Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 149
Текст из файла (страница 149)
Составленная по аналогии с обобщенным определяющим соотношением Ньютон а для ламинарного движения вязкой жидкости формула Б у сснн е с к а легла в основу подавляющего числа методов расчета турбулентных движений жидкости в гидравлике, гидродинамике и их технических применениях. И вместе с тем эта формула заслуживает ряда критических замечаний. Так же как и формула Ньютона, формула Б у осине. с к а относится к числу так называемых локальных формул в том смысле, что она определяет значения турбулентных (рейнольдсовых) напряжений в данной точке потока жидкости в зависимости от осреднеиных скоростей деформаций в окрестности той же точки, т. е.
ие содержит влияния на определяющее соотношение удаленных от этой точки областей потока. Такая ограниченность формулы Б у с с и н е с к а лишает ее ряда важных применений, как, например, в несимметричных потоках в каналах с разной шероховатостью стенок. В таких каналах, в явном несоответствии с формулой Б у с с и н е с к а, точки нулевого турбулент. ного трения не совпадают с точками максимальной скорости (дауду=0).
Вообще можно заметить, что формула Бусе инеска (43) не отражает вихревой структуры потока и размеры обменивающихся количеством движения вихревых масс, хотя учет этих факторов может быть очень су. ществен для описания некоторых характерных для турбулентности яв. лений. Как будет показано в 9 140, расчет затухания напряжений турбулентного трения в следе за возмущающим поток телом, выполненный на основании локальной формулы Б у с синеока, отражает только об. щую тенденцию этого явления, но не может дать достаточно точное количественное описание этого «наследственного» процесса. Другие примеры недостаточности формулы Б у с с и н е с к а можно найти в обзор.
ной части диссертации голландского ученого Б у й л т ь е с а ') . При рассмотрении турбулентных потоков в реальных жидкостях и газах, наряду с переносом количества движения (импульса), часто приходится иметь одновременно дело с переносом тепла и вещества (массы). Практически интересные задачи тепломассопереноса в турбулентных потоках обычно допускают простую стратификацию по температуре н концентрации, совпадающую со стратификацией по скорости. Пользуясь идеей Буссинеска о придании формуле турбулентного трения того же вида, что и «ламинарный» закон Ньютона, можно и турбулент. ным потокам тепла и вещества (массы) придать вид, формально обоб. щающий известные уже нам по предыдущим главам законы Фурье и Фика.
Обозначим соответственно через А.=!г„А, и А коэффициента турбулентного переноса импульса (количества движения), тепла и концентрации примеси. Вспоминая выражения потоков тепла и вещества (24) и (27) и довольствуясь простейшим случаем установившегося прямолинейного сдвигового движения вблизи стенки, в котором осредненные скорости й, температура Т и концентрация взвешенной в жидкости примеси о будут функциями только расстояния от стенки у, найдем еле. ') В и!11)ее Р.
Д Н. Мегпогу еИес1а !и 1пгЬп1еп1 !!оп а.— !зераг1. о1 МесЬ. Епд., 77е!!1, Ые1Ьег!апг1, ЦгТН!З, Арг!1 !977, № 97, р. о — 8. 629 % 122 ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА, ТЕПЛА И ПРИМЕСЕЙ дующие выражения для турбулентных потоков импульса, тепла и вещества — ли т,= — ри'о' =А,—, лу лт дс — — — рс,и'Т' = — с .4 —, лу (55) лс т~ = — ро'с' = — А лу где штрихи отличают пульсации входящих величин от осредненных их значений, отмеченных черточкой сверху '). Чтобы подчеркнуть роль поперечной пульсационной скорости о' как одинаковой для всех рассматриваемых процессов скорости переноса «субстанции» (импульса, тепла, вещества) из слоя в слой движущейся жидкости, выразим коэффициенты переноса А„, А„А через о' и некоторые характерные для каждой отдельной субстанции длины «путей переноса» 1„1, 1„, положив аналогично (45) Ат =Рп'1т, А« = Ро'1«, Ат = 1ю'1во (56) Смысл определений этих «путей переноса», данный им Прандтле, разъясняется в следующем параграфе.
Иногда вместо коэффициентов переноса А„А„А вводят отношения их к плотности среды (57) Наряду с выражениями турбулентного (молярного) переноса указанных субстанций составим выражения полных переносов, объединяющих ламинарный (молекулярный) и турбулентный (молярный) переносы количества движения, тепла и вещества ои ли ли т=р — + тс=(у+ А,) — =(р+ ре,) —, лу лу лт лт лт д= — Х вЂ” + ос = — (Х+ с,А,) — = — (Х+ рс,е,) —, (58) лу лу лу лт = — р0 — -(- птс = — (р0 -1- А ) — = — (р0 -1- ре ) — .
лс лс лс пу лу ду ') Считая невозможным отказаться от общепринятых обозначений: с для концентрации и с„для козффициента теплоемкости при постоянном давлении, предостерегаем от смешения этих схожих по обозначениям величин. Ламинарным (молекулярным) коэффициентам переноса — коэффициентам вязкости р, теплопроводности Х и диффузии рР, введенным в $117, соответствуют коэффициенты турбулентных вязкости А„теплопроводности А, и диффузии А„. Формулы (56) дают зависимость величин А„А,, А„от остающихся неизвестными о', 1„1 и 1 . Заслуга уменьшения числа этих неизве. стных и, таким образом, приближения к решению проблемы замыкания уравнений переноса импульса, тепла и вещества принадлежит Л.
П р а ндтл ю, который, сохранив роль поперечной пульсационной скорости в механизме переноса, выразил эту скорость через аналоги величин 1„1„1 и поперечную производную осредненной скорости дй/оу. 630 ГЛ. Х!11. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОИ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ 9 123. Теория «пути смешения» Прандтля , г)и и'с »1'— бу , би и' ОΠà —, г)у (69) Эта центральная формула теории Прандтля приводит к выражению касательной составляющей рейнольдсова напряжения в случае рассмат.
риваемого простейшего прямолинейного сдвигового движения т= — ри'и' = — р1' ( — ) . г)у Если условиться понимать под т напряжение трения, приложенное к верхней границе слоя со стороны области больших скоростей (т)0) и, кроме того, ввести осредненную длину 1з=1", то предыдущее выра. ') Р г а и б 11 Ь. )1п1егзпсьппиеп гпг апзяеЫ)бе1е Тпгьп1епз.— 2епзсьг. 1, апяен, Мань и, МесЬ., 1925, ч. 5.
См. статью того же автора «Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности», помещенную в русском переводе в кнз Проблемы турбулентности.— Мз ОНТИ, 1936, с. 14 — !6. Как уже указывалось в конце предыдущего параграфа, развитие проблемы замыкания уравнений переноса импульса, тепла и вещества не свелось только к установлению формул (46) — (48), далеко не полно отражающих действительный механизм переноса этих субстанций. На рубеже первой четверти нашего века появилась тесно связанная с пре. дыдущим теория переноса, в значительной степени углубившая представления в этой области и, в известном смысле, практически замкнувшая уравнения переноса импульса, тепла и вещества.
Теория эта была создана Л. Пр андтлем '). Исходя из аналогии между переносом конечньгх по объему вихревых масс в турбулентном движении и переносом молекул в ламинарном движении, П р а ндтль предложил простую и наглядную модель переноса субстанции между слоями осредненного турбулентного движения. По его идее вихревая масса, выделенная в данном «начальном» слое как некоторый индивн. дуальный объем, перемещается в процессе обмена в нормальном направлении к осредненному потоку и движется в этом направлении до тех пор, пока не смешается с некоторым смежным слоем, потеряв свою индивидуальность — отличие в продольной осредненной скорости или, что при постоянной плотности все равно, импульсе.
До сих пор никакой разницы между описанной только что картиной переноса и изложенной в предыдущем параграфе нет. Как и прежде, используется представление о «вихревом объеме», который перемещается из одного слоя в дру. гой, проходя некоторое расстояние между слоями, определяющее харак. терный для этого объема «путь перемешивання», количественное апреле. ление которого до появления теории Прандтля сохраняло неясность. Новое в модели Прандття заключается в допущении о том, что внх.
ревая масса во все время перемещения из начального слоя в конечный сохраняет свое отличие в импульсе и только в момент смешения сразу теряет свою индивидуальность, вызвав тем самым в этом конечном слое возму)цение в осредненной скорости. Это возмущение принимается пропорциональным расстоянию 1' между начальным н конечным слоями н величине разности между осредненнымн скоростями в этих слоях айяд 1'г(й/ду. По мысли Прандтля, данное возмущение в осредненной скорости слоя является причиной возникновения в нем пульсацнонной скорости с проекциями и', и', так что естественно положить (ж — знак пропорциональности) вз1 » 123. ТЕОРИЯ «ПУТИ СМЕШЕНИЯ» ПРАНДТЛЯ кение для т примет окончательный вид (60) ~лу/ Единственную остающуюся здесь неопределенной величину Прандтль назвал путем смешения (М1зс)зцпдззчед), почему и вся теория получила наименование теории пути смешения.
Чтобы не делать оговорки о знаке т, Прандтль предложил придать формуле (60) вид т = р1' ~ — — . ди яи (61) ~1ЛЯ Ле' Для динамического коэффициента турбулентного трения А,=1», и хннематического его значения А,/р=и,/р=у, имеют место формулы а и", г А,=,= 1* — ~~, ',=1' — 1 еу и'у 1 (62) Принимая во внимание обшность механизмов турбулентного переноса импульса, тепла и вещества (массы), составим выражения коэффицнен- тов перемешивания (66) в форме А =1и=р1 ~ —, А„=р/,~ — ~, А =р1„,~ — .
Ь4' ~лу ' Для кинематических коэффициентов справедливы равенства Р (63) (64) где допускается разница в выражениях путей смешения для импульса, тепла и вещества, определенных равенствами (66) Вспоминая введенные в теории молекулярного (ламинарного) тепломассообмена число Прандтля и число Шмидта (диффузионное число Прандтля) Рг= —, 5с= Рте= » Ре (66) л' рв' обобщим этн определения на случай турбулентного тепломассообмена, положив с»А« ~» е» р. Р «»» А е 5сз = — =— ет (67) с»А«А«ед Конечно, эти турбулентные критерии принципиально отличаются от своих ламинарных прототипов прежде всего тем, что они зависят от (аормы движения, а не только от физических постоянных среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
