Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 9
Текст из файла (страница 9)
т. Физические свойства жидкостей Для отыскания решения теперь нужны дополнительные данные о распределении плотности. В реальных звездах плотность в общем случае зависит не только от давления р, однако решения уравнения (1.4.8), соответствующие некоторому предполагаемому простому соотношению между р и р, иногда полезны для сравнения с более сложными моделями. Если предположить, например, что р р1+Ма, п ~0, то уравнение (1.4.8) можно проинтегрировать численно для любого значения и. Можно также получить два важных аналитических решения. Если взять п =О, соответствующее жидкости постоянной плотности, например рс, то Р= З Я~Р„(а' —" ), 2 где г = а можно интеРпретировать как внешнюю границу звезды. Если п = 5, то можно проверить, что С зы 27аС (2яь93/3 (ав+,.2)3 в этом случае давление и плотность для любого г не обращаются в нуль и не существует никакой определенной внешней границы, хотя полная масса звезды конечна.
В случае постоянной массовой силы, создаваемой силой тяткести, имеем Е = й = совет, Ч' = — я х, (1.4.9) и для давления в покоящейся жидкости имеем уравнение тУР = РЯ. (1.4ЛО) Три функции Ч', р и Р постоянны на каждой горизонтальной плоскости, нормальной к вектору я, и, следовательно, они зависит только от произведения й.х.
Если ось з прямоугольной системы координат направить по вертикали вверх так, чтобы было я х = = — уз, то уравнение (1.4ЛО) приводится к виду др!пз = — ур (з). (1.4Л1) И в этом случае получается то же самое соотношение, которое можно вывести из одного только условия механического равновесия. Когда плотность жидкости постоянна, из уравнения (1.4.11) получается линейное соотношение между давлением и высотой, хорошо известное в гидростатике Р =Рс — Их (1.4.12) В случае земной атмосферы ее плотность р уменьшается при уменьшении давления вследствие сжимаемости воздуха; хотя 40 1.5. Классическая термодинамика в действительности обычно имеются тепловые эффекты, однозначного функционального соотношения ыежду плотностью р и давлением р не существует.
В качестве первого приближения, согласно закону Бойля, для совершенного газа при постоянных температуре и составе $1.7) можно положить — =сопз1 =дН. Р р Из уравнения 11.4 11) видно, что давление в атьсосфере, для которой такое соотношение справедливо, выражается формулой р=- рое мн где ре — давление ва поверхности Земли при х = О. Таким ооразом, как давление р, так и плотность р уменьшаются в е рз~ при подъеме на высоту Н и постоянную Н можно назвать епасштабом высоты» атмосферы.
Для воздуха при температуре О »С величина Н равна 8 км. Если температура не постоянна, отношение р/рд можно рассматривать в качестве локального масштаба. Наблюдаемые средние значения давления, плотности и теьшературы на различных высотах в атмосфере приведены в приложении 1, б. 1. Замкнутый сосуд, наполненный водой, вращается о постоянной угловой скоростью П относительно гориаонтальной оси. Покажите, что поверхности равного давления представляют собой круговые цилиндры, общая ось которых расположена на высоте и/Пз над осью вращения. 2.
Получите выражение для давления в центре сферической звезды, плотность которой на расстояния г от центра равна р = рс (1 йгз). Покажите, что если средняя плотность ввезды в два раза больше плотности среды иа ее поверхности, то давление в ее центре в 13/8 раз больше, чем если бы звевда иыела постоянную плотность с такой же полной массой.
1.5. Классическая термодинамика В нашем последующем изучении динамики жидкости нужно будет использовать некоторые понятия классической термодинамики и соотношения между различными термодинамическими величинами, такими, как температура и внутренняя энергия. В классической термодинамике, как правило, рассматриваются неподвижные однородные вещества в равновесных состояниях, т. е. в состояниях, в которых все их локальные механические, физические и тепловые параметры фактически не зависят ни от координат, ни от времени. Результаты термодинамических расчетов непосредственно можно применить к жидкостям только в состоянии покоя, когда их свойства однородны. О термодинамике неравновесных состояний известно сравнительно мало. 41 Гл.
1. Физические свойства жидиоотеи Однако наблюдения показывают, что обычно результаты исследований в прикладной гидродинамике равновесных состояний справедливы приближенно и в случае неравновесных неоднородных состояний; хотя в движущейся жидкости могут появиться большие отклонения от равновесия, они, по-видимому, оказывают малое влияние на термодинамические соотношения. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы перечислить кратко законы и результаты термодинамики равновесного состояния и изложить исходные соотношения, которые потребуются позже. Для знакомства с основами предмета читателю следует обратиться к учебникам по термодинамике' ). Понятия термодинамики полезны изучающим гидродинамику еще и потому, что как в термодинамике, так и в гидродинамике получаются наиболее общие результаты, которые применимы к веществу независимо от различий в его молекулярном строении и его поведения в рассматриваемом процессе, Дополнительные сведения монгно, конечно, получить, принимая во внимание известные молекулярные свойства жидкостей, как, например, с помощью кинетической теории для некоторых газов (см.
З $.7). Примем как известный опытный факт, что в простейших возможных условиях сосгояние данной массы жидкости в равновесии (это слово используется здесь и далее для указания пространственной и временной однородности) определяется однозначно двумя параметрами, в качестве которых ради удобства можно взять удельный объем и = 1/р (р — плотность) и давление р, определенное ранее. Таким образом, от этих двух паоамепров состояния зависят все другие величины, описывающие состояние жидкости.
Одной из наиболее важных среди них является темп.' ратура, Некоторая масса жидкости в состоянии равновесия имеет ту же самую температуру, что и другая эталонная масса жидкости (тоже в состоянии равновесия) в том случае, если две эти вуассы жидкости остаются в равновесии после приведения их в тепловой контакт друг с другом (т.
е, когда они разделены только перегородкой, через которую тепло может переходить от одной массы к другой); второй закон термодинамики дает абсолютную меру для температуры жидкости, как будет отмечено позже. Соотношение между температурой У и двумя параметрами состояния, которое можно записать в форме Г(рви, г) =Ов (2.5Л) показывающей произвольность выбора двух параметров состояния, называется уравяекиам сосиуояиия. Для любой другой величины (подобной температуре), характеризующей жидкость, за 1) См., например, Ргррага А. В. С1авт1оа1 тьенпоаупаго1ов, СвгоЬьазе Пп1тегвпу Рееве, 1вву гом. танвге леонтович )в. А., Введение в термодинамику, м., 1922.— Ргд.1.
42 К5, Классическая термодинамика исключением, конечно, параметров состояния, существует некоторое уравнение состояния. Другая важная величина, описывающая состояние жидкости, называется внутренней энергией на единицу массы и обозначается Е )). Работа н теплота рассматриваются как эквивалентные формы энергии, а изменение внутренней энергии покоящеяся массы жидкости вследствие изменения ее состояния определяется первым законом термодинамики н происходит так, чтобы пе нарушался закон сохранения энергии, когда учитываются н тепло, подводимое к ясидкостн, и работа, совершаемая над жидкостью.
Такиуу образом, если состояние данной однородной массы жцдкости изменяется за счет приобретения количества тепла () на единицу массы и совершения жидкостью работы И' также на единицу массы, то соответствующее увеличение внутренней энергии (1.5.2) Внутренняя энергия Е есть функция параметров состояния, а приращение энергии ЬЕ, которое может быть бесконечно малым или конечным, зависит только от начального и конечного состояний; однако количества () и И' характеризуют внешние аффекты и могут по отдельности (но не в сумме) зависеть также от способа, которым осуществляется переход из одного состояния в другое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
