Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Волна давления в трубе т=-. Ь с' Приращение массы газа, находлщейсл в переходной области, в единицу времени' равно объему Рб переходной области, умноженному на приращение плотности в единицу времени, т.е. на . Следовательно, Рз — Ра это приращение массы газа равно Г(рз — ро)с. Оно вызвано тем, что в переходную область втекает слева из области сгущении в единицу времени масса газа ртГш. Вследствие неразрывности теченил обе массы должны быть равны друг другу; приравнивал их, мы получим уравнение: рхеп = (рх ро)с. 2. Внутри переходной области скорость увеличивается за промежуток времени т от нулл до эд, следовательно, среднее ускорение в переходной области равно еп шс ЗВ приводимых рассужденилх целесообразно выбрать эту единицу времени малой по сравнению с промежутком времени т.
Так кек в окончательный результат аремл г не входит, то такой выбор не ограничкаает общности вывода. давленил перемещается, не изменял своей формы, с постоянной скоростью с. Так как газ при этом сжимаетсл, то та его часть, через которую повышение давленил уже прошло, должна обладать некоторой скоростью еп, направленной вправо. Длл простоты расчета примем, что повышение давлении рз — ро мало по сравнению с первоначальным давлением ро, тогда будет мало также изменение плотности рт — ро, кроме того, как это еще вылснитсл из дальнейшего, будет мала также скорость го.
Относительно лвлений, которые происходит в переходной области шириной Ь (рис. 209), мы можем сказать, по аналогии со случаем о распространения вала воды, следующее: 1. Когда область б проходит через какое- нибудь место рассматриваемой массы газа, р плотность в ием увеличиваетсл от значенил ро до значения ры Соответствующий промежуток времени равен Масса, которой сообщается ускорение, равна Р„,ЕЬ, где р есть средилл плотность.
Результиру>ощая сила равна Е(р> — Ра). Следовательно, из основного урввненил динамики — масса, умноженная на ускорение, рвана результирующей силе, — мы имеем: (2) Р пшс = Р> Ре. Замолим в левой части уравнения (1) Р> на р„,; делая это, мы вводим ошибку, которан, однако, не больше той ошибки, которая уже внесена предыдущими допущеннлми. Разделив теперь уравнение (2) на уравнение (1), мы получим: г Р> — ро с Р> — Ро Правал часть этого уравнения зависит только от закона с>катка газа: принлв ее равной производной от р по Р, мы будем иметь: з 4' с >1р Таким образом, если изменения давления в газе незначительны, то скорость их распространения не зависит нн от их величины, нп от ширины переходной области и зависит только от закона сжатии газа.
Отсюда следует, что скорость распространенна изменений давления пс изменится, если будут следовать друг за другом различные по знаку изменения давления, лишь бы они были малымн. Так как звук представллет собой последовательность положительных и отряцетельных изменений давления, которые, согласно предыдущему. распространлютсл со скоростью с, то величину с называют скоростью звука.
При адиабатичсском изменении состояния газа свлзь между давлением р и плотностью р определяется. согласно сказанному в Э 5 гл.1, уравнением р=сопэ1 Р', поэтому 4~ =. >, Р— =и сопаь ° р' =и ° —. Ыр Р С другой стороны, мы имеем: Р 1 Ре1+ д где ро есть нормальнал плотность при нормальном давлении ро и при 0'С.
Подставив этн значенил — и р в уравнение (3)., мы получим: >>Р Нр (4) с = д — (1+ ад). Ро Следовательно, скорость звука в каком-нибудь определенном газе зависит только от температуры. Длл воздуха средней влажности и при температуре 0'С формула (4) дает: с = у ж — = 334 л>/сек, Гро Д Ро что хорошо совпадает с результатами измеренил. Важный для нас случай распространения давления в текущей жидкости можно свести к предыдущему случаю, если рассматривать лвление в системе отсчета, движущейся вместе с. жидкостью. Отсюда следует, что распространение давленил о>пкоси>велько жидкости происходит са скоростью с. Относительно пространства, в котором жидкость течет со скоростью ш, давление распростреняетсл вниз по течению со скоростью с + и>, а вверх по течению — со скоростью с — >о.
Легко видеть, чта в том случае, когда ш больше с, изменение давлепил вверх по течению не распространяется совсем. Поэтому газы и пары прн движении со скоростлми, большими скорости звука, ведут сабл совершенно иначе, чем при дан>кении с дозвуковыми скоростями. Существеннал разница между дозвуковыми н сверхзвуковыми потоками обнаруживается особенно наглядно прн рассмотрении точечного источника возмущения давления в потоке. В равномерном потоке газа мгновенное возмущение давленил, нсходлщас из тачки А (рис.
210), распространяется в виде шаровой волны, центр которой перемещается со скоростью течения. Длительное возмущение давленил в точке А, производимое, например, маленьким преплтствием в этой точке, можно рассматривать как последовательность мгновенных возмущений. Если скорость течения ш меньше скорости звука с, то распространение возмущения, вызванного препятствием, происходит во всех направлениях, правда, в разных направлениях по-разному, Если же скорость течения больше скорости звука, то все шаровые волны.
исхадлшие из препятствия, заполняют только конус, расходлщийсл онпз по течению и имеющий свою вершину в точка А (рис. 211). Пространство перед конусом остаетсл совершенно свободным ат влияния источника возмушенил. Рнс. 210. Волна давления при скорости течения, меньшей Рнс. 211. Волна давления прн скорости течения, большей скорости звука скорости звука Угол между образующей конуса и его осью, совпадающей с направлением течения, определяется на основании следующих простых сообразкений. В течение короткого промежутка времени точечное возмущение вырастает в шар с радиусом ст и с центром, удаленным от источника возмущения на расстолние шт.
Конус касается шара, следовательно, должно иметь место отношение ст с а1па = — = —. шт ш' (б) Угол а называется углом Маха. При движении газа с дозвуковой скоростью вдоль стенки с неровностлмп возмущения давлепил распространлютсл во всем пространстве, заполненном движущимся газом. Если же газ двнжетсл со сверхзвуковой скоростью, то из каждой неровности стенки отходит вниз по течению волна давления под определенным углом Маха. Если течение газа происходит между двумя стенками, то возникшал волна давленил, достигнув противолежащей стенки, отражаетсл от нее. Ниже, на стр. 370, изображена фотография подобного рода течения между двумл стенками с искусственной шероховатостью (рис. 222).
Уменьшение угла Маха слева направо ясно показывает, как увелнчиваетсл слева направо скорость теченил. Прп движении какого-нибудь тела 1напрпмер., артиллерийского снарлда или пули) в покоящемся газе — возникают аналогичные явленин. Если снаряд движется со сверхзвуковой скоростью, то это действие на окружающий воздух проявляется только в пределах конуса. вершина которого перемещаетсл вместе со снарядом'. Впереди этого конуса воздух остаетсл в полном покое. От выступающих точек поверхности снаряда отходят волны давленил.
На рис. 212 показана фотография полета пули. Измерля на такой фотографии угол, образуемый головной волной с направлением движения, можно довольно Рис. 212. Полет пули точно определить скорость снарлда. Длл нзмеренил этого угла надо пользоваться той частью волны давления, которая достаточно удалена от снарлда. В непосредственной близости от снаряда разности давлений столь велики, что здесь головная волна распространлется со сверхзвуковой скоростью, и поэтому угол а здесь больше, чем на некотором расстоянии от снаряда. Такого >ке рода волны давления образуютсл п при вращении воздушного винта, у которого концы лопастей имеют окружную скорость, большую скорости звука. Эти волны и явля>отсл причиной упомлнутого на стр.
312 звука, возникающего прп работе такого винта и похожего на звук тромбона. Конечное по величине изменение давления ме>ино рассматривать кек результат многих следующих друг за другам малых изменений давления. Согласно уравнению (2) в местах с повышенным давлением скорость движенин ш приблизительно пропорциональна разности давлений н иапрэвлена в сторону распространения изменения давления (в местах с пони>пенным давлением она направлена в противаположну>о сторону).
Отсюда следует, чти скорость распространенил нового уплотнения, следующего за предшествующим ему уплотнением, ранна с + и>, т.е. больше скорости звука; наоборот, скорость распространения нового разрежения, следующего зэ предшествующим разрежением, меныие скорости звука. Таким образам, сильные уплотнения рэспространягатсл са скоростью, большей скорости звука, а сильные разрежения, наоборот, со скоростью, меньшей скорости звука. Точная теория этих явлений дэна Римэнам>.
Эта теория, в полном соглэсиц со сказанным выше, показывает, чте перед волной давленил, несущей конечное ио величи- >Ми сЬ Е., 8иэиихеЬег. гь Ш!еп. А1гэг1. Пэ, т. 95 (1887), стр. 164, т. 98 (1889), стр. 1310, т. 105 (1896), стр. 605. >См. например, Н! е ш е и и В. ипг( %е Ь ег Н.. 1>!е рэгпе!1е ВПГегсггг!э!Х!е!с!ш>гхеп бег те!Ьегиесис!ши РЬуэвк т. 2. стр. 507, изд 5, Вгиипэсьгее!8, 1912. Лельнеашэн реэребетне, е тен>ие примеры имеются э статье Вес Ьеге К., Апп. д. Рьунвп т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
