Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Это определение имеет важное значение для выяснения формы тензора напряжений в покоящейся н<идкости. Чтобы понять это, рассмотрим поверхностные силы, приложенные к жидкости внутри сферы, со стороны окружающей ее жидкости, причем радиус сферы считается настолько малым, что и» почти постоянно на ее поверхности.
Выберем оси координат, совпадающие (локально) с главными осями тензора ом, и запишем тензор напряжений, у которого внедиагональные элементы равны нулю, в виде суммы двух тензоров 1 — ам 0 0 3 1 пз — — пп 0 3 1 0 о,', — —.сы 0 — <зы 0 3 1 0 0 — оы 3 и' — — и« зз (т.3.9) Зх а„п„о„'из з пззп,. Сила с компонентами (о',<и'„О, 0), действующая на единицу площади перпендикулярно этому элементу, соответствует растяя<ению (или сжатию, если о,', отрицательно) в направлении первой нз новых осей координат; аналогичное заключение справедливо и для сил с компонентами (О, аззпз', 0) и (О, О, пззп,').
Таким образом, общее состояние жидкости вблизи какой-нибудь данной точки можно рассматривать как суперпозицию растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях. Гл. С Фкзичеекке свойства жидкостей Первый из этих тензоров сферически симметричен, или изотропен, и соответствующий добавок к силе на единицу поверхности сферы в точке с нормалью и равен гlзппп. Это равномерное сжатие жидкости в сфере (поскольку знак г/епп обычно отрицателен) стремится изменить ее объем и может, конечно, выдерживаться жидкостью в сфере, хотя она находится в состоянии покоя.
Второй из тензоров в (1.3.9) определяет отклонение тензора напряжений от его изотропной формы. Диагональные элементы этого тензора имеют нулевую сумму, согласно (1,3.8), и поэтому представляют собой нормальные напряжения, по крайней мере одно из которых является растяжением, а второе — сжатием. Соответствующая часть силы, действующей на единицу поверхности сферы в точке с нормалью (п'„и,', и,'), имеет компоненты (в новой системе координат) (о'„— 3 пц) П', (о,',— —. ои) и'„(о,',— — пп) и,', (1.3.10) Другими словами, сфера погружена в жидкость, которая находится в состоянии равномерного растяжения в направлении одной оси и одновременно равномерного сжатия в (ортогональном) направлении другой оси и равномерного растяжения или сжатия в третьем ортогональном направлении (алгебраическая сумма трех растяжений и сжатий равна нулю), как показано на рис. 1.3.3.
Следовательно, этот второй добавок стремится путем деформации превратить сферический элемент жидкости в эллипсоидальный без какого-либо изменения объема; эту деформирующую поверхностную силу нельзя уравновесить никакой объемной силой, поскольку объемнан сила имеет другой порядок величины в малом объеме сферического элемента. Сферический элемент нгидкости не может оказать сопротивления такой его деформации под влиянием приложенных сил (т.
е. сил, обусловленных воздействиями, внешними по отношению к элементу), так что состояние покоя несовместимо с существованием ненулевых аначений каких- нибудь компонент силы (1.3.10). Следовательно, в жидкости в состоянии покоя все главные напряжения о,'о и,'„ о,', одни и те же и равны депп во всех точках жидкости, т. е. тензор напряжений в неподвижной жидкости всюду изотропен, любые ортогснальные оси координат являются главными осями тензора напряжений и в жидкости действуют только нормальные напряжения.
Неподвижные жидкости обычно находятся в состоянии сжатия, и поэтому удобно написать тензор напряжения в неподвижной жидкости в виде (1 31() пп = -рбп, 32 (.3. Объемные и поверхностные силы 111111 Р и с. 1.3.3. Два вада напряженкй на поверхности сбюрического алемента жпдкостп: а) однородное всестороннее сжатие и б) однородное растяжение в направлении одной главной оси тензора вапряяюняй наряду с однородным сжатием в направлении др)гой главной сон.
где р = — Чв(у(1 можно называть статическим давлением в жидкости 3) и оно в общем случае зависит от х. Из этого следует, что в неподвижной жидкости поверхностная сила на единицу плоского элемента поверхности жидкости с единичной нормалью и равна — рп, и она является нормальной силой одной и той же величины при любых направлениях нормали и в данной точке. Это известное свойство статического давления в жидкости «действовать одинаково во всех направлениях» часто выводится как следствие предположения, что в неподвих(ной жидкости касательные напряжения равны нулю; вывод состоит в рассмотрении просто условия равновесия сил, действующих на элемент жидкости простой геометрической формы, такой, как, например, тетраэдр с тремя ортогональными гранями а) или часть цилиндра с одним плоским сечением, нормальным к его образующнм, и другим, наклоненным к пим.
Предположение о том, что касательные напряжения равны нулю в неподвижной жидкости, разумно, так как при отсутствии какого-либо движения внутри объема представляется маловероятным, чтобы случайная конфигурация молекул и их хаотическое движение могли привести к какому-либо предпочтительному со статистической точки зрения направленному движени)о, в котором результат действия, вызванного молекулярными силами и потоком количества движения через элемент поверхности, был бы направлен не по нормали к ней. Однако, по-видимому, указанное свойство тензора напра)кения для неподвижной жидкости лучше выводить исходя из более простого предположения, что жидкости не могут оказывать сопротивления какой-либо попытке изменить нх форму.
') Для отой величины часто используется термин эгидростатичсское давление», хотя подразумеваемая его связь с водой имеет только историческое овравдание и маэкет привести к недоразумениям. Аналогично понятия «гидродинамина» и «азродинамикзэ излишне ограничительны и вытесняются более общим понятием эдииамяна жидкостна. З) Длядоказательства нужно положять в (1 3 Е) 2 (и) = я(г (и), 21(а) а Е (а) я т д. я затем обе его части поочереляо умножить скалярно иа векторы а, ь и о. ЗЗ 3-О В У 3 Ги.
1. Физические свойства жидкостей 1.4. Механическое равновесие жидкости Твердое тело находится в равновесии, если результирующая сила и результирующая пара сил, приложенные к нему со стороны внешних тел, равны нулю. Условия равновесия жидкости менее просты, так как различные части жидкости могут находиться в относительном движении, и поэтому каждая из ннх должна быть в равновесии. Силы, действующие на какую-либо данную часть жидкости, как отмечалось в предыдущем параграфе, представляют собой объемные силы, возникающие под воздействием внешних тел, и поверхностные силы, приложенные к границе я<ндкости со стороны окружающей ее среды.
Эти объемные и поверхностные силы должны находиться в равновесии, если жидкость сохраняет состояние покоя. В обозначениях предыдущего параграфа полная массовая сила, действующая на жидкость, распелся<емкую внутри некоторого объема и', определяется интегралом ~ рг'дт', в котором как плотность р, так и сила Р могут быть функциями координат.
Полная поверхностная сила, действующая со стороны окружающей нпгдкости на поверхность А, ограничивающую объем и' (если жидкость неподвижна), равна — ') радА, где р в общем случае зависит от радиуса-вектора х и вектора единичной внешней нормали а к поверхности А. Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по объему и' с помощью теоремы Остроградского — Гаусса и получить интеграл по объему — ) Чрдг'. Следовательно, необходимое условие равновесия жидкости заключается в том, что ~(рг — Чр)ду=о (1.4Л) для любого объема т', лежащего целиком в жидкости, а зто возможно только в том случае, когда подинтегральное выражение (предполагаемое непрерывным по х) равно нулю всюду внутри жидкости., Таким образом, необходимое условие равновесия состоит в том, что рг =Чр (1.4,2) всюду внутри жидкости.
Если условие (1.4.1) справедливо при любом выборе объема )г, то результирующая сила, действующая на каждый элемент яптдкости, равна нулю. Кроме того, использование симметричного 1.4. Механическое раеиоеесие жидкости тензора напряжений гарантирует, что пара сил, приложенная к каждой части элемента объема н<идкости, равна нулю, так что если (1.4.2) удовлетворяется, то, как легко проверить непосредственно, результирующая пара снл, действующая на жидкость внутри объема Р произвольной формы и величины, равна нулю (прн отсутствии какой-либо пары массовых снл, действующих на жидкость).
Поэтому (1.4.2) является необходимым и достаточным условием равновесия жидкости. В случае твердого тела, для которого касательные напряжения не обязательно равны нулю, соответствующее условие определяется уравнением типа (1.4,2), з котором 1-я компонента его правой части имеет более общий внд — до;т/дхп Ограничение, накладываемое уравнением (1.4.2), состоит в том, что только для определенных распределений плотности р н силы Г, т. е. таких, для которых произведение рГ (массовую силу на единицу объема) можно записать в виде градиента скалярной величины, существует распределение давления, удовлетворяющее уравнению (1.4.2). В том случае, когда распределение величины рГ действительно имеет форму, требуемую для равновесия, давление р постоянно на любой поверхности, повсюду нормальной к массовой силе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
