Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Для получения правильной сверхзвуковой струп шведский инженер Лаваль (Ьвча)), конструируя свою паровую турбину., применил насадок особой формы, изображенный на рис, 220а и называемый теперь соплом Лаваля. Такие насадки имеют большое практическое значение, поэтому явления, происходящие в ннх при течении газа, очень подробно изучены и теоретически и экспериментально. Результаты этого изучения позволили получить ответ на многие принципиальные вопросы движения газов и паров. Здесь мы рассмотрим только такое течение через сопле Лаваля, прн котором можно пренебрегать трением. Пусть давление р, до сопла задано.
Тогда значения скорости и и отношения $, соответствующие каждому давлению р, меньшему р„могут быть либо вычислены по формулам., либо отсчитаны по графикам на рпс. 215. Так как расход газа, т.е. количество его массы, протекающей в одну секунду. равен М = Грш = Š—. Ю Ю' Рис.
220. Течение через сопло Лаваля то для каждого заданного расхода М можно вычислить значения —, соответствующие определенным значениям площади поперечного сечения Г. Зная же — ", можно из рис. 215 найти соответствующие значения давления. Очевидно, что при нормальном режиме работы сопла минимум поперечного сеченил струнки газа, следовательно, и минимум функции $ должны совпадать с минимумом поперечного сечения сопла.
При таком режиме расход получается максимальным и определяется, как и при истечении из простого отверстия, формулой (14). Найденное указанным способом изменение давления вдоль оси сопла (от значения р1 до самого низкого конечного давления р„) изображено на рис. 2206 жирной линией. Но так как, согласно рис. 215, каждому значению ~~ соответствуют всегда два разных давления, то в расширяющейся части сопла — после самого узкого поперечного сечения— давление может изменяться также по второй кривой, изображенной на рис. 2206 тонкой линией и ведущей к верхнему конечному давлению р,.
Найдем теперь изменение давления вдоль оси сопла при меньших расходах М; мы получим кривые, вычерченные на рис. 2206 тонкими линиями и оканчивающиосн ордннатами, большими р,. Изменение расхода в зависимости от противодавлепия рз в конце сопла изобра>кено на рис. 220с. При уменьшении противодавления от значении рз = р1 до значения рз —— р„расход возрастает от нуля до М,„,„. Как толысо расход достигает своего максимального значения, в самом узком поперечном сечении сопла устанавливается звуковая скорость течения. Следовательно, даже пс зная в точности, какие лвления происходят в этом месте, можно предполагать, что дальнейшее понижение противодавления не влияет на часть потока, расположенную вверх по течению от самого узкого места сопла, и поэтому теперь расход должен оставаться постоянным.
Многочисленные опыты хорошо подтверждают это предположение. Из предыдущих рассуждений следует, что если в газе при движении через сопла давление р уменьшается от значеннл р> до значения рз, лежащего между р, и р„, то обнзательно должна происходить потеря энергии.
А. стодола (А.Яьо>!о!в)> наблюдая за изменением давления в таких потоках, обнаружил, что в них возникают прерывные измененил давленин, так называемые скачки уплотнения, предсказанные теоретически Римаиом (см, конец ~ 2). При скачках уплотнения действительно возникает потерн энергии, следовательно, изучение их на основе уравнений, выведенных для потоков без потерь энергии, невозможно. Для вывода уравнений, пригодных для исследованил скачков уплотнения, необходимо исходить из теоремы о количестве движения Я 13 гл. 11) в сочетании с теоремой об энергии длн течений, сопряженных со значительными изменениями объема и с сопротивлениями. В связи с большой вансностью последней теоремы для изучения сжимаемых потоков, мы посвятим ей весь следующий параграф.
3 4. Теорема об энергии для сжимаемых потоков при наличии сопротивлений. При движении газов сопротивление оказывает двоякое действие: во-первых, оно механическя тормозит поток, а вовторых, механическая энергия, затраченная па его преодоление, частично возвращаетсл в поток в виде тепловой энергии. Таким образом, в потоках сжимаемой жидкости, в противоположность потокам несжимаемой жидкости, имеется возмо>кность часть энергии, затраченной на преодоление сопротивления, вновь использовать при дальнейшем расширении.
Выделим в установившемся потоке газа некоторую область и вычислим изменение энергии массы газа, заключенной в этой области. Удобнее всего за такую область взять отрезок трубки тока (см. рис. 73 на стр. 114). Так как мы рассматриваем установившееся движение, то изменение состояния выделенной массы газа в течение промежутка времени й заключается только в том, что через сечение А из трубки тока выходит элемент массы а через сечение В входит элемент массы (16) причем вследствие неразрывности теченил Нгя = Ит'. При таком изменении содержимого трубки тока энергия струйки газа может измениться, очевидно, только на величину, равную притоку энергии извне за тот же промежуток времени й. Энергия элемента массы складывается из кинетической, потенциальной и тепловой энергии; последняя называется также внутренней энергией. Ее величину в единице массы обозначим через и, причем будем измерять ее не в единицах тепла, а в единицах работы, т.е.
так же, как механическую энергию. Таким образом, если принять, что потенциальная энергия обусловливается исключительно полем тяготения, содержание энергии в массе с1т будет равно й ( —,'+ба+и) Приток энергии к массе, заключенной в выделенном отрезке трубки тока, складывается нз работы сил давления на концевых поверхностях трубки и нз возможного поступления тепла через боковую поверхность. Учитывать особо работу сил трения не следует, так как она сводится к преобразованию механической работы в тепловую энергию, следовательно, не влечет за собой изменения содержание энергии в выделенной области. Работа сил давления, действующих на площадь Гл, равна силе, умноженной на путь, т.е.
равна гАРАщА <~г или, если ввести массу Нт, определяемую формулой (15), огя ' РАел~ РА Рл где э есть удельный объем газа. Аналогичным образом, длл работы сил давления, действующих на площадь Гв, мы получим величину — огя ° Рв ов. Возможный приток тепла в трубку тока между сечениями А и В обозначим через длв йю, где ддв ость количество тепла, полученное каждой едшшцей массы в трубке тока между А н В и измеренное в сдпнпцах механической работы. Таким образом, сформулированное выше предложение о балансе энергии в выделенной части трубки тока мы можем записать следующим образом: откуда г г юв "'л 2 — + 8гв+ив+ Рвэв = — +игл+'ил +рлэл+ длв. 2 Так как концевое сечение В трубки тока можно произвольна переме- щать, то предыдущее уравнение можно переписать в виде: г — + яг + и + рэ = со пег + д.
2 (17) Это уравнение применяетсн также в дифференциальной форме: шИш+ яНг+ Ни+ Ы(рз) = й~. (18) Величина и+рэ очень часто встречается в термодинамике. Она называется шеплосодержаниелй или эншальлией и обычно обозначается одной буквой г. Для идеальных газов имеют место формулы: и= ро=с„Т, 1 и — 1 г = и + рз = — ро = сэТ, и р (20) где с„и ср суть удельные теплоемкости прн постоянном объеме и постоянном давлении, а Т вЂ” абсолютная температура, причем с„и ср должны быть взяты в единицах работы, т.е. их обычные значения долгкны быть разделены на тепловой эквивалент работы. Уравнение энергии (17) можно дополнить уравнением, вытекающим из первого принципа термодинамики.
В применении к нашему случаю из этого принципа следует, что теплота, полученная любым элементом массы газа извне, вместе с теплотой, возникшей вследствие работы сил трения, увеличивают внутрешпою энергию элемента газа н кроме того. совершают работу расшпрснил. Обозначив работу г г ( "'в ( шл дтх — +ахв+ив) — ~т 2 +8гл+ил~ — — ат(рлэл — Рван+для), х 2 сил трения, отнесенную к единице массы элемента газа в струйке газа, через йВ, мы можем, на основании только что сказанного, написать: (21) Йа + еИ = е(и + р еЬ. Сложив это уравнение с уравнением (18) и имен в виду, что Н(ре) = рйо+ вИр, мы найдем: (22) ш Йш+ ййг+ в Ир+ дЯ = О. Отсюда после интегрирования мы получим уравнение: и>2 — +дг+ / в>1р+ Я = сопв1, 2 (23) которое есть не что иное, нак уравнение Бернулли, дополненное членом В, учитывающим отнесенную и единице массы работу сил трения на пути от начального лоперечного сечения струйки газа до конечного сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
