Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Следовательно, при турбулентном течении возникает ядро потока, в котором вследствие сильного перемешивания разности температур сравнительно невелики; но зато в тонкой пограничной зоне градиент температуры очень велик. Отсюда ясно, что явления, происходящие в пограничной зоне играют решающую роль в обмене теплом между жидкостью и стенкой. Точное исследование этих явлений при помощи уравнения (98) связано с очень сложными вычислениями и, кроме того, с необходимостью очень точного знания изменения скорости в непосредственной близости от стенок.
Можно значительно облегчить вычисления и в то же время получить достаточно хорошие результаты, если разбить весь поток на две следующие зоны: на пограничную, примыкающую к стенкам трубы, и на зону, образующую ядро потока. В пограничной зоне течение ламинарное, и поэтому здесь в процессе теплообмена играет роль только теплопроводность. В ядро потока коэффициент тсплопроводности Л мал по сравненшо с коэффициентом А, и поэтому здесь основную роль играет турбулентный перенос тепла.
Пусть на границе обеих зон скорость течения равна и', а температура равна д'. Температуру на стенке для упрощения вычислений примем равной нулю, что равносильно перемещению нулевой точки температурной шкалы и поэтому не отражается на об>цности рассу>кдсний. Для дальнейшего упрощения примем, что внутрь жидкости каким- нибудь путем, например, при помощи электрического тока, подводптсл таксе количество тепла, которое в точности компенсирует попил>сппс разности температур д> — д>~ в направлении оси т. пропсходлщсс в соответствии с уравнением (9>>).
Если принят>ь что его количество тепла одинаково для каждого элемента объема ядра потока, то тогда поток тепла дз, перпендикулярный к оси трубы, будет везде пропорционален расстоянию т от оси', и мы можем написать: т чз чзо то (105) (106) где то есть значение т на стенке. (Заметим, что, поскольку пограничная зона очень тонкая, значении то, дзо и то можно отнести также к границе ядра потока.) Далее, мы имеем: сИ дз = срАо —, Ир т = А —. Ии ~и' Относительно величин Аа и А, предположим, что их отношение имеет постоянное значение. В таком случае из равенств (105) и (106) следует, что профили температур и скоростей в ядре потока афинны друг другу. Это обстоятельство облегчает дальнейшие вычислен ияз.
Такая афинная связь, которая в одинаковой мере справедлива и длн средних значенийз, может быть записана в виде уравнения: срАа(д — д') Ат(и — и') Что т'о зВ самом деле, обозначая через о' количество тепла, падаадимого к единице объеме в единицу времени, мы будем иметь: игт )о' = зят !оз. В случае постепенно понижающейся в направлении оси и разности температур обе профиля не вфинны друг другу, однако, отклонение от вфинности небольшое.
При более высоких требованиях к точности вычислений зто отклонение следует учитывать (см. ниже). зСредние значения скоростей и температур должны быть составлены, ионечно, одинаковым обрезом. Так кек выше для температуры мы валли среднее знвче- 1 1 ние д = — ) доР, то для скоростей следует взять среднее значение и = — ) няР, Г Р которое, между прочим, особенна удобное в рассматриваемой задаче, поскольку в йу~ ней — = О. с)з где т = то-у, а то и узо суть значения т и оз на стенке. Уравнение (105) имеет такой же вид, как и уравнение распределения турбулентного касательного напряжения Полагая Ае — — гпА, мы определим отсюда величину озо на границе ядра потока, которая равна величине оз в пограничной зоне: 6 ~— д' йзо = гас то: (107) Для ламинарной зоны мы имеем соотношенин: те ж— б ' 6Ф чз Л з Т' Л тод' Чз = —,—,.
(108) Приравнивая правые части равенств (107) и (108) и решая полученное уравнение относительно д', мы найдем: (109) тй+ (1 — т)и' где длн сокращения введено обозначение Л а плср пи Подставляя значение д' из равенства (109) в равенство (108),мы полу- чим: Лйто (110) 1з(ай+ (1 — о)и') Таким образом, поставленнан нами задача сведена к чисто гидродинамической задаче. Согласно сказанному в 211 гл. П1, коэффициент сопротивления Л при движении в трубе, связанный с существованиели касательного напряжения то, является функцией числа Рейнольдса й = ~~ и определнется приближенными формулами (66), (67), (68) и (71) (стр. 223 и 224).
Поскольку здесь мы применяем букву Л для обозначения коэффициента теплопроводности, будем обозначать в дальнейшем коэффициент сопротивления через ~. Скорость ш в указанных где б есть толщина зоны. Исключая из этих соотношений б, мы полу- чим: формулах тождественна с рассматриваемой здесь средней скоростью и. Из формул на стр. 224 легко видеть, что то = ьР'~ .
1 — г 8 )г( = -=, язп Лд мы получим: к 8 +(1 )и й (111) Число Рейнольдса Й = — „связано с числом Пекле Р, = — соотноше- йЫ йг( нием Н Ре гнорзг а е— поэтому формулу (111) можно переписать также в следующем виде: ггвРе 8,„р (112) В этой формуле остается неизвестной величина и . Эта величина есть н функция от числа Рейиольдса, связанная с универсальным законом распределения скоростей". Длн определения †" надо точно знать, в каком и месте совершастсн прерывный переход пограничной зоны в ядро потока. Эта задача представляет большие затруднения, так как в действительности переход от ламинарного к турбулентному состолнию происг ходит непрерывно.
Поэтому гораздо проще определить значение —" из уравнения (99) при помощи измерении температуры при малом значении гг.з См. а селэи с этим рис. 101 на стр. 17?; так как и' пропорционально о,, та, польэулсь степенной формулой (ЗО) гл. 1П, мы получим, что — пропорционально и гг га -г в ар гапг(1! Ь., Рьуэ. ЕеиэсЬг., т. 11 (1010), стр. 1072. Подставляя это значение те в уравнение (110) и вводя число Нуссельта Для газов в первом приближении молгно считать, что гг = 1. Н таком случае формула (111) принимает особенно простой вид: Пользуясь для степенной формулой (66) гл. П1, мы получим прибли- женно: Ы 0 04Нз!4 (113) Измерения Нуссельта', выполненные для воздуха прп давлении от 1 до 16 вша, а также для углекислоты и светильного газа, привели к аналогичной степенной формуле с показателем прп й, равным 0,786.
Для коэффициента при Н тен-Бошз получил, пользуясь результатами измерений Нуссельта, значение 0,0255. Таким образом, для Н = 10" и Н = 10з получаются значении числа Нуссельта, соответственно раоные 3,55 и 21,7, в то время как формула (113) дает значения 4,0 и 22,5. Если учесть, что положенное в основу нашего вывода предположение о подводе тепла приводит к более выпуклому температурному профилю и вследствие этого — к большему теплообмену вблизи стенок. то совпадение теоретического результата с экспериментом следует признать очень хорошим.
Для вязких сред сталь хорошего совпадения нс получается. 6) Коэффициент вязкости таких жидкостей, как разлнчиыс жидкие масла, очень сильно зависит от температуры; так, например, увеличение температуры смазочного масла от 20'С до 28 — 30' приводит к уменьшению коэффициента вязкости в два раза. Отсюда ясна, что даже при очень умеренных разностях температур весьма важно знать, какое значение коэффициента вязкости следует брать для составления числа Рейнольдса, входящего в формулы (111) — (113). Так как основную роль играет падение температуры в пограничном слое, то, очевидно, следует брать то значение коэффициента вязкости, которое соответствует средней температуре 77 = — (до + д') в этом слое.
Легко 2 видеть, что в таком случае при равных расходах и равных начальных температурах коэффициент теплопередачи будет иметь весьма различные значения, в зависимости ат того, происходит ли нагревание или охлаждение жидкости при ее движении в трубе (в первом случае коэффициент теплопередачн больше, так как пограничный слой топьшег оба профиля скоростей также различны — первый из них более выпуклый).
(Ч иене)г 9Ч.. Х)11-регесьнггвеЬея, %99 (1919). есеи В ее сь м.. %аги~ейьегсгавгичь уреенение (вз) на стр. 127. В последнее время всесторонним теоретическим исследованием проблемы теплопередачи при движении жидкости в трубе занимался Рейхардт'. В основу исследования он положил универсальный профиль скоростей при турбулентном движении, измеренный им самим в непосредственной близости от стенок. Всю область течения он разделил не на две, а на три зоны: на зону чисто ламинарного течения; на промежуточную зону, в которой действие молекулярной вязкости и теплопроводности сравнимо с действием турбулентного перемешивания, и на зону чисто турбулентного течения (ядро потока), в которой действие молекулярной вязкости и теплопроводности ничтожно мало по сравнению с действием турбулентного перемешивания.
Для материальных характеристикг кроме коэффициентов вязкости и теплопроводности, а также удельной теплоемкости в каждой зоне берутся свои средние значения. Теория Рсйхардта очень сложна, но зато она позволяет с единой точки зрения подойти к оценке всех до сих пор известных опытов, произведенных как прн самых малых, так и при самых больших коэффициентах вязкости. Одним из важных результатов этой теории является опредеАя ление числа пя = —. Вычисления дали для него, в согласии с опытами, значение т = 1,1.
Это значение числа гп расходится с тем его значением, которое наблюдается прн обтекании пластинки: на стр. 166 мы видели, что в этом случае одновременныо измерения профиля скоростей и профиля температур дают для пг значение, равное от 1,4 до 1,5. Чем объясняется такое расхождение, до сих пор не выяснено. е) Несколько исторических эалгекакий. О. Рейнольдс, по-видимому, был первым, указавшим на роль скорости течения в процессе теплообмепа в текущей жидкости. В своей небольшой статье, посвященной вопросу о поверхности нагрева в паровозных котлах, он обращает внимание на значительную путаницу в существовавших тогда способах расчета теплопередачн, Эти способы были основаны на предположении, что в процессе теплопередачн играет роль только теплопроводность, и поэтому скорость течения совершенно не учитывалась.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
