Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Результат построения при помаши диаграммы характеристик изображен на рис. 241. Потоки, изображенные на рис. 234 и 235, также могут быть построены при помощи диаграммы характеристик. Два других примера такого способа построения потоков будут даны в 3 11'. 99. Дозвуконые потоки'3. Прежде всего выведем некоторые общие соотношенил длл установившегося потенциального потока, скорость которого по величине и направлению мало отклоняется от заданной скорости ио. Последнюю скорость примем боден>о>1, нп прн атом сначала оставим открытым вопрос, нвляется ли эте скорость меньше или больше скорости звука.
Далее, длл простоты вычислений примем, Теоретическому исследовению доступны также некоторые аоеенмметричные сверхзвуковые потоки См. Тву1ог С.Ь впб Месса!1Л. »У., Ргос. Коу. Бос., Ьопбоп (А), т. 139 (1933), отр. 278 (потоки акала канусаобрвзных головок снврлдав); В ивето в пи А., ЬпйгвьгыогзсЬппб т. Гв (1942), етр. 137 (общий случай конических потоков): зеузр рвссчител поток окала головки снврядв любой формы при условии, что угол втеки небольшой (К. Б е пег, ЬпйтвЬгСГогвсЬппб т. 19 (1942), стр. 148). звиблиагрвфию по этому вопросу можно нвйти в атвтьо Езег Р., ЬпйгвЬгртогвсЬппй, т.
20 (1943), стр. 220. Исследаввнию дозвуковых потоков поавященв реботв С.А. Чеплыгинв «О гвзовых струях». впервые опубликоввннвл в 1902 г. (ом. также Собрение сочинений, т. П, Москве 1948). Нр (ио + и)з + о' /- — + — сопа$, (31) или, в дифференциальной форме, Нр — + ио Ни + (члены второго порндка малости) = О. Р Имея в виду, что на основании равенства (3) др др др гор — = — ° — =с —, мы можем переписать уравнение (31) в следующем виде: ир = -р — ои. ио сз (32) Условие неразрывности выражаетсн уравнением — [р(ио + и)) + — (ро) = О д д д ду (33) (ср. с выводом длн несжимаемой жидкости па стр.
54). Обозначан сред- нее значение плотности р через ро и сохранян только члены первого порядка малости,мы получим из уравнения (33): ио — + ро( — + — ) = О. дв дх ду Подставляя сюда значение др из уравнения (32), в котором также сле- дует заменить р на ро и, сокращая на ро, мы получим: из (34) что рассматриваемый поток — плоский (двухмерный). Составляющие небольших отклонений скорости потока от скорости ио обозначим через и и и. Во всех вычислениях будем сохранять только величины первого порндка малости.
Обобщенное уравнение Бернулли (7) для нашего потока принимает вид: Обозначим потенциал скоростей через у, тогда будет др др и = 6 = —, дт' ду' и уравнение (34) примет вид: (35) Зто дифференциальное уравнение ноно показывает разницу между дозвуковыми и сверхзвуковыми потоками. Когда скорость и переходит через значение, равное скорости звука, коэффициент при, делается д'~7 длх равным нулю. Пока этот коэффициент положителен, дифференциальное уравнение (35) имеет такой же вид, как н соответствующее уравнение потенциального течения несжимаемой жидкости, и называетсн уравнед гг пнем эллипгпического гнила; если же коэффициент при отрицатедлг лен, уравнение (35) имеет такой же вид, как уравнение для колебаний струны, и называетсл уравнением гиперболического типа.
При ио = с, т.е. при скорости течения, равной скорости звука,мы имеем: дзу до ду' ду и величина д'Р ди дхз дх может принимать произвольные значения; это означает, что в этом случае могут существовать установившиеся волны с фронтом, параллельным оси у. Длн скоРостей ио ) с каждаЯ фУнкцин Е от У~х гйоц непРеРывнаЯ и дважды дифференцируемая, а в остальном произвольная, является решением уравнения (35), если только подходящим образом определить величину а.
В самом деле, мы имеем: дз — =.р' ги а, — =е, У и г дп дтг дуз следовательно, для того чтобы удовлетворить уравнению (35), необхо- димо принять, что 2 ( 2 ) Отсюда находим: тба=~ ~/пе — сз сба з1па = ~й' дгф дзф — + — = О. дХз дУз (Зб) Предположим далее, что потенциалы скоростей обоих потоков — сжи- маемого и несжимаемого — свлзаны между собой соотношением (37) ~о = лф. Для того чтобы функция р удовлетворяла уравнению (35) и одновре- менно функцил Ф уравнению (Зб), масштабы длл перехода, с одной сто- роны, от координаты к к координате Х, а с другой стороны, от коор- динаты у к координате У должны быть разными.
Полагая мы можем путем соответствующего выбора множители 11 осуществить связь (37) между потенциалами у и Ф. Для упрощенил расчетов произ- вольно примем, что Х = к, тогда мы будем иметь: У =др. (38) Таким образом, решением уравкенин (35) длл случаи, когда ио > с, лвляются волны произвольной формы, прямолинейные фронты которых (у = ~ксба+ слизь) наклонены к оси к, имеющей среднее направление линий тока, на угол Маха влево или вправо.
Следовательно, мы получили тот же результат, к которому пришли в 32 упрощенным способом. В случае, когда скорость течения ио меньше скорости звука с, длл решенил уравнения (35) применим следующий прием. Сравним рассматриваемый дозвуковой поток сжимаемого газа с потоком неслслжаемой жидкости с той же плотностью ро и той же заданной скоростью ио. Координаты точек несжимаемого потока будем обозначать через Х и У, составляющие возмущенной скорости, дало отличающейсн от ио, — через У и 1' и соответствующий потенциал скоростей — через Ф. Согласно сказанному в з10 гл.
11 этот потенциал должен удовлетворять дифференциальному уравнению Пользуясь соотношениями (37) и (38), мы можем переписать уравне- ние (35) в сяедуюсцем виде: иг д'Ф (1 иа) рг дгФ 0 дХг сг дУг (39) Это уравнение тождественно совпадает с уравнением (Зб), если принять, что г г ис д =1 — —. сг Величина с остаетсн при этом пока произвольной. Безразмерная вели- чина ф называется числолг Маха н обозначается буквой М. Применяя это обозначение, мы можем написать: д = г/Г- Мг. (40) с б= по+ и' которое мы можем заменить следующим приближенным равенством: 1 дСо Снб = — = — —. ио ио ду Аналогичным образом мы можем написать н дяя несжимаемого потока: С8Ь = — = — —. 1 дФ ио ио ду' Если оба потока вызваны присутствием в несжимаемой жидкости и сжимаемом газе одного и того жс тела с заостренными концами (рис.
242), то на линии тока, ограничивающей тело, должно соблюдаться условие Сбб=сбь, Так как д всегда меньше единицы, то из соотношения (38) следует, что поперечное протяжение (у) поля скоростей и полн давлений у сжимаемого потока больше, чем у несжимаемого потока (Г). При приближении ио к скорости звука величина д стремитсн к нулю, а поперечное расстояние, на которое распространяются возмушения течения, неограниченно возрастает. Угол б, образуемый какой-нибудь линией тока с осью х, определяется из соотношения или д9> дф др д1' Вследствие соотношений (37) и (38) это условие принимает вид: бд = 1, Рис.
242. Обтекание те- ла с заостренными кан- вами откуда следует, что 1 1 д л:мз' (41) р(во+ и) — сп рио — = рио ди ди дх дх дхз' а в несжимаемом потоке дзф Рио —. дХ' Отношение этих градиентов равно д>9> рио —, дхт =с= деф Д Яз' Рио— дХ Отсюда следует, что при обтекании одного и того же заостренного тела сжимаемым и несжимаемым потоком разности давлении в сжимаемом потоке в первом приближении в раз больше, чем в несжима- 1 >Г- бб емом потоке. Это так называемое правило Праядтля применимо, как подтверждают опыты', также к тонким крыльлм, установленным на >Примеры распределения дееленил не крыльях длл скоростей, блиекил к скорости ееуке, имеются е работе Б С а с)с Ь|п б е ау апб Ь | С С е ), 14АСА-Персте ГВ б4б (1938).
Длл того чтобы сравнить распределения давления в обоих потоках, достаточно рассмотреть градиенты давления в направлении оси х. Так как масштаб для координат в направлении х в обоих случаях одинаковый, то конечные разности давлений в обоих потоках относится друг к другу как указанные градиенты. В сжимвемом потоке главный член градиента давления вдоль оси х равен небольших углах атаки, правда, при условии, что нигде около крыла не достигаетсн скорость звука (см. иноке); в таком случае подъемнал сила возрастает вследствие сжимаемости также в л = раз. 1 /Г- ьл Вопрос об определении величины л в уравнении (37) может быть поставлен также следующим образом: каку|о форму должно иметь тело, чтобы разности давлений в обтекающем его сжимаемом потоке были такие же, как и в несжимаемом потопе. Такал постановка вопроса важна, очевидно, в том случае, когда распределение давления вдоль обтекаемого тела в несжимаемом потоке близко предельному состоянию, после перехода через которое возникает, вследствие влиянии тренин, отрыв потока от тела.
Очевидно, что в этом случае величина с полонна быть выбрана равной единице. Но тогда т.е. для того чтобы при обтекании тела сжимаемым потоком не произошло отрыва потока от тела, последнее должно быть тем тоньше, чем ближе скорость потока ио к скорости звука. Этот вывод также хорошо согласуетсл с результатами опытов. Следующая задача, являющаяся хорошей иллюстрацией изложенной теории, может быть решена прн помощи простых вычислений. Поток движется со средней скоростью ао вдоль волнистой стенки, контур которой имест уравнение р = аебпЛх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
