Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 152
Текст из файла (страница 152)
Заметим, что в рассматриваемом случае Р,=О и равны нулю производные по в, Кроме того, из соображений симметрии следует равенство нулю касательных турбулентных напряжений: л,„= — ро,о, и л„= — ро,о„. По тем же соображениям, что и в теории ламинарной струи (безграничность затопленного пространства), откинем член, содержащий давление; пренег брежем еще изменением вдоль оси величины о„. Обозначим для краткости л„= т = — ро,о„о„= и, тогда уравнения турбулентного распространения струи, как это следует ю последних двух уравнений системы (2!), будут ди ди 1 Г дт т Т 1 ! д д д и — + о — = — ( — + — ) = — — — (гт), — (ги) + — (го) = О.
дх дг р (, дг г ) р г дг дх дг 1в ~ ди ~ ди 14 ( д44 ) ' получим уравнения распространения струи в виде и — + о — = — — — ~г(в ( — ) ~, — (ги)+ — (го) =О. (86) ди ди 1 д Г ' ди ! 1 д д дх дг г дг ~ (, дг ) ~ дх дг Вводя функцию тока гр, связанную со скоростями и, о формулами 1 дгр 1 игр и= — — о= —— гдг'гдх' (87) сведем задачу к решению одного уравнения третьего порядка — ( ) — (г)е ~ — ( — — Д ) .
(88) К этому уравнению присоединяется условие сохранения импульса Ю 2лр ) ги' ггг = 2 ар ) — ( — ) ггг = й„ 4 4 (89) ~) А бр а мович Г. Н. Аэродинамика потока в открытой рабочей части аэродимивческой трубы.— Труды НАГЙ, 1935, вып. 223, 236. ') См. только что цитированную статью йп Точлмнна. Используя формулу Прандтля для турбулентного трения, которая, яак легко сообразить, в настоящем случае (ди/дг<0 при любых г) запишется в форме 646 ГЛ, ХН! ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ и граничные условия ф=О, — (- — )=0 при г=О, д г!дфоп дг 1,г дгг) 1 дф — — 0 при г-+ Оо, г дг (90) Введем масштаб функции тока Ч' и масштаб длин /.. Переходя к безразмерным величинам, убедимся, что уравнение (88) и граничные условия (90), так же как в первой задаче этого параграфа, никаких ограничений на Ч' и /.
не накладывают. Из условия (89) получим одну связь между масштабами Чг и 1.: Отсюда следует, что искомое решение для ф должно иметь обший внд (штрих — символ безразмерных координат и функции тока) 2лр 1/. Ь / Но в условия задачи масштаб Ь не входит, не должен он присутствовать н в решении. Для'выполнения этого условия потребуем, чтобы функция ф'(х', г') имела форму ф'=Х'1Р ~ — ) Тогда действительно масштаб /. выпадает, а размерная функция тока ф определится выражением ф=3/ /ь хф(Ч); (91) г 2лр х Полагая, как и ранее, путь смешения 1 функцией только х и подстав. ляя выражение (9!) в уравнение (88), убедимся, что при наличии функции тока вида (91) должно выполняться равенство 1г сх, Вводя в уравнение (88) новую переменную Ч, согласно (91), и при. нимая во внимание формулу для 1, убедимся, что задача автомодельна; будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение (штрих — производная по Ч) После почленного интегрирования обеих частей этого уравнения придем к уравнению второго порядка фф =с~ (ф — — + соп51 11.
(92) Ч / Постоянная интегрирования здесь равна нулю. В самом деле, при стремлении Ч-1-0 (г~-О), т. е. на оси струи, скорость и остается конечной, ар стремится к нулю. Вычисляя эти скорости, получим (Оь — знак прапор. циональности) 1 ф' 1/, 1РУ и сгз — —, О сΠ— ( ф' — — ) Ч х Ч вЂ” ОΠ— 1ф" — — 1- 0 при Т1- 0; ди 1 г дг Чх~ следовательно, ф'/Ч стремится к конечной величине, а ф-» 0 при Ч-» О. Со- ставляя далее производную ди/дг и требуя, чтобы она стремилась к нулю, когда Ч~-О, получим % М4 СВОБОЛНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ 641 следовательно, — ! гр" — — 1- О при Ч- О, ! / „Ча Т Ч Ч откуда и следует равенство нулю константы в уравнении (92).
а Выбирая в уравнении (92) вместо Ч переменную Ч/т'Р, получим уравнение и граничные условия, не зависящие от частных значений констант. Уравнение это интегрируется численным методом. Поставленная только что задача о распространении круглой струи кажет быть решена значительно проще, если вместо теории Прандтля, вложенной в предыдущем параграфе, использовать другую, также полуэмпирическую теорию Прандтля, относящуюся уже к !942 г.'), Заменим при решении задач свободной турбулентности, где обычно профили продоль- у вмх осредненных скоростей имеют перегиб (рис.
235), выражение (62) коэффициента турбулентного трения А некото- 2 ° ' рым упрощенным, основанным на следующих соображениях. Предположим, что в сечении М,М, (рис. 236) скорость нее(у/ прерывно переходит от некоторого значения и=и, к значению и=ив. Так, в е ! струе, распространяющейся сквозь затопленное безграничное пространство, скорость и, на внешней границе струи рав- д иа нулю, и, представляет максимальную скорость и „, на оси струи. В случае аэродинамического следа вдалеке за телом скорость и, соответствует минимальной скорости на оси следа, а и,=(/„— скорости невозмушенного внешнего потока, набегающего на тело. Производная ди/ду на краях интервала М,М, обращается в нуль как при переходе к однородным потокам, так и в тех случаях, когда точки /!4, и М, соответствуют максимуму или минимуму скорости.
При этом эпюра скоростей имеет в рассматриваемом интервале точку перегиба, где д'и/ду'=О, и становится близка к прямой линии повсюду, за исключением областей, прилежащих к краям интервала. Пользуясь близостью эпюры скоростей к прямой линии, можем в выражении (62) коэффициента турбулентного обмена А произвести приближенную замену Рис. 236 ~ди! и,— и,! н положить А; — !в !"' ,=Р Ь где Ь=М,М, — ширина области турбулентного перемешивания. Возникающая прп этом на краях области ошибка не существенна, так как в выражении турбулентного трения (62) величина А умножается на производную ди/ду, обращающуюся на краях области в нуль. Таким образом, коэффициент турбулентного обмена в задачах свободной турбулентности может быть принят постоянным по сечению.
т. Р. не зависящим от у (но, вообще говоря, зависящим от х, т. е. переменным вдоль течения). Принимая постоянный по сечению слоя путь смешения !, как это уже ранее указывалось, пропорциональным ширине области обмена Ь, полу- ') Р г а и д !1 Ь. Вегпегкппкеп апг ТЬеог!е дез !ге!еп ТпгЬЕ1епз.— Ее1!всьг. Аппечг. Маце п. Месь., 1942, Вд. 22, Н. 5, $. 241; 66 г !1е г Н. Вегесьпппп чоп Ао!Каьеп Йег !ге!еп ТпгЬп!епз аш Огппд е1пез пепев Ыаьегпппвапза!зев, !Ь|д., 6. 244.
2! - ВГВТ 842 Гл. х!11. Туевулентные дВижения несжимАемОЙ ВязкОЙ жидкости чим следующую общую для большинства задач теории свободной тур булентности формулу коэффициента турбулентного трения А = ЬРЬ | и,— и, (, (93) где й — некоторый постоянный коэффициент пропорциональности; величины Ь и (и,— и,( меняются от сечения к сечению и представляют собой неизвестные функции координаты, отсчитываемой вдоль по течению. Докажем, что в интересуюшем нас сейчас случае осесимметричного распространения турбулентной незанрученной струи коэффициент турбулентного трения А постоянен во всей области струи, т. е.
не зависит ии от х, ни от г. Вспомним, что путь смешения 1 пропорционален ширине струи Ь и, как уже ранее было доказано, Ьоэх. С другой стороны, в настоящем случае и,=О, и,=и „(х) =и(х, О), а из равенств (87) и (91) следует т. е. ° 7о и~ох ~'о рг р к Следовательно, по (93) имеем (а — новая эмпирическая константа) А=сонэ(=а '1/р,)о, е,= — =сопз1=а ~7 А /lо (94) Р Р Гипотеза постоянства коэффициента турбулентного перемешивания неоднократно применялась в задачах турбулентного движения в свободной атмосфере, в океанах и реках. Для случая турбулентного движения жидкости в аэродинамическом и тепловом следе та же гипотеза была сформулирована в 1938 г.
В. Я. Трубчиковым '). Уравнения (86) могут быть теперь переписаны в форме ди ди ~ гг7о 1 д / ди1 д (ги) д (го) и — + а — = а гкг — ' — — ~ г —, — + — = О, дк дг р г дг ( дг 7 дк дг отличающейся от уравнений распространения ламинарной струи только тем, что постоянный кинематический коэффициент молекулярной вязкости у заменен на кинематический коэффициент турбулентной вязкости е,=аф,/р, где а представляет некоторую эмпирическую постоянную, зависящую от турбулентной структуры потока. Нет необходимости, таким образом, вновь решать задачу, так как аналогичная с математической стороны задача уже была решена в $ 115. Для сопоставления решений заметим, что при расчете турбулентной струи необходимо в формулах (178) гл.
Х11 произвести замену (95) ') Тру 6 чиков Б. Я. Тепловой метод измерения турбулентности в аэродинамических трубах.— Труды ПАГИ, 1938, вып. 372, с. 1б. См. также только что цитированные статьи Прандтля и Гертлера, 4 42Е СБОБОДНЛЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. ЗЛТОПЛЕННЫЕ СТРУИ 643 Будем иметь (96) По равенству (179) гл. ХН найдем секундный массовый расход сквозь сечения струи М = 8пор 1г/ — ' х, /70 (97) Р ало (!80) той же главы — формулу максималвной скорости на оси струи 3 ./У,! ип4»х = (98) 8по р у Для облегчения экспериментальной проверки правильности полученвнх закономерностей преобразуем формулу продольной скорости (второе равенство системы (96) ) к виду и .(г) где под !г будем подразумевать значение г, при котором и= — и „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
