Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если масса жидкости теплоизолирована от окружающей ее среды, так что не может происходить никакого обмена теплом, т. е. Д = О, то такое изменение состояния жидкости называется адиабатичгскилс. Работу нзд системой можно совершить многими способамп. но особый интерес в механике жидкости представляет процесс сжатия путем направленного внутрь жидкости движения ограничивающих ее стенок. Аналитическое выражение для работы, совершаемой при сжатии, можно получить в важном случае, в котором изменение состояния обратимо. Это означает, что оно происходит так медленно, что жидкость проходит через последовательные равновесные состояния, н направление, в котором изменяется состояние, значения не имеет. На каждой стадии обратимого процесса давление в жидкости постоянно') и равно, например, р, так что работа над единицей массы жидкости в результате сжатия, приводящего к малому уменьшению объема, з) Обычно в литературе цо термодинамике прописная буква испольвуется для полной величины некоторой общей характеристики, такой, квк внутренняя внергия в рассиатРявасмой свстеме, а малая гунна — для обозначения величины на единицу массы.
В гидродинамике достаточно введения только последней величины, для «второй обычно применяется прописная буква. з) Боля на жидкость в состоянии покоя действует массовая сила, давление, как было покавано, изменяетоп всюду в жидкости, но изменение давления может быть спелано сиоль угодно малым при рассмотрении части жидкости малбго объема. Бели на жидкость действуег массовая сила, то термодявамические переменные хараитервзуют тельно локальные свойства жадности. 43 Гл. 1. Физические свойства жидкостей Р и с. 1.5,1. Диаграмма равновесных состояний жиднссти. 1 — изстермическос измененяе; в — адиабатическое изменение. равна — рбмк ').
Таким образом, при обратимом переходе из одного состояния в другое бесконечно близкое состояние бЕ = б(г — рбмк. (1.5.3) Конечное обратимое изменение состояния может быть описано путем суммирования выражения (1.5.3) по ряду последовательных бесконечно малых изменений. В данном случае нужно выбрать определенный путь, которым соединены начальное и конечное равновесные состояния, так как давление р в общем случае зависит не только от удельного объема и.
Определенный практический интерес представляет лсеплоемкость жидкости, т. е. количество тепла, которое необходимо сообщить единице массы жидкости, чтобы увеличить ее температуру на один градус при обратимом изменении состояния. Полное обсуждение теплоемкости лучше всего проводить на основе второго закона термодинамики, но сначала можно вывести ее из первого закона.
Удельную теплоемкость можно записать как отно- шение (1.5.4) З1 Отлетам, что наже овределеяие обычной жидкости, данное з 5 1.1, означает, что во время обратимых изменений, если заменяется только Форма, а не объем жидкости, никакой работы над ней ие соверижется. 44 6ч 6Т ' которое не будет определено однозначно до тех пор, пока не указаны условия, при которых происходит обратимое изменение состояния. Равновесное состояние жидкости можно изобразить точкой в плоскости (р, и), а малое обратимое изменение величин бр, без начиная от точки А (см.
рис. 1.5.1), может происходить в любом направлении. Если единственной работой, совершаемой над жидкостью, являетсн работа сжатия, то тепло б(), которое нунсио подвести к единице массы жидкости, определяется из соот- 1.5. Классическая термодинамика ношения ((.5.3) н равно 6(~ = ( — ) бр+ ( — ) би+рб», а изменение температуры 6Т = — ( — ) бр+ ( — ) би. Следовательно, удельная теплоемкость зависит от отношения бр/бр, т. е. от выбора направления, в котором происходит изменение состояния в точке А . Два просто определяемых специальных направления соответствуют изменениям, происходящим параллельно осям диаграммы состояния, и определяют главные удельные теплоемкости соответственно при постоянном давлении и при постоянном объеме ( б Т ) ( ~ 7 ) + Р ( Т ) в ( бб ) ( ) (>.5.5) Далее, если точка, изображающая конечное состояние, движется по кругу малого радиуса с центром в А, то величина 6Т изменяется синусоидально; она обращается в нуль на нзотерме, проходящей через эту точку, и достигает максимального значения в направлении нормали ш к изотерме.
Аналогично этому величина 6() так>не изменяется синусоидально, причем она обращается в нуль на адиабате, проходящей через точку А, и достигает максимума в направлении нормали и к ней. Таким образом, если (т„>лр), (п„пр) — компоненты двух введенных единичных векторов, то по (б(>)стах пр (б(>)>пах о>о (бг)д>ах >пр (бг)мах а так как величины ( — т,/тр) и ( — и„/пд) равны градиентам (производным др/д») вдоль изотерм и адиабат соответственно, то для отношения главных удельных теплоемкостей, обычно обозначаемого у, получается часто используемое выражение: / др1 /до 1 ср по/пр 1 до /адиават тдр lиаотерм (( 5 б) 7— ст л>о/п>р др ) /до 1 до /иаотери (др /адиават Отношение — амбр/бр приращения давления бр и относительного приращения объема би/» при малом обратимом изменении состояния жидкости называется объемным модулем упругости жидкости; связанная с ним и также полезная в динамике жидкости обратная величина — 6»/(рбр) или бр/(обр) называется коэффициентом сжимавмости.
Так же как и удельная теплоемкость, объемный модуль 45 Гл. 1. Физические свойства жидкостей упругости принимает различные значения в каждом из направлений, в котором происходит изменение на диаграмме состояния. Адиабатическое и изотермическое изменения состояний соответствуют на ней двум частным направлениям, имеющим специальный физический смысл, и отчасти неожиданно то, что, согласно первому закону термодинамики, отношение двух соответствующих модулей упругости должно быть равно отношению двух главных удельных теплоемкостей.
Очевидно, что через каждую точку диаграммы состояния можно провести адиабату (определяющую направление малого обратимого изменения состояния без притока или отвода тепла) и считать эти эдиабаты линиями одинакового значения некоторой новой функции состояния. Свойства этой функции даются вторым законом термодинамики. Этот закон можно сформулировать несколькими внешне различными, но эквивалентными друг другу способами, каждый из которых не так легко объяснить. Мы не будем использовать этот закон непосредственно, и нам не нукна какая-либо из обычных его формулировок. Фактически достаточно знать, что со вторым законом термодинамики связано существование другой общей характеристики жидкости (а также систем с числом независимых параметров, большим двух) в состоянии равновесия, называемой энтропией, и что при обратимом процессе перехода от одного равновесного состояния к другому возрастание энтропии пропорционально теплу, подводимому к жидкости; кроме того, что коэффициент пропорциональности сам является функцией состояния, он может быть отождествлен с величиной, обратной температуре.
Итак, обозначая энтропию на единицу массы жидкости через Я, имеем тбя =бо, где бД вЂ” бесконечно малое количество тепла, обратимо сообщенное единице массы жидкости. С помощью этого равенства и определяется термодинамическая, или абсолютная, шкала температуры (не связанная со свойствами какого-либо конкретного вещества). Энтропия постоянна при адиабатическом обратимом переходе из одного состояния в другое, который поэтому обычно называют иээнтропическии.
Кроме того, согласно второму закону, при адиабатическом необратимом изменении состояния знтроция не может уллньшаться (предполагается, что температура положительна); любое изменение энтропии должно сводиться к ее возрастанию. Поскольку и (1,5.3), и (1.5.7) применимы к обратимым изменениям состояния, то для малого обратимого изменения состояния, в котором над жидкостью совершается работа сжатия, мои~но написать ТЬБ = бЕ -( рбмк. (1.5. 8) 46 ч.э.
Классическая термодинамика Иачальное и конечное значения энтропии Я и внутренней энергии Е, как и всех других функций состояния, полностью определяются начальными н конечными состояниями, и, следовательно, соотношение (1.5.8), содержащее только функции состояния, должно быть справедчнво для любого бесконечно малого перехода, в котором работа совершается путем сжатия, независимо от того, будет рассматриваемый процесс обратимым или нет. Если переход необратим, то (1.5.7) не выполняется и нет никакой зависимости между 6И~ и — рбо. Другая функция состояния, которая, подобно внутренней энергии и энтропии, оказывается удобной для использования в механике жидкости, особенно в тех случаях, когда важны эффекты ее сжимаемости, называется энтальпией, нли теплосодеряеаннем. Энтальпня единицы массы жидкости, обозначаемая Т, определяется формулой (1.5.9) и имеет размерность энергии на единицу массы.
Малое изменение параметров состояния соответствует малым изменениям функций 1, Е и Я, которые с учетом (1.5.8) связаны соотношением Ы = 6Е + рбо + обр = Т68 + обр. (1.5.10) Соотношение (1.5.10), как н соотношение (1.5.8), содержит только функции состояния н, следовательно, не зависит от способа, с помощью которого жидкость может быть переведена из одного состояния в другое, соседнее состояние. В случае обратимого малого изменения состояния прн постоянном давлении из (1.5.7) следует, что 6Х =- 6~).
Еще одной важной функцией состояния с размерностью энергии является свободная энергия (по Гельмгольцу). величина которой на единицу массы Малов изменение величины Р вследствие малыхизменений параметров состояния определяется соотношением 6Р = — рбо — 86Т, показывающшк что увеличение свободной энергии на единицу массы при малом иэотермнческом изменении состояния, независимо от того, является ли оно обратимым или нет, равно — рбо„ если это изменение обратимо, то приращение свободной энергии равно работе, совершаемой над системой. Из приведенных выше определений различных функций состояния получаются четыре полезные тождества, известные как термодинамические соотношения Максвелла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
