Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 117
Текст из файла (страница 117)
205. сраница этой области в обычном для теории пограничного слоя смысле показана пунктиром), будем считать давление постоянны.н вдоль сечений струи, а так как давление в затопленном пространстве вне гтрчи повсюду одинаково, то и одинаковым во всей области течения, Уравнения движения примут вид, аналогичный (44) ~~ 97, а именно: д Л ди 1 дl ди1 Лдт дл ' ду З ду ~ ду 7 я дуя ' ди до ) — + — =О, дх ду ) или, согласно (104): ди ди деи и д + д — — -нд(х)иж(х) д я, ) (105') 42 Змь 1вть л.
г. лоаееееевв. 6о8 (гл. ~х ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ Задача представляется вначале неопределенной, поскольку наперед неизвестны законы изменения ширины струи Ь(х) и максимальной скорости на оси струи им (х). Эта неопределенность исчезает, если выражение продольной скорости искать в форме семейства подобных между собою кривых и «(Ь) (106) ди ди 1 дЬ дк д «® Ьд = — ) д„г(У= — Ь «„"~«(1)дЧ+ — ) «'()) )д'6. (' ди ди„)' дЬ Г о о о Подставим эти выражения в первое уравнение (105'), тогда после простых приведений получим: и дЬ, гл аи' + —" — „~ ~«'( 1) ~ ~«'(~) й — «(й)«'(т1)~ = — «" (~) (107) о Введем в рассмотрение функцию Р(т1), положив Ь'(1) = ~ «(б)д 1.
о (108) Функция Ь'(В) связана простым соотношением с функцией тока ф(х, у). Действительно, по определению функции тока, если принять ф(х, О) =О, ф = ~ иску= и Ь ~ «(т1)до1 = и„,ЬР(ТД. (1 08') где под Ь(х) понимается некоторая условная (в том же смысле, как .толщина" пограничного слоя) ширина струи, а Т1 = — „— новый у аргумент. Пользуясь выражением (106), вычисляем (штрих означает дифференцирование по т~): $102) „своводнля ттзвтлентность'; плоская стезя 659 Будем иметь: У(й) =" Е (т1), 1'(Ч) — - ~" ()), 1"'('1) = ~"'й), ) ~У'И) 4~= )У вЂ” ) У И= 0~'()) — ~(Ч), так что уравнение (107) может быть переписано в виде и — (Р— Р'Р ) — — — РР" = л — Р '" дх Ь Лх Ь (109) Замечая, что, в силу одинаковости давления во всей области течения, проекция на ось Ох вектора количества движения, протекающего сквозь любое сечение струи, должна быть одна и та же, получим + .о ) риз~у=сопз1 =Уе, (110) где се представляет заданное количество движения струи при выходе ее нз щели, илн интенсивность струи.
Подставляя сюда значение и из формулы (106), найдем: + ОР ри Ь ~ У'(ч1)сЬ9= — 4 и д=сопац (110') Дифференцируя обе части этого равенства по х, получим: Ли а сз в силу чего уравнение (109) перепишется окончательно в виде: — „х ~У" + ~~ ) = — 2й~"'. (111) Из условия независимости аргументов х и н слелует, что — =с, Ь=сх, л'Ь (112) (113) где с — некоторая не зависящая от граничных условий константа, характеризующая турбулентный характер струи. Как показывает последнее равенство, „ширина" струи возрастает пропорционально расстоянию от источника, а границами струи служат прямолинейные лучи, выходящие из источника (на рис.
205 они показаны пунктиром). Из равенства (110') можно найти закон убывания максимальной скорости на оси при удалении от источника струи: сола[ л ФВ * 'Ьсх * 66О тэввтлвнтнов движвннв А=йри„д=йе~хи,„=сопя! у х. (1 04') Коэффициент турбулентного обмена, не изменяясь по сечению струи, возрастает пропорционально корню квадратному из расстояния сечения до источника струи. Основное дифференциальное уравнение (111) приводится к виду: Р"+РР"= — — "Р" (114) и легко может быть непосредственно два раза проинтегрировано. Действительно, имеем: и, следовательно, 4а ~'+ с'4+ С,. (115) Постоянные интегрирования С' и С~ найдем из очевидных граничных условий: т! = 0 4=0 и=о при при (116) при выражающих: что ось струи принята за нулевую линию тока, что ди в силу симметрии производная — обращается на оси в нуль и что ду вдоль оси и = и .
Уравнение (115) при этом переходит в легко интегрируемое уравнение Р'= 1 — — гта 4Ф которое, при принятых граничных условиях (116), имеет решение: 2~ — +Р ~с / а с =е „/а Отсюда получаем ~/ е Р =2у~ —,' ' е +! Найдя закон (112) изменения ширины струи д и (113) †осев скорости и,„, можем определить и закон изменения коэффициента турбулентного трения А. Имеем по (1 04) и только что указанным равенствам: $ 1021 „своводная туввулвнтность"; плоская стаяв или, переходя к гиперболическим функциям, г' (2 г' Ь ~)' (117) Отсюда находим продольную составляющую скорости и: и = и Р' (т1) = и ° 2 ~/ — ° сйя( — )/ -„Ч) (2У Ь 1) (118) и поперечную составляюнгую сч и= — Ь и'" г (и) + им — „[т1Р'(т1) — Р(т~)) = =2 "™ Их "('1)+"- Нх 9 ® — "«)'— 1 с'Ь сЬ н~ И (тп" 2 ~) сл~(й~ 2 Е) = си ~ч1 сй-Я ( —, 1/ — „т1) — ф/ — бл ( — У( — т~Я .
(119) будет следовать: сй ( )=ф 2 —.' 1,41, = =0,88, 1'=1,76~гдсх. 2 г'Ьсх При агом равенство (118) может быть переписано в виде: и = и сп-Я(0 88 — ). у 1; ) ° (120) На рис. 206 соответствующая кривая показана пунктиром, Совпадение этой теоретической кривой с опытными точками' вполне удовлетворительное. При таком сравнении неизвестные константы с и гс входят в определение величины У. ! г отгс пга па, 1пйеп!еиг-АгсЫт, 5 (1934), 8.
42 54. Чтобы сравнить теоретические формулы с опытными материалами, 1 обозначим через 1' такое значение у, при котором и =- — и , тогда из равенства тхввялвнтнов движвниа (гл. пг Пользуясь формулой (118), можно вычислить массовый расход жидкости через любое сечение струи, расположенное на расстоянии х от источника струи. Имеем 'ч = Р / "аУ = Ри,ьо ~ У(т!) дт) = ри Ь ~ Р'(т~) с(т! = СО Ш вЂ” ОЭ =Р" о Г(т1)1 =ри„,д ° 2'$/ — ° 2=4 фl — Ри д, (121) откуда по (110') и (112) следует, что ЬС = сопя! )У х, (122) т. е. что расход жидкости сквозь сечение струи растет при удалении сечения от источника струи; при х = 0 1~ = О, Причина этого явления отчетливо видна из общей картины течения, показанной на рис. 205. Струя целиком состоит из жидкости, подсасываемой из затопленного пространства.
Чем дальше сечение отстоит от источника бав у/У Рнс. 2Ж струи, тем большее количество жидкости увлекается ею. Парадоксальный на первый взгляд факт равенства нулю расхода жидкости через бесконечно тонкую щель при конечном количестве движения легко понять, рассматривая движение жидкости в струе как предельное при уменьшении ширины щели. Сравнивая (121) или (122) с (104'), видим, что расход Я изменяется по тому же закону, как и коэффициент турбулентного обмена А. Рассмотренное явление увлечения струей окружающей жидкости лежит в основе работы разнообразных водяных, воздушных и паровых насосов, называемых инжекторами и эжекторами. Во всех аппаратах такого рода струя со значительным количеством движения, но малым расходом, создает значительные расходы жидкости, что и делает насос полезным.
к 102) „сВОБОднАя туРБулентнОсть „' плОскАя стРуя еез Лля расчета плоской струи необходимо задать какие-то характерные для струи параметры. Это могут быть: сохраняющееся вдоль всей струи ее количество движения уц, расход или осевая скорость в некотором фиксированном сечении струи и др. Заметим, что рассмотренное решение, как это следует из ранее приведенных рассуждений, содержит произвольную постоянную с, существенно зависящую от турбулентности струи и являющуюся экспериментальной константой данной струи.
От этой константы зависит угол расширения струи, который будет тем больше, чем интенсивнее турбулентность в струе. Изложенный метод решения задачи не единственный. Можно было бы воспользоваться и непосредственно формулой (22) 9 94„не опираясь на приближенное постоянство коэффициента турбулентного обмена. Такое решение задачи о плоской турбулентной струе оказывается более сложным, так как приводит к дифференциальному уравнению, требующему численного интегрирования.
Результат такого решения, выполненного в свое время Толлмином,' приведен в виде сплошной кривой на том же рис. 206. Можно заметить, что изложенное рвнее решение (пунктирная кривая) ближе к экспериментальным данным в средней части струи, чем кривая Толлмнна; по краям струи, наоборот, кривая Толлмина оказывается более близкой к опытам. Мы не излагали решения задачи о лажинпрной струе, так как это движение не представляет практического интереса.
Ре!Пение задачи о ламинарной струе имеет много общего с только что изложенным решением задачи о турбулентной струе, так как и в том и в другом случае предполагается, что коэффициент внутреннего тренин (молекулярной или турбулентной вязкости) постоанен по сечению струи. Однако не следует забывать, что з ламинарной струе коэффициент вязкости постоянен во всей области течения, а не только по сечению струи.
Кроме того, наличие влияния вязкости изменяет вид основного аргумента т! и форму границы струи. Подробное изложение задачи о ламинарной струе можно найти на стр. 124 †1 нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя". Не имея возможности останавливаться на изложении других зддач о струях (осесимметричная струя, пограничный слой на границе двух движущихся жидкостей и др.), заметим, что все они могут быть разрешены теми же приближеннымн методами, что и задача о плоской струе. э Чрезвычайно важному вопросу об обобщении теории струй на случай практически используемых в технике как нзотермических, так ! у!Г. То!1ш1 си, Вегесйпппй !ЯгЬЯ!еп!ег Апввге!!Япйвчогдйпйе. ЕейвсЬг.
!Вг Апйетч. Майк ппг! Месйапрю Вд. !Ч, 8, 468, 1926. Подробный разбор этого решения приведен в нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя', стр. 283 — 285. в См. нашу монографию „Аэродинамика пограничного слоя", а также раисе цитированную (стр. 656) статью Гертлера. 664 1гл. |х тхавялвнтнов движение и неизотермических струй, с учетом влияния сжимаемости газа, а также конечности диаметров сопла, из которого происходит истечение, и других обстоятельств, были посвящены заслуженно пользующиеся широкой популярностью исследования Г, Н. Абрамовича.
Сводку этих исследований можно найти в специальной его монографии. г $103. Турбулентный след за обтекаемым телом К задаче о струе близко подходит другая важная задача теории свободной турбулентности в об аэродинамическом следе вдалеке за обтекаемым телом. Ограничимся для простоты рассмотрением плоской задачи, причем след будем считать изотермическим. Тормозящее влияние тела приводит к наличию „провала" в эпюре скоростей в области следа, как это показано на рис. 207.
При Рнс. 207. удалении от тела глубина этого провала и, уменьшается, а ширина Ь увеличивается. Вне следа 1на рис. 207 „границы" области следа, в обычном для теории пограничного слоя смысле, показаны пунктиром) продольная скорость повсюду равна Разложим поле скоростей в следе на две составляющих: поле скоростей )г основного потока, набегающего на тело, и поле возмущений (и„о,), выражающее подтормаживающее влияние тела; положим: и=1' — и„ 'и =оп (123) Принимая поле возмущений в удалении от тела слабым по сравнению с полем скоростей набегающего потока, можем, подставив величины и и и в уравнения пограничного слоя Л 05), откинуть квадраты г Г. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
