Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Уравнение (135) можно рассматривать как уравнение рассеяния величины р, характеризующей структуру турбулентных возмущений в потоке, т См. их доклад иа 1-м Конгрессе по прикладной механике в Дельфте в !924 г. (Труды Конгресса, стр.
395 — 403). г Л. Г. Л ой ця иск ий, Некоторые основные закономерности изотропного турбулентного потока. Труды ЦАГИ, вып. 440, 1939. в Это уравнение было выведено впервые Карманом; см. )оигп. о1 1пе Аегоп. Зс., 1937, гй 4. П„ж = ого,'иь. Здесь подстрочные индексы означают перенумерованные оси координат, а черта сверху — осреднение во времени, подчиняющееся тем же основным равенствам, что и указанные ранее в й 93. Величины Фгу и П(уа характеризуют статистическую связанность между пульсациями скоростей в точках М' и Ми. Совокупности их образуют соответственно тензоры второго и третьего рангов. В общем случае однородной турбулентности компоненты ФН и Поа являются функциями вектора 1)4гМн=г, характеризующего взаимное равположение точек М' и М".
Предположим теперь, что в некоторый начальный момент в неподвижной жидкости, заполняющей безграничное пространство, создано непрерывное однородное поле начальных возмущений, которое с течением времени будет затухать (рассеиваться). Легко сообразить, что и в любой последующии момент времени поле затухающих во времени возмущений останется однородным. Кроме того, при равноправности любых направлений а пространстве поле возмущений окажется изотроиным в том смысле, что указанные выше теизоры моментов связи будут функциями только расстояния М'Мн = г между точками М' и М" и не будут зависеть от направления вектора г.
Как показывают простые вычисления,г в случае такой, однородной и изотропной, турбулентности компоненты теизора Фгу могут быть выражены через две функции, представляющие моменты связи между составляющими скоростей пульсаций в точках М' и М"; 1)направленными вдоль отрезка М'Мт (продольные составляющие) и 2) нормально к этому отрезку (поперечные составлЯющне). Точно так же и компоненты ПНе могУт быть выРажены через три величины моментов связей третьего порядка между продольными и поперечными составляющими пульсационных скоростей в точках М' и М".
Используя осредненпе уравнения неразрывности и общих динамических уравнений вязкой жидкости, удается получить одно дифференциальное урав. иение в частных производных второго порядка:э еуо (гл. гх тхрвулентное движение Рассмотрим эту функцию несколько ближе. Если устремить г к нулю, то функция р, согласно ее определению и свойству изотропности потока, йревратится в среднее значение квадрата пульсации в данной точке: » (О, г) =о'э.
(136) Эту величину (или квадратный корень из нее) принимают за меру интенсивности турбулентности в данной точке. В рассматриваемом случае однородной турбулентности величина о'з одинакова во всех точках потока в данный момент времени и зависит лишь от времени. Примем в дальнейшем для краткости обозначение о'з = о"Я = оз и рассмотрим величину у"(г, 1)— (137) 1/ огв . )/ т,гЛ оз оз 1(г, Г) аг =- — ~ р(г, Г) дг, 1 ,— я ~ (138) о о представляютднй взвешенное суммирование бесконечно малых отрезков дг, причем за „вес" принимается как раз степень связанности у (», т) пульсаций в точках М' и М". Величину б можно принять за статистическнН масигтаб турбулентности; в дальнейшем будет указан также еще и другой воз- можный масштаб турбулентности.
Возвращаясь к уравнению (135), можем следующим образом проинтер- дР претировать отдельные его члены. Локальная производная — от величины р дв по времени складывается из вязкостного (диффузионного) ее рассеяния, представленного правой частью уравнения, и конвективного изменения, опре- делнсмого выражением в левой части, зависягцим от функции Н (», г). При малых значениях рсйнольдсова числз турбулентности (1 — некоторый харак- терный размер) )/оа1 В=в конвективный член становится пренебрежнмым, а задача — определенной, так как уравнение (135) переходит в уравнение относительно одной функ- ции р: При больших значениях того же рейнольдсова числа оба члена сохра- няют свое значение, и для решения задачи необходимо выдвигать дополни- тельные допущения, носящую наименование коэ~фицивкта корреляции (связи) двух пульсирующих во времени функции о' н о".
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы, причем крайние его значения соответствуют: нуль — отсутствию какой бы то яи было связи между пульсациями скорости в точках М' и М", единица — полной связи между этими пульсациями. Очевидно, что при г = 0 будет у (О, 1) = 1; при увеличении расстояния г между точками М' и Ми степень статистической связанности между пульсациями скорости быстро ослабевает и функция у (г, г), так же как Г(г, 1) и О(г, 1), резко спадает до нулевого значения. Используя коэффициент корреляции у как статистическую меру связанности возмущений в двух точках потока, можно ввести понятвс о лгасттабе турбулекглкосгли.
Лля этого построим интеграл й 1041 влссвяиив тя вхлентных возмящвний в жидкости 671 (141) т См., например, А. В об стер н р. Се ге, дифференциальные уравнения в частных производных математнчесхой физики, ч. 1„! остехнздат, 1933, стр. 227. Прежде чем перейти и вопросу об интегрировзнин уравнения (139), установим общее соотношение, выражающее закон сохранения одной, харан- терной для турбулентных возмущений величины.
Закон оказывается общим для затухающей однородной н изотропной турбулентности, безотносительно и тому, опускаются или нет ионвективные члены. для вывода этого закона сохранения умножим обе части уравнения (135) на гв и проинтегрируем в пределах от нуля до бесконечности. Тогда. пред- полагая, что фуннции Г и Н удовлетворяют условиям убывания на беско- нечности: дг" при г -ь со гв — -ьО и гвЛ-ьО, дг н что соответствующие интегралы существуют, после простого интегрирова- ния по частям получим: О0 — Р(г, 1) гвйг= О, 1 йг д (140) з откуда сразу следует искомый занан сохранения: А = ~ Г(г, г) гв й = сопз1 = ~ Р(г, 0) гв йг. е в Величину А можно было бы назвать „моментом возмущений* и говорить о законе сохранения момента возмущений.
переходя от функции г" (г, г) и ноэффициенту корреляции у (г, Г), перепишем предыдущее равенство в виде й = «з ° ~ у'(г, г) гв йг = сопэс (141') в Входящий в это соотношение интеграл имеетразмериость длины в пятой степени. Если вместо величины Е, определенион равенством (138), ввести в рассмотрение новый масштаб турбулентности Е", равный Еч = ( Х г (у, с) йг1 /", (142) в то равенство (141) заменится простым соотношением ь «тЕ' = сопз1, (143) выражающим закон сохранения момента возмущений в форме: произведение средней квадратичной пульсации скорости (или среднего значения отне- сенной к единице массы жидностн нинетической энергии пульсационного движения) на пятую степень масштаба турбулентности нри затухании однородной и изотролной турбулентности сохраняетст Сохраняющаяся во времени величина момента возмущений Л предста- вляет своеобразную хараятернстинт поля турбулентных возмущений и играет такую же роль, кан, например, общее количество тепла в задаче о распро- странении тепла в жидкости нли количество движения при удалении от источника струи или тела, образующего след.
Тепловая аналогия в данном случае оказывается особенно интересной, тан нак уравнение (139) можно рассматривать формально нак аналог урав- нения распространения тепла в пятимериом пространстве.т Поскольку 672 (ГЛ. 1Х тзнввлкнтнон движннив уравнение (139) справедливо лишь при малых рейнольдсовых числах турбулентности, т. е. в последних стадиях затухания возмущений, что соответствует большим значениям времени 6 то достаточно построить простейшее решение уравнения (139), отвечающее случаю „источника".
Это решение будет: г' зят Р(г, т) = сопз1— (144) (~/ тт)ь Для определения константы воспользуемся теоремой о сохранении момента возмущений. Будем иметь: т' СО ОЗ и зм Л= ( Р(г, т)глбг= сопят ~" — 'габт, 4) (р"т)' откуда найдем: Л соп51 48 )Г2 Итак, имеем: Л з зт Р(ю г)= — — — — .—. (145) 48 тг2я ()'тт)х Полагая здесь г =- О, получим, согласно (136), следующий закон убывания со временем интенсивности турбулентности; — Л 1 ,зз (146) 48 р 2я (ж)ьй разделив обе части (145) соответственно на (146), определим козффициент ко еляцин РР у(г, т)= ' =-е Р(ж т) (147) ох После зтого нетрудно найти н закон возрастания со временем масштаба турбулентности Л; З(Г, 1)бГ= ~ Е Зтпт= ) 2ячп (148) а о Согласно (143) и (146), таков жс и порядок возрастания масштаба Ачз йв = ТГ48 )Г2г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
