универсальной. С физической стороны указанное свойство логарифмических формул объясняется наличием вязкого подслоя, в котором сосредоточено все влияние вязкости, и отмеченной ранее пропорциональностью масштабов 1. и о.
го 12 в ~,о йв гг го зо з4 зв 4г 4,в Рис 244 толщине подслоя 6, и скорости на его внешней границе и,. Приведенные соображения могут служить оправданием именования масштабов 1.= е у/о. и о.=~~т /р универсальными, а величин та=и/о. и 21=у/1.=уо./у соответственно универсальными скоростью и координатой. Согласно (105) в ламинарном подслое в универсальных переменных будет существовать равенство Ф=Т! (117) а на границе подслоя по (111) 6, 6,ь. — — =а. У Сравнивая формулу (!16) с логарифмическим распределением скоростей (1!5), убеждаемся в том, что для количественного совпадения необходимо положить я =0,4; а= 11,5.
Экспериментальные данные отклоняются от прямой (1!6) лишь в области сравнительно малых значений 21=уо./у, соответствующих точкам, близким к стенке трубы, где уже становится заметным влияние вязкости (переходная область); крайней левой точке горизонтальной шкалы 1дт1=1 соответствует примерно граница вязкого подслоя. Пользуясь координатами 4р, еь перепишем линейный профиль скоростей (117) в вязком подслое в форме сь = и = 10" ".
ВЧ4 ГЛ. ХНЬ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ и«ххх и ! а = — 1и— ч, я у (118) содержащей только одну эмпирическую константу н; подставляя я=0,4, получим =5,75 18 —. (119) Р у Как далее будет показано (рис. 246), эта простая формула дает хорошее совпадение с опытом. Константы я=0,4 и а= 11,5 представляют собой две Основные эмпирические постоянные, характеризующие турбулентное движение. Иногда бывает удобно вводить еще третью постоянную 1, выражающуюся через первые две и определяющую уклон логарифмической кривой скоростей на границе вязкого подслоя, но со стороны турбулентного ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
