Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Однако по мере приблнженил к стенкам турбулентное перемешивание уменьшается и поэтому здесь преобладающую роль играет молекулярнал теплопроводиость (в ламинарцых потоках турбулентная теплопроводность, конечно, отсутствует). Так как коэффициент молекулярной теплопроводности жидкостей вообще очень мал. то пограничный слой представляет длл теплопередачи значительное препятствие; поэтому около него наблюдаетсл резкое изменение температуры, в то время как внутри потока температура, вследствие турбулентного перемешиванил, быстро выравниваетсл.
В связи с этим раньше часто предполагали, что вблизи стенки происходит скачок тел>пера- туры на конечную величину д -до, где д есть сродняя температура жидкости, а до — температура стенки, и принимали, что количество тепла д, передаваемого от жидкости к стенке через единицу площади, равно ддм 3с"Фм 60) (95) рорти,„ Решал это дифференциальное уравнение в предположении, что до = сопа$, мы найдем: сь Е сь заа д„, = до+ Се а"'", (96) где С есть произаольнал постояннал, позволяющая удоилетаорить начальному условию, т.е. начальной температуре жидкости.
Из этого решения следует, что эффективная теплопередача происходит только на длине, равной Рис. 306. Распределение разности температур д„, — до вдоль трубы рорти хь —— й (несколько большее). Ниже по течению, т. е. при зпаченилх х > зч температура жидкости и температура стенок трубы практически стано'- влтся одинаковыми (рис. 306). Ъ) В действительности коэффициент теплопередачи сл очень сильно зависит от состояния течения, тем не менее решение (96) сохранлет свою практическую ценность длл тех случаев, иогда можно считать, что ао всех поперечных сеченилх трубы состояние течения одинаковое. Для вывода более точных соотношений, учитывающих зависимость коэффициента теплопередачи а от состоянил теченил, можно поступить следующим образом. При достаточно большой скорости течения поверхности равной температуры приблизительно параллельны стенке, поэтому поток тепла дз + дз можно считать почти точно перпенДикУллРным к стенке, а лоток тепла 9з — паРаллельным стение (состааллющал потока тепла дз + дз параллельнал стенке, мала по сравнению с оь).
Следовательно, если направить ось и вдоль стенки, а ось у перпендикулярно к степке и отвлечься от возможной кривизны стенки, то уравнение неразрывности длл потока тепла будет иметь вид: дд~ д(чз + Чз) дх др (97) Подстаалля сюда вместо Ч его значение (93) и принимал правильным допущение (94), мы получим: Для дальнейшего упрощения примем, что поток в трубе движется строго параллельно стенке и что скорость и зависит только от у. Тогда для плоской задачи из уравнения (97), на основании сказанного выше, получим следующее дифференциальное уравнение распределения температуры: рс и — — — ~(с А +Л) — 1=0. дд д( дд) дх ду~ и ' ду! (98) — [(срАе + Л) — ! .
Решение уравненин (98) теоретически вполне возможно, если задано распределение температуры д(у, 3) в начальном поперечном сечении х = О, а также температура на стенке для всех значений х ) О или совпадающал с ней температура слоя жидкости, прилегающего к стенке.
Однако практически решение уравнения (98) весьма затруднительно. Проще всего оно выполнимо для ламннарного течения, при котором Ат = О. Для случан течения в трубе с параболоидальным распределением скоростей, одинаковым для всех х, и с постоянной температурой на стенке такое решение было впервые дано Гретцом' и затем вновь, независимо от Гретна, Нуссельтомз. Пусть стенки трубы имеют температуру до, а жидкость притекает к начальному поперечному сечению 3 = О с температурой ды В связи с тем, что для образования параболического профиля скорости требуется разгон течения на начальном участке' (см.
стр. 227), примем, что поперечному сечению х = О предшествует отрезок трубы подходящей длины со стенками, не проводящими тепла; следовательно, на протлжонин этого отрезка развивается параболический профиль скоростей, но температура жидкости дг остается неизменной. Начиная от сечения х = О вследствие соприкосновения с хорошо проводящей тепло стенкой образуется тепловой пограничный слой, при посредстве которого изменение температуры постепенно передается вплоть до середины трубы. Затем, после некоторого переходного участка, разность между температурами степки и потока начипа- гС гегл 1., Апп. Ш Рлуя1с и. Сьепэ., новел серии, т.
18 (1883), стр. 79, и т. 35 (1885), стр. 337. е Н о ее е11 ЪУ., Ч)11-8ецэсле.. т. 54 (1910), стр. 1155 Эоб этом в годы нвлнсвннл рибат Гретцв и Нуссольтв еще не была невестка. В пространственной задаче в левой части уравнения добавляется еще один член ет уменьшатьсн по показательному закону в соответствии с уравнением (96) или графиком, на рис.
306. Гретц и Нуссельт получили свои решения в виде рядов, каждый член которых, за исключением первого, представляет собой произведение некоторой функции от д на показательную функцию от х. Длн середины трубы, если сохранить из всех членов ряда только первые два, решение принимает вид: -М,зэ 'д = до + 1, 477(д~ — до)е (99) Величина рсрйИ .—,з Л входящая в показатель степени при е, безразмерна и обладает такой же структурой, как и число Рейнольдса. В самом деле, величина Л асс — = Р„ рср Я = Я~ — Чз — — Ср О и(д~ — д~)дР. (100) '.1 а се апаса К., Меаь нас. Еплл.
Купаве 1сар, 11пы.. т. 6 (1936/40), стр. 366. называеман темлературопроводностаю, имеет такую же размерность ЬзТ ', как и кинематическая вязкость ж Число Р, было введено в расчеты Гребером н названо им числом Пекле, по имени французского ученого, впервые использовавшего работы Фурье о теплопроводностп для технических приложений. На рис. 307 изображена диаграмма распределенин температуры при ламинарном течении в трубе.
Длл построения этой диаграммы использованы новые точные вычисления Ямагаты)'. С технической точки зренин весьма важен вопрос о вычислении количества тепла, передаваемого в единицу времени от стенок трубы в жидкость нли наоборот. Для этого вычисления можно воспользоватьсл условием неразрывности потока тепла и уравнением (89). Тогда количество тепла Я, переданное на участке от х = х~ до х = хз от стенок в жидкость нли наоборот, получится как разность между полным потоком тепла через сечение х = зЧ и полным потоком тепла через сечение х = зз.
Если не учитывать, что с и р зависят от температуры (так было сделано и выше, при вычислении распределения температуры), то мы получим: (Дп).т.нкв' (101) В атом случае мы получим: (102) где оЕ' есть элемент площади стенки. Это соотношение применимо длн вычислении Я также и при турбулентном течении, так как непосред- ственно около стенки коэффициент Ад — — О. сг~ 1 стт Рис. 307. Распределенно температуры в трубе. Профили температур. выах черченные сплошными линиями, соответствуют значениям — а=0,005: 0,01; 0,02: 0,04; 0,06; 0,08.
Линия, вычерченная штрих-пунктиром, являетсл графиком уравнении (99) С другой стороны, количество тепла Я можно вычислить непосредст- венно как передачу тепла через стенки посредством теплопроводности, т.е. на основании уравнения есть безразмерное число. Это число, обозначаемое буквой >ч; называется число>я Нусселъта. В рассмотренном выше примере число Нуссельта всюду, за исключением начального участка трубы, имеет значение Н = сопз1 = 3,06. В начальном участке число Ч несколько больше. с) В технических приложениях значительно более важное значение имеет теплообмен, связанный не с ламинарным, а с турбулентным точением.
Однако в этом случае получаются значительно более сложные соотношения, так как теперь во все расчеты входит, кроме коэффициента теплопроводности, коэффициент Аю величина которого зависит от расстояния от стенки. На стенке этот коэффициент имеет значсппс, равное нулю; внутри трубы он увеличивается по мере прибли>кения к оси трубы, и притом тем сильнее, чем больше чнсло Рейнольдса. Для большей части жидкостей, за исключением расплавленных металлов, коэффициент теплопроводности довольно мал, поэтому в них коэффициент Ае достигает значения., большего Л, уже вблизи стенок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
