Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Рассмотрим все силы, действующие одновременно на жидкость внутри элемента объема Ььг в форме тетраэдра, как показано на рис. 1.3.1. Три его ортогональные грани имеют площади 6А,, ЬА„ЬАл и единичные внешние нормали — а, — Ь, — с, а четвертая, наклонная грань имеет площадь ЬА и единичную нормаль н. Поверхностные силы будут действовать на жидкость в тетраэдре через каждую из четырех граней, и их сумма равна Х(н) ЬА + Х( — а) ЬА, + Е( — в) ЬАл + Х( — с) ЬА,. Зависимость напряжения Х от х и времени г здесь не указывается, так как радиус-вектор х для всех четырех слагаемых в данный 27 Гл.
1. Фввнческме свойстна жндкостей момент времени 1приближенно один и тот же. Принимая во внимание ортогональность трех граней, получим три соотношения вида 6А, = а ° вбА, 1-ю компоненту суммы поверхностных сил можно поэтому записать в виде ') (Х, (в) — (ауХе (а) + ЪуХ~ (Ь) + суХ, (с)) пу) 6А.
(1.3.3) Полная массовая сила, действующая на жидкость внутри тетраздра, пропорциональна объему 6У, который в линейных размерах тетраздра представляет собой величину меньшего порядка, чем площадь 6А. Масса ягидкости в тетраэдре также есть величина порядка 6Р, и, следовательно, такой же порядок имеет произведение массы на ускорение жидкости в тетраздре ври условии, что локальная плотность и ускорение конечны. Таким образом, если линейные размеры тетраэдра сделать сколь угодно малыми, не изменяя его формы, то первые два члена уравнения Масса Х Ускорение = (Результирующая массовых сил) + + (Результирующая поверхностных сил) стремятся к нулю как 61у, а третий член, очевидно, стремится к нулю как 6А. При этих условиях уравнение может удовлетворяться только в том случае, если козффициент при 6А в (1.3.3) тождественно равен нулю (в предполоягении, что точные данные о результирующей поверхностной силе, действующей на элемент жидкости, требууот более высокой степени приближения, учитывающего различие между значениями Х в различных точках ва поверхности элемента жидкости), т.
е. Х ~ (в) = (а;Х, (а) + ЪуХ; (Ь) + суХ е (с)) пу. (1.3.4) Таким образом, компонента напряжения с индексом 1, действующего в данном направлении на плоский элемент поверхности жидкости с произвольной ориентацией, определяемой единичной нормалью в, связана с такой же компонентой напряжения на лгобом из трех ортогональных плоских элементов поверхности в одном и том же положении в жидкости таким образом, как если бы она представляла собой вектор с ортогональными компонентами Х; (а), Х~ (Ь), Хе (с). Векторы в и Х не зависят от выбора системы координат, и выражение в фигурных скобках в (1.3.4) должно представлять собой (1, 1)-ю компоненту некоторой величины, которая также не зави- г) Здесь яспольауются нюнняе янденсы для номпонент вентора; в соответствии е навестным правилом векторного н тенаорного аналяаа члены, содержащие повторяющяйся индекс, должны суммяроваться по всем трем вовможным аначенням няденса.
В нанте для вапнся векторов яспольеуются нан ннденсы. тан в жирный шрифт бев индексов, причем выбор формы аапнсн свяван лгжь о наглядностью формул. 28 1.3. Объемные н поверхностные омлы сит от системы координат. Другими словами, выражение в фигурных скобках представляет собой одну из компонент тензора второго порядка '), скажем пы, и Х) (и) = пыпг (1.3.5) ЗДЕСЬ Сы ЕСТЬ 1-Я КОМПОНЕНта СИЛЫ На ЕДИНИЦУ ПЛОЩаДИ, ДЕйетвующая на плоский элзмент поверхности, расположенный по нормали к направлению с индексом ), в точке жидкости х в момент времени 1; тензор, имеющий своими компонентами аы, называется лзензором напряжений. Определение локального напряжения в жидкости связано теперь с величинами пы, не зависящими от и, а не с векторной величиной Х (и). Аналогичным рассуждением можно показать, что не все девять компонент тензора напряжений независимы.
На этот раз рассмотрим моменты различных сил, действующих на ягидкость в объеме у' произвольной формы; 1-я компонента полного момента относительно точки О внутри этого объема, возникающего за счет действия поверхностных сил на границе объема, равна е))вг)сд)п) НА, где г — радиус-вектор элемента поверхности пбА относительно точки О. Этот интеграл по замкнутой поверхности можно преобразовать по теореме Остроградского †Гаус в интеграл по объе') еыз .) "' Л'= еыа (азы+ту "1 ))б)у'. (1.3.6) Если теперь объем )У устремить к нулю таким образом, чтобы копфигурация, создаваемая границей объема и неподвижной точкой О в нем, сохраняла ту же самую форму, то первый член в правой части равенства (1.3.6) будет стремиться к нулю как объем К, а второй член будет стремиться к нулю быстрее, а именно как у'е)з.
Полный момент массовых сил относительно точки О, приложенный к элементу жущкости, составляет, очевидно, величину порядка )«1)з, когда у" мало з), и поэтому в объеме т" одновременно имеет место также скорость изменения момента количества движениЯ жидкости. Следовательно, интегРал ~е))ась) б)т', 1) предполагается, что читатель внаком о общими евойотвамн тензоров. вудут иополь.
зоветься тольно тензоры в декартовой системе координат )т. е, тенэоры, у которых индексами обозначены ях компоненты относительно прямоугольных координатных осей). 'Гасто будут встречаться деа специальных тенэора: дельта-тензор б,.~ Нронекера (б,.) = 1, НОГДа 1 ), И б)г б, КОГДа 1 Ф )) И тЕНЗОР ЛЕВИ-ЧазнтЫ «ы«в, КОтОРЫй ПРНННМаЕт нулевое значение, если индексы 1, ), д не вее различны, я значе. ня +1 или — 1 в завы еичоети от того, в циклическая йлй не в цнкличееком порядке стоят иидекеы 1, ), Д. э) Здесь препполагаетея, что в жилкоетн не возникает какой-либо пары сил порядка У, подобной паре еил, дейетв)тощей в поляриаоввнной дяэлектричеекой вреде под влиянием приложенного к ней элептричеекого поля.
29 Гл, $. Фисичесвве свойства жадностей р и с. !.2.2. Поеераассгные силы. деаствуюжгм ва нрамоутольвыд елемевт жадности еданачиод толиным, очевидно, представляет собой величину более высокого порядка по сравнению с другими членами уравнения момента для объема У, и вследствие этого он должен тождественно обращаться в нуль. Это возможно при любом выборе положения точки О и формы объема У, когда величина аы представляет собой непрерывную функцию х, если только еывпау = О (1.3.7) всюду внутри жидкости; это следует из того, что если бы произведение впаоеу в некоторой области было отлично от нуля, то можно было бы выбрать малый объем У, для которого интеграл не равен нулю, что приводит к противоречию 2).
Из (1.3.7) следует, что тензор напряжений симметРичен, т. е. аы = аы, и имеет только шесть независимых компонент. Три диагональные компоненты тензора ам представляют собой нормальные напряжения в том смысле, что каждое из них дает нормальную составляющую поверхностной силы, действующей на плоский элемент поверхности, параллельный одной из координатных плоскостей. Шесть внедиагональных компонент тензора пг называются касательными напрджеяиами; иногда их называют также и напряжениями сдвига, поскольку как в жидкостях, так и в твердых телах они возникают при сдвиговом движении или перемещении, в котором одни параллельные слои вещества скользят относительно других. На рнс.
$.3.2 показаны в первом приближении различные поверхностные силы, действующие в плоскости (х„хт) на малый элемент прямоугольной формы со сторонами бх, н бхт и единичной толщиной в направлении оси ха, компоненты напряжения принимают неодинаковые значения на противоположных сторонах прямоугольника и при выводе уравнения Ч Этот вывод относительно водввтегрелыюго выражевва вигеграла, исторыа обржваегеа а нуль ари любом выборе области интегрировании, вем чесго потребуетса дла объем выа, воверажютвма а вриеоааневвьж ватегрелов. 1.3. Объемные и поверхвоотвые своы движения элемента жидкости необходимо учитывать их разности порядка бх, или бхв.
Всегда можно выбрать направления осей прямоугольной системы координат так, чтобы все внедиагональные элементы симметричного тензора второго порядка были равны нулю. Если тензор напряжений пм отнесен к таким мавныз< осям в данной точке х, то диагональные элементы тензора напряжения превращаются в ввозные напряжения, например о'„, и,'„азз; известное свойство тензоров второго порядка заключается в том, что при изменении направления осей прямоугольной системы координат сумма диагональных элементов остается неизменной, так что и«+ем+ азз= пы. (т.3.8) В этих новых осях компоненты силы, действующие на единицу площади элемента с нормалью (и'„и,', и',), равны Тензор напряжений в покоящейся жидкоотпи Жидкость определена как среда,не способная оказывать сопротивление любому стремлению приложенных сил деформировать ее без изменения объема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
